理論力學(xué)-第3章1上

本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出一般情形下力系的平衡方程。并且將力系的平衡方程應(yīng)用于各種特殊情形，特別是各力作用線位于同一平面被稱為平面力系的情形。第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)的平衡問題是所有機(jī)械和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，必須綜合應(yīng)用第1、2章中的基本概念、原理與基本方法，包括：約束、等效、簡化、平衡以及受力分析等等。本章還將對桁架桿件的受力分析以及考慮摩擦?xí)r的平衡問題作簡單介紹。平面力系平衡方程及其在剛體與簡單剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用，是本章的重點。第3章力系的平衡

平衡與平衡條件任意力系的平衡方程平面力系的平衡方程

平衡方程的應(yīng)用剛體系統(tǒng)平衡問題平面靜定桁架的靜力分析

考慮摩擦?xí)r的平衡問題平衡的概念物體相對慣性參考系靜止或作等速直線運動，這種狀態(tài)稱為平衡。平衡是運動的一種特殊情形。平衡是相對于確定的參考系而言的。例如，地球上平衡的物體是相對于地球上固定參考系的，相對于太陽系的參考系則是不平衡的。本章所討論的平衡問題是以地球（將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系）作為參考系的。工程靜力學(xué)所討論的平衡問題，可以是單個剛體，也可能是由若干個剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為剛體系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。

整體

對于剛體：由二個或二個以上剛體組成的系統(tǒng)。重要概念：

整體平衡，局部必然平衡整體平衡與局部平衡CFR2FR1平衡與平衡條件平衡的概念FR1

′FRAxFRCxFRAyFRAy局部對于剛體：組成系統(tǒng)的單個剛體或幾個剛體組成的子系統(tǒng)。

整體

對于變形體：單個物體，或者由二個以及二個以上物體組成的系統(tǒng)平衡與平衡條件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2局部

對于變形體：組成物體的任意一部分。FP1FP2FP3M1q(x)x平衡與平衡條件平衡的概念平衡與平衡條件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)局部

對于變形體：組成物體的任意一部分。平衡與平衡條件平衡的概念局部

對于變形體：組成物體的任意一部分。力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的必要條件。力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和和力系對任一點的主矩都等于零。平衡的必要條件FR

—主矢；MO—對任意點的主矩空間任意力系平衡條件對于一般力系，由平衡的充要條件，可以得到主矢和主矩在X、Y、Z方向的分量都等于零。

空間任意力系的有6個平衡方程，可求6個未知力。根據(jù)平衡的充要條件,主矢和主矩都為零。對于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為yzxOF1FnF2M2M1Mn平衡力系中的所有力在直角坐標(biāo)系各軸上投影的代數(shù)和都等于零；平衡力系中的所有力對各軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。上述6個平衡方程是互相獨立的。這些平衡方程適用于任意力系。對于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然滿足的，因此，獨立的平衡方程數(shù)目會有所不同。空間力系的特殊情形對于力系中所有力的作用線都相交于一點的空間匯交力系，上述平衡方程中三個力矩方程自然滿足，因此，平衡方程為：任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形對于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中的三個力的投影式自然滿足，其平衡方程為：空間力偶系任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形對于力系中所有力的作用線相互平行的空間平行力系,若坐標(biāo)系的軸與各力平行，則上述6個平衡方程中自然滿足。于是,平衡方程為：第3章力系的平衡

平面力系的平衡方程

返回平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的一般形式所有力的作用線都位于同一平面的力系稱為平面任意力系（arbitraryforcesysteminaplane）。這時，若坐標(biāo)平面與力系的作用面相一致，則任意力系的6個平衡方程中，自然滿足，且yxzOFx

=0,MO=0

Fy

=0,平面力系平衡方程的一般形式為：其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點。yxzO上述平面力系的3個平衡方程中的可以一個或兩個都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點之間應(yīng)滿足一定的條件。Fx

=0

Fy

=0平面一般力系平衡方程的其他形式A、B連線不垂直于x軸A、B、C三點不在同一直線上二矩式三矩式FRFR求固定端A處的約束力。解：畫受力圖

MA的負(fù)號表示MA實際方向與圖示相反。負(fù)號表示和假設(shè)方向相反。

平面剛架的所有外力的作用線都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知，試求:A處的約束力。

平衡方程的應(yīng)用解：1.選擇平衡對象

本例中只有折桿ABCD一個剛體，因而是惟一的平衡對象。

解：2.受力分析剛架A處為固定端約束，又因為是平面受力，故有3個同處于剛架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和MA。剛架的隔離體受力圖如圖示。qlFAxFAyMA其中作用在CD部分的均布載荷已簡化為一集中力ql作用在CD的中點。解：3.建立平衡方程求解未知力,應(yīng)用平衡方程

