材料力學(xué)第2章 拉伸、壓縮與剪切

06二月2023第二章拉伸、壓縮與剪切§2-1軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例§2-2軸向拉伸或壓縮時(shí)橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力§2-3直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)變形§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能§2-10拉伸、壓超靜定問題§2-11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力§2-12應(yīng)力集中的概念§2-13剪切和擠壓實(shí)用計(jì)算2.1軸向拉伸和壓縮的概念與實(shí)例

06二月2023

拉伸和壓縮是桿件基本受力與變形形式中最簡(jiǎn)單的一種，所涉及的一些基本原理與方法比較簡(jiǎn)單，但在材料力學(xué)中卻有一定的普遍意義。

本章主要介紹桿件承受拉伸和壓縮的基本問題，包括：內(nèi)力、應(yīng)力、變形；材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能以及強(qiáng)度設(shè)計(jì)。本章的目的是使我們對(duì)彈性靜力學(xué)有一個(gè)初步的、比較全面的了解。

承受軸向載荷的拉（壓）桿在工程中的應(yīng)用非常廣泛。

一些機(jī)器和結(jié)構(gòu)中所用的各種緊固螺栓，在緊固時(shí)，要對(duì)螺栓施加預(yù)緊力，螺栓承受軸向拉力，將發(fā)生伸長變形。

由汽缸、活塞、連桿所組成的機(jī)構(gòu)中，不僅連接汽缸缸體和汽缸蓋的螺栓承受軸向拉力，帶動(dòng)活塞運(yùn)動(dòng)的連桿由于兩端都是鉸鏈約束，因而也是承受軸向載荷的桿件。

此外，起吊重物的鋼索、橋梁桁架結(jié)構(gòu)中的桿件等，也都是承受拉伸或壓縮的桿件。

斜拉橋承受拉力的鋼纜

軸向荷載：沿著桿件軸線方向作用的荷載此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為拉桿或壓桿。受力特點(diǎn)：直桿受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線與其軸線重合的外力F作用。變形特點(diǎn)：桿件發(fā)生縱向伸長或縮短。FF

F

F

§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力和應(yīng)力

06二月2023桿件承受軸向荷載作用時(shí)，橫截面上只有一種內(nèi)力分量——軸力FN表示軸力沿桿軸線方向變化的圖形，稱為軸力圖。桿件只在兩個(gè)端截面處承受軸向載荷時(shí)，則桿件的所有截面上的軸力都是相同的。如果桿件上作用有兩個(gè)以上的軸向荷載，就只有在兩個(gè)載荷作用點(diǎn)之間的橫截面上的軸力是相同的。軸力相同的一段桿的兩個(gè)端截面稱為控制面

06二月2023壓縮：其軸力為負(fù)值。實(shí)際方向指向所在截面。拉伸：其軸力為正值。方向背離所在截面。FNFFFN（＋）

FNFFFN（－）§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力06二月2023軸力圖：①直觀反映軸力與截面位置變化關(guān)系；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。軸力圖的意義軸力沿軸線變化的圖形+FNxFFF§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力繪制軸力圖的方法與步驟如下：其次，根據(jù)桿件上作用的載荷以及約束力，確定軸力圖的分段點(diǎn)：在有集中力作用處即為軸力圖的分段點(diǎn)；第三，應(yīng)用截面法，用假想截面從控制面處將桿件截開，在截開的截面上，畫出未知軸力，并假設(shè)為正方向；對(duì)截開的部分桿件建立平衡方程，確定軸力的大小與正負(fù)：產(chǎn)生拉伸變形的軸力為正，產(chǎn)生壓縮變形的軸力為負(fù)；最后，建立FN－x坐標(biāo)系，將所求得的軸力值標(biāo)在坐標(biāo)系中，畫出軸力圖。首先，確定作用在桿件上的外載荷與約束力；CAB

直桿，A端固定，在B、C兩處作用有集中載荷F1和F2，其中F1＝5kN，F(xiàn)2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA試畫出：桿件的軸力圖。

例題§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力如果桿件受到的外力多于兩個(gè)，畫軸力圖FFFN1=FF33F112F22332F11F2F22§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力xFF++-FF2F2F軸力圖§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的內(nèi)力06二月2023應(yīng)力的概念FAM應(yīng)力：截面上某點(diǎn)的內(nèi)力集度。其方向和大小一般而言，隨所取ΔA的大小而不同。平均應(yīng)力：全應(yīng)力（總應(yīng)力）：§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023全應(yīng)力分解為：pM垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”:位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”:

