測(cè)量誤差理論

§8.1

觀測(cè)及分類§8.2

測(cè)量誤差§8.3

衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)§8.4

誤差傳播定律§8.5

等精度直接平差§8.6不等精度直接平差第八章測(cè)量誤差理論基礎(chǔ)一、觀測(cè)的定義

測(cè)定未知量的過(guò)程。即觀測(cè)者使用一定的儀器的工具，采用一定的方法和程序，在一定的環(huán)境條件下測(cè)定未知量與計(jì)量單位之比的過(guò)程。

§8.1觀測(cè)及分類二、分類1、按觀測(cè)方法分：2、按觀測(cè)量之間的關(guān)系分：3、按觀測(cè)時(shí)所處的條件分：4、按觀測(cè)量在觀測(cè)過(guò)程中的狀態(tài)分：直接觀測(cè)間接觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)條件觀測(cè)等精度觀測(cè)不等精度觀測(cè)靜態(tài)觀測(cè)動(dòng)態(tài)觀測(cè)§8.2

測(cè)量誤差一、定義：真誤差：i=Li

-

X

X為真值，Li為觀測(cè)值

二、觀測(cè)誤差的來(lái)源：

1、儀器誤差

2、人差

3、環(huán)境影響觀測(cè)條件三、誤差的分類1、系統(tǒng)誤差：在相同的條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，其誤差的數(shù)值或符號(hào)具有規(guī)律的誤差。特點(diǎn)：積累性。消除或減弱的方法：進(jìn)行計(jì)算改正；采用合適的觀測(cè)方法；在平差計(jì)算中，將其當(dāng)作未知參數(shù)納入平差函數(shù)模型中一并計(jì)算。2、偶然誤差：在相同的條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，其誤差的數(shù)值和符號(hào)沒(méi)有規(guī)律的誤差。偶然誤差實(shí)際上服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。說(shuō)明：測(cè)量過(guò)程中的失誤造成的觀測(cè)結(jié)果與理想結(jié)果的差異，也稱為粗差。在觀測(cè)成果中，不允許粗差的存在。發(fā)現(xiàn)粗差的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測(cè)（多余觀測(cè)）；采用必要而又嚴(yán)格的檢核。四、

偶然誤差的特性絕對(duì)值不超過(guò)一定范圍（有界性）小誤差的密集性（單峰性）絕對(duì)值相同的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同（對(duì)稱性）偶然誤差的算術(shù)平均值趨于零（抵償性）偶然誤差的分布曲線

是標(biāo)準(zhǔn)差+-f()五、測(cè)量平差——對(duì)含有誤差的觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行處理的過(guò)程測(cè)量平差的任務(wù)：1、確定未知量的最或然值。2、評(píng)定測(cè)量成果的精度?！?.3

衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)

精度指在對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。根據(jù)誤差的性質(zhì)，精度可分為：精密度：表明測(cè)量成果中偶然誤差的大小程度正確度：表明測(cè)量成果中系統(tǒng)誤差大小的程度準(zhǔn)確度：是測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合，表明測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度。

1、定義：

當(dāng)n有限時(shí)，采用m表示的估值，即：

2、中誤差的概率意義：中誤差越小，精度越高

3、中誤差的幾何意義：

m就是誤差分布曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)一、中誤差二、極限誤差根據(jù)概率理論：

P{|Δ|m}=68.3%P{|Δ|2m}=95.4%P{|Δ|3m}=99.7%因此，在一定的觀測(cè)條件下，取

限=2m或限=3m作為極限誤差，當(dāng)觀測(cè)值的誤差大于限差時(shí)應(yīng)剔除。三、相對(duì)誤差誤差與觀測(cè)值之比。相對(duì)真誤差

相對(duì)中誤差相對(duì)較差

其中：相對(duì)誤差不帶量綱，用分子為1的形式表示?！?.4

誤差傳播定律

用于闡述獨(dú)立觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差關(guān)系的定律一、一般公式設(shè)未知量z與t個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值x1,x2,…xt之間有如下的函數(shù)關(guān)系式：

z=f(x1,x2,…xt)xi的真誤差xi引起z產(chǎn)生真誤差z

則：z+z=f(x1+x1,x2+x2,…

xt+xt)

xi均是小量，上式按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并舍去二次及以上諸項(xiàng)，得：