Fx

=0,MA=0

Fy

=0,由此解得:qlFAxFAyMA平衡方程的應(yīng)用解：4.驗證所得結(jié)果的正確性為了驗證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對象上的所有力（包括已經(jīng)求得的約束力），對任意點（包括剛架上的點和剛架外的點）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。qlFAxFAyMA解：在水平梁上作用載荷，已知F＝10KN，F(xiàn)D＝20KN，q＝20KN/m，a＝10m。試求支座A和B的約束力。例題:折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。解：對于(a)、(b)兩種情形，在輥軸支座A處，其約束力都垂直支承面，所以方向是確定的。但是，固定鉸鏈支座B處卻有方向不確定的約束力。因為，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。FAFAFBFBFBFA因為，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。FAFB例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。因為，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個力偶與外加力偶平衡。FAFB對于情形(c)，D處繩索的約束力FD不僅作用線方向確定，而且指向也確定。FDFE

A、B二處的約束力FA和FB作用線方向可以確定，但指向不能確定。將A、B二處的約束力FA和FB沿其作用線方向滑移，相交于E點。約束力FA和FB指向雖然不能確定，但是其合力FE必須與D處的繩索拉力FD

組成一個力偶與外加力偶相平衡。E例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。FBFAEFDFEEd根據(jù)力偶平衡理論，可以求得FE與D處的繩索拉力FD：例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。EFDFEEFBFA45°將FE沿水平與鉛垂方向分解，便得到A、B二處約束力FA、FB例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩數(shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。FBFA例題作用在水力渦輪發(fā)電機(jī)主軸上的力：水力推動渦輪轉(zhuǎn)動的力偶矩Mz=1200N.m。錐齒輪B處受到的力分解為三個分力：圓周力Ft，軸向力Fa和徑向力Fr。三者大小的比例為Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17。

已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。試求：止推軸承C和軸承A處的約束力。

解：以“軸－錐齒輪－渦輪”組成的系統(tǒng)為研究對象。先求錐齒輪B處三個分力大小。根據(jù)所有力對z軸的力矩平衡方程，有由此解得作用在錐齒輪上的圓周力FCxFAyFAxFCzFCy滑動軸承A處有2個約束力；止推軸承C處有3個約束力；

Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17?？傊亓繛閃=12kN，OB=0.6m。力偶矩Mz=1200N.m,FCxFAyFAxFCzFCy

Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17,W=12kN，OB=0.6m。由此解得圓周力Ft

再由三個力的數(shù)值比，得到最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫出FCxFAyFAxFCzFCy需要注意的是：在空間力系平衡問題的六個平衡方程中，應(yīng)使每個方程的未知數(shù)盡可能的少，以避免解聯(lián)立方程。列寫六個方程的先后順序也應(yīng)靈活選取。已知：F=12kN,并與鉛垂方向成75度角，P=4.2kN，求：A、B的約束力及力偶矩M。解：畫受力圖，空間力系平衡。故只有5個獨立平衡方程。求：D、B處的約束力。解：畫受力圖，列平衡方程求：三桿對邊長為a的三角板的約束力。解：畫受力圖A、B、C三點不共線，三力矩平衡方程是獨立的。列平衡方程第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)平衡問題靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題的解法靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題未知力的個數(shù)正好等于獨立平衡方程的數(shù)目，由平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類問題，稱為靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強度和剛度等工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個或幾個約束，從而使未知約束力的個數(shù)大于獨立平衡方程的數(shù)目。這時，僅僅由靜力學(xué)平衡方程無法求得全部未知約束力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜不定結(jié)構(gòu)。靜不定問題中，未知量的個數(shù)Nr與獨立的平衡方程數(shù)目Ne之差，稱為靜不定次數(shù)（degreeofstaticallyindeterminateproblem）。與靜不定次數(shù)對應(yīng)的約束對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱為多余約束。靜不定次數(shù)或多余約束個數(shù)用i表示，由下式確定：i=Nr－Ne

靜定和靜不定問題的概念剛體系統(tǒng)平衡問題Nr:未知量的個數(shù)Ne:平衡方程數(shù)目剛體系統(tǒng)平衡問題的解法由兩個或兩個以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱為剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)的整體或某個局部（單個剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問題，需將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：系統(tǒng)若整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個局部以及每一個剛體也必然是平衡的。根據(jù)這一重要概念，只要正確理解整體平衡與局部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。剛體系：由兩個或兩個以上的剛體用約束聯(lián)結(jié)起來系統(tǒng)。稱為剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）。剛體系統(tǒng)平衡問題的特點是：僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無法求得全部未知力。當(dāng)然，僅僅考慮整體平衡是可以求出一部分約束力的。