§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023其中FN——橫截面上的軸力，由截面法求得；A——橫截面面積。

（a）（b）sFNF

在很多情形下，桿件在軸力作用下產(chǎn)生均勻的伸長或縮短變形，因此，根據(jù)材料均勻性的假定，桿件橫截面上的應(yīng)力均勻分布，這時(shí)橫截面上的正應(yīng)力為

§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023應(yīng)力方向：s正應(yīng)力t剪應(yīng)力應(yīng)力特征：

（1）應(yīng)力定義在物體的假想截面或其邊界上的一點(diǎn)處。必須明確截面及點(diǎn)的位置。

（2）應(yīng)力為矢量，應(yīng)力分量為標(biāo)量。離開截面的拉應(yīng)力為正；指向截面的壓應(yīng)力為負(fù)。對(duì)截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩為正；對(duì)截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生逆時(shí)針力矩為負(fù)?！?-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力思考：F1FnF3F2應(yīng)力就是單位面積上的內(nèi)力?06二月2023

當(dāng)外力沿著桿件的軸線作用時(shí)，其橫截面上只有軸力一個(gè)內(nèi)力分量。與軸力相對(duì)應(yīng)，桿件橫截面上將只有正應(yīng)力?！?-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力變形前(1)變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面，縱向纖維變形相同。受載后PPd′a′c′b′abcd推論：拉(壓)桿橫截面上的內(nèi)力均勻分布,即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力都相等。06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力(2)拉伸應(yīng)力：（a）（b）AAFs=dAdAN==ssA∫∫sFNF(3）危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力：危險(xiǎn)截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險(xiǎn)點(diǎn)：應(yīng)力最大的點(diǎn)。06二月2023正應(yīng)力公式討論：1、對(duì)于某些特定桿件，例如鍥形變截面桿，受拉伸(壓縮)時(shí)，平截面假設(shè)不成立，故原則上不宜用上式計(jì)算其橫截面上的正應(yīng)力。2、即使是等直桿，在外力作用點(diǎn)附近，橫截面上的應(yīng)力情況復(fù)雜，實(shí)際上也不能應(yīng)用上述公式。3、外形突然變化處，將產(chǎn)生局部應(yīng)力驟增的應(yīng)力集中現(xiàn)象，不能應(yīng)用上式?！?-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023(4）圣維南（Saint-Venant）原理：

§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月20231039814335100N1mm厚度為1mm100N68633-160§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023101.799.51672985533-24450N1mm50N50N50N§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力

如用與外力系靜力等效的合力來代替原力，則除了原力系起作用區(qū)域內(nèi)有明顯差別外，在離外力作用區(qū)域略遠(yuǎn)處，上述代替的影響就非常微小，可以不計(jì)。

圣維南（Saint-Venant）原理06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力斜截面上的總應(yīng)力：

變形假設(shè)：平面假設(shè)仍成立。推論：斜截面上各點(diǎn)處軸向分布內(nèi)力的集度相同。FFF06二月2023正應(yīng)力和切應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定：

斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：

FXα§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力討論：軸向拉壓桿件的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上。軸向拉壓桿件的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸線成450截面上。在平行于桿軸線的截面上σ、τ均為零。090=a(3)0090=s0090=t0(1)a=0=smaxs02045=ast1max=0-45=ast21min-=(2)06二月2023例1：作圖示桿件的軸力圖，并求1-1、2-2、3-3截面的應(yīng)力。f30f20f3550kN60kN40kN30kN113322§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月202350例1：f30f20f3550kN60kN40kN30kN1133222060+§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023例2：圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。45°FABC12§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023例2：解：1、計(jì)算各桿件的軸力。BF45°2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力例3：試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應(yīng)力。已知F=50kN。06二月2023Ⅱ段柱橫截面上的正應(yīng)力所以，最大工作應(yīng)力為smax=s2=-1.1MPa(壓應(yīng)力）解：Ⅰ段柱橫截面上的正應(yīng)力例3：§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023例4