兩邊平方后求和：結(jié)論：

各獨(dú)立觀測(cè)值任意函數(shù)的中誤差的平方，等于該任意函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)值與該觀測(cè)值中誤差乘積的平方和。

求任意函數(shù)中誤差的四個(gè)步驟：1、列出函數(shù)關(guān)系式：z=f(x1,x2,…xt)4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值3、列出函數(shù)真誤差表達(dá)式：2、求函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)值：例：某建筑場(chǎng)地已劃定為長(zhǎng)方形，獨(dú)立地測(cè)定其長(zhǎng)和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=±0.005m、mb=±0.003m，求該場(chǎng)地面積A及其中誤差mA。解：顯然這是一個(gè)任意函數(shù)。1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值A(chǔ)=a×b=450.000m22、求函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)3、列出函數(shù)的真誤差表達(dá)式4、轉(zhuǎn)換為中誤差表達(dá)式并求其值

1.線性函數(shù)全微分：中誤差關(guān)系：二、特例2.和差函數(shù)函數(shù)對(duì)各觀測(cè)值的偏導(dǎo)函數(shù)值為真誤差表達(dá)式為：中誤差表達(dá)式為3.倍數(shù)函數(shù)

z=kx

中誤差表達(dá)式為真誤差表達(dá)式為以上三種公式可以不經(jīng)過(guò)上述計(jì)算步驟直接應(yīng)用。讓我們來(lái)看幾個(gè)例題吧例1：用30米的鋼尺丈量某兩點(diǎn)間的水平距離L，恰好為12個(gè)整尺段，每尺段li的中誤差均相等，為ml=±5mm,求該段水平距離及其中誤差

mL、相對(duì)中誤差mL/L.解法一：依題意，有解法二：哪一個(gè)解法是正確的呢？練習(xí)：P2008-13，8-14例2.設(shè)有函數(shù)

z=3x-y+2l–10其中：x=2l+5,y=3l-6已知l的中誤差為ml,計(jì)算函數(shù)z的中誤差mz

。解法1.

mx=4ml,my=9ml

mz2=9mx2+my2+4ml2=49ml2

mz=7ml解法2.z=3x-y+2l–10，x=2l+5,y=3l-6z=6l+15-3l+6+2l–10=5l+11所以：mz

=5ml兩種方法，兩樣結(jié)果，哪里錯(cuò)了？？？？例3.已知AB兩點(diǎn)間的水平距離D=206.205±0.020米，在A點(diǎn)安置經(jīng)緯儀測(cè)得AB直線的高度角α=12?20?30?±30?，計(jì)算AB間的高差h，及其中誤差

mh。解：函數(shù)式：h=Dtg

α=45.130(m)

全微分：dh=tg

α

?dD+D?sec2α

?dα

中誤差關(guān)系：

mh2=tg2α

?

mD2+D2

?sec4α

?m

α2/ρ2

=0.04787400+1.09804900=1007.38

mh=31.7(mm)解法2.對(duì)函數(shù)h=Dtg

α

取自然對(duì)數(shù)：

lnh=lnD+ln(tg

α)全微分：

注意到：所以：三、應(yīng)用誤差傳播定律注意事項(xiàng)1.函數(shù)式中各觀測(cè)值應(yīng)相互獨(dú)立；2.觀測(cè)值的量綱應(yīng)統(tǒng)一?！?.5

等精度直接平差

根據(jù)對(duì)同一個(gè)量的多次觀測(cè)結(jié)果，確定最或然值并評(píng)定精度的過(guò)程，稱為直接平差。一、最小二乘準(zhǔn)則