剛體系統(tǒng)平衡，則組成這一系統(tǒng)的每個剛體也必然是平衡的。因此，只要正確理解整體平衡與局部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。

重要概念整體平衡，局部必然平衡剛體系統(tǒng)平衡問題的解法求解剛體系平衡問題的基本途徑：1、分別考慮每一剛體的受力情況，建立平衡方程，然后聯(lián)立求解。這一方法叫做“單體加單體”的方法。2、考慮整個系統(tǒng)和其中某些單個剛體的平衡條件，求出未知量。這種方法叫做“整體與單體結(jié)合”的方法。

具體選擇哪一種方法，要根據(jù)題意，靈活應(yīng)用。盡量避免解聯(lián)立方程。剛體系統(tǒng)平衡問題的解法例題1圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和

l

已知，確定四種情形下的約束力lACBllFPllACBl第一種情形第二種情形M=FPl平衡方程的應(yīng)用lllFPACBD第三種情形第四種情形lllACBDM=FPl圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力第一種情形

dDBlACllFPFAyFAxFBC平衡方程的應(yīng)用ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCxFCyllACBl第二種情形DM=FPl圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定圖示情形下的約束力分析BC

和

ABD桿受力ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿

的平衡MB(F)=0:MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx

=0:FBx+

FAx=0

FBx=

-FAxCB'M=FPlFBy′FBx′FCxFCy考察BC桿的平衡Fx

=0:

FBx′

-

FCx=0

FCx=FBx′=

FBxFy

=0:

FBy′-

FCy=0

FCy=FBy′=FBy=0MB'

(F)=0:

FCx

l+M=0FCx=FBx′=

-FP更簡單的方法（分析BC和ABD桿受力）這個問題是否有更簡單的方法？比如說，B、C兩處的約束力是水平方向的，這樣就能直接把它求出來，這種想法是否正確？?關(guān)于平衡對象的選擇關(guān)于平衡對象選擇的問題，剛才我們選擇了兩個平衡對象，能不能就以整體為平衡對象呢？請思考這個問題。能不能以整體為研究對象?第三種情形

A處有一個約束力，C處有兩個約束力，考慮整體平衡，ACBDllFPlFCyFAFCx第三種情形:圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定的約束力第四種情形MC(F)=0:

FA=FPFA×l-M=0Fx=0

FA=-

FC=FPlM=FPlllACBDFAFC例題:第一種情形，如圖結(jié)構(gòu)，求A、D處的約束力，為簡單起見，畫出如圖受力簡圖。如果考慮整體平衡，能求出幾個約束力？要求出所有約束力，還必須考慮什么？已知：FP、l、r

求

：A、D二處約束力以整體作為平衡對象，用平面問題的三個平衡方程能求出A端的三個約束力，但無法求出D處的約束力；因此還要考察其它剛體，DE是二力桿，兩端約束力都未知，因此考慮BEC桿，B處有兩個約束力，E處有一個約束力，能通過三個平衡方程求出，從而求得D處的約束力。第二種情形如圖結(jié)構(gòu)，繩子的固定與第一種情形不同，因此外加的約束力也不同，但是考慮整體平衡，還是能把A端的三個約束力求出來。和第一種情形一樣，再單獨考慮BEC桿，不同之處在于C端多了一個水平力，其它并沒有什么差別。第三種情形如圖，在BEC桿上增加了均勻分布的載荷，只要把均勻分布載荷簡化為一個集中力，即如圖所示，以下的所有分析都是和第二種情形相似的。q—載荷集度分析過程

結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。例題

解：1.受力分析，選擇平衡對象

考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個約束力，設(shè)為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個豎直方向的約束力FRC。FAxFAyMAFRC

這些約束力稱為系統(tǒng)的外約束力（externalconstraintforce）。僅僅根據(jù)整體的3個平衡方程，無法確定所要求的4個未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對象。為此，必須將系統(tǒng)拆開。

B將結(jié)構(gòu)從B處拆開，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個分量表示，但作用在兩個剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱為系統(tǒng)的內(nèi)約束力（internalconstraintforce）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡化的結(jié)果。MAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'ByFAxFAyMAFRC解：2.整體平衡根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖(為了簡便起見，當(dāng)取整體為研究對象時，可以在原圖上畫受力圖)，由平衡方程FAxFAy