直徑為d=1cm桿受拉力P=10kN的作用，試求最大剪應(yīng)力，并求與橫截面夾角30°的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力?！?-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力06二月2023§2-2&2-3拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力例406二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能力學(xué)性能(機(jī)械性質(zhì))：材料在外力作用下表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。材料力學(xué)包含的兩個(gè)方面理論分析實(shí)驗(yàn)研究測(cè)定材料的力學(xué)性能；解決某些不能全靠理論分析的問題塑性材料：斷裂前產(chǎn)生較大塑性變形的材料,如低碳鋼脆性材料：斷裂前塑性變形很小的材料，如鑄鐵、石料

06二月2023國家標(biāo)準(zhǔn)《金屬拉伸試驗(yàn)方法》（GB228-2002）§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能一、試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載L=10dL=5d對(duì)圓截面試樣：對(duì)矩形截面試樣：06二月2023二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能(1)萬能試驗(yàn)機(jī)：強(qiáng)迫試樣變形并測(cè)定試樣的抗力。

(2)變形儀：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能三、低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能拉伸圖

縱坐標(biāo)——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標(biāo)——試樣工作段的伸長量

O應(yīng)力-應(yīng)變曲線06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼試樣在整個(gè)拉伸過程中的四個(gè)階段：

1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能3、強(qiáng)化階段ce（恢復(fù)抵抗變形的能力）強(qiáng)度極限4、局部變形階段ef06二月2023兩個(gè)塑性指標(biāo):斷后伸長率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能卸載及再加載規(guī)律

若在強(qiáng)化階段卸載，則卸載過程中F-Δl關(guān)系為直線。可見在強(qiáng)化階段中，Δl=Δle+Δlp。

O

即材料在卸載過程中應(yīng)力和應(yīng)變是線形關(guān)系，這就是卸載定律。06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能冷作硬化現(xiàn)象

材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。O06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能冷作時(shí)效現(xiàn)象06二月2023注意：1.低碳鋼的ss，sb都還是以相應(yīng)的抗力除以試樣橫截面的原面積所得，實(shí)際上此時(shí)試樣直徑已顯著縮小，因而它們是名義應(yīng)力。

2.低碳鋼的強(qiáng)度極限sb是試樣拉伸時(shí)最大的名義應(yīng)力，并非斷裂時(shí)的應(yīng)力。

3.超過屈服階段后的應(yīng)變還是以試樣工作段的伸長量除以試樣的原長而得，因而是名義應(yīng)變(工程應(yīng)變)?！?-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能四、其它塑性材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能伸長率√√×局部變形階段√√√強(qiáng)化階段×××屈服階段√√√彈性階段退火球墨鑄鐵強(qiáng)鋁錳鋼材料06二月2023用名義屈服極限σ0.2來表示。對(duì)于無屈服階段的塑性材料確定的方法是:

在ε軸上取0.2％的點(diǎn),對(duì)此點(diǎn)作平行于σ－ε曲線的直線段的直線（斜率亦為E）,與σ－ε曲線相交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力即為σ0.2

.§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能五、脆性材料拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線（如灰口鑄鐵）(2)割線彈性模量：總應(yīng)變?yōu)?.1％時(shí)σ－ε曲線的割線斜率。(1)應(yīng)力應(yīng)變不成比例，無屈服、頸縮現(xiàn)象，變形很小且b很低。(3)唯一強(qiáng)度指標(biāo)b—拉伸強(qiáng)度極限06二月2023§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能常溫、靜載試件和實(shí)驗(yàn)條件06二月2023

拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。

拉伸與壓縮在屈服階段以后為啥不相同？s(MPa)200400e0.10.2O低碳鋼壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線低碳鋼拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼拉、壓時(shí)的s基本相同。06二月2023

壓縮時(shí)由于橫截面面積不斷增加，試樣橫截面上的應(yīng)力很難達(dá)到材料的強(qiáng)度極限，因而不會(huì)發(fā)生頸縮和斷裂?！?-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能06二月2023§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能seOsbL灰鑄鐵的拉伸曲線sby灰鑄鐵的壓縮曲線by>

bL，鑄鐵抗壓性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于抗拉性能，斷裂面為與軸向大致成45o～55o的滑移面破壞。鑄鐵壓縮06二月2023塑性材料的主要特點(diǎn)：

塑性指標(biāo)較高，抗拉