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常有這樣的問(wèn)題：試驗(yàn)中獲得的自變量與因變量的若干組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x1,y1),（x2,y2)，…（xn,yn),怎樣找出一個(gè)已知類型的函數(shù)y=f(x)，使之與觀測(cè)數(shù)據(jù)最好的擬合？例如，已知自變量與因變量的關(guān)系為線性函數(shù)

y=ax+b

如何根據(jù)觀測(cè)值xi,yi確定常數(shù)a,b，使該直線最好地與觀測(cè)結(jié)果擬合。最小二乘準(zhǔn)則：設(shè)對(duì)某一量進(jìn)行多次觀測(cè)，獲得一組觀測(cè)值l1，l2，…ln

，該量的最或然值x按如下準(zhǔn)則確定:等精度觀測(cè)時(shí)，在為最小即[vv]=min的條件下確定；不等精度觀測(cè)時(shí)，在[pvv]=min的條件下確定。其中：vi=li

-x稱為觀測(cè)值li

的改正數(shù)，pi

是觀測(cè)值li

的權(quán)。1.算術(shù)平均值

設(shè)L1,L2,…Ln為一組獨(dú)立觀測(cè)值，根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，其最或然值x必須滿足：

[vv]=(x-L1)2+(x-L2)2+…+(x-Ln)2=min

求[vv]對(duì)x的一階和二階導(dǎo)數(shù)：

二、等精度直接平差這說(shuō)明，在等精度觀測(cè)條件下，未知量的最或然值就是算術(shù)平均值?；蛘哒f(shuō)，算術(shù)平均值是滿足最小二乘準(zhǔn)則條件下，等精度觀測(cè)值的最或然值。(1)觀測(cè)值的中誤差設(shè)有n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值L1,L2,…Ln，其算術(shù)平均值為x,改正數(shù)為vi=x–Li,真誤差i=Li–X兩式相加得：2.精度評(píng)定即：從而：考慮到

vi=x–Li；[

v]=nx–[L]=0而

右邊第二項(xiàng)趨近于0，所以有：這就是用改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的公式，稱為白塞爾公式代入前式得：最后得：(2)算術(shù)平均值x的中誤差M由誤差傳播定律得：(3)增加觀測(cè)次數(shù)與提高精度的關(guān)系

當(dāng)n增大時(shí)，能提高算術(shù)平均值的精度。但當(dāng)n大于20次后，精度提高很慢。最根本、最經(jīng)濟(jì)的辦法是提高每次觀測(cè)的精度m.

提高儀器精度選擇合理的觀測(cè)方法選擇有利的觀測(cè)時(shí)間提高觀測(cè)者的操作技能

§8.6

不等精度直接平差一、加權(quán)平均值原理

一列觀測(cè)值L1，L2，…，Ln,，其精度值分別為h1,h2,…h(huán)n，選定一個(gè)精度值h,并同時(shí)選定一組正數(shù)p1,p2,…pn，使得下列諸式同時(shí)成立：

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，應(yīng)使[pvv]=min，即：

[pvv]=p1(x-L1)2+p2(x-L2)2+……+pn(x-Ln)2=min這就是不等精度觀測(cè)時(shí)未知量的最或然值，也就是說(shuō)，不等精度觀測(cè)值的最或然值是加權(quán)平均值。1、定義：表示觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量相對(duì)可靠程序的一種權(quán)衡值。2、權(quán)與中誤差的關(guān)系由式(a)二、權(quán)得：上式表明：在不等精度觀測(cè)中，某獨(dú)立觀測(cè)值的權(quán)與該觀測(cè)值的中誤差的平方成反比，即

可見(jiàn)，用中誤差衡量精度是絕對(duì)的，而用權(quán)衡量精度是相對(duì)的，即權(quán)是衡量精度的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)。三、確定權(quán)的常用方法水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)站高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與測(cè)站成反比水準(zhǔn)測(cè)量中，當(dāng)每公里高差中誤差相同時(shí)，則各條水準(zhǔn)路線高差觀測(cè)值的權(quán)與路線長(zhǎng)度成反比角度測(cè)量中，當(dāng)每測(cè)回角度觀測(cè)中誤差相同時(shí)，各角度觀測(cè)值的權(quán)與其測(cè)回?cái)?shù)成正比

距離測(cè)量中，當(dāng)單位距離測(cè)量的中誤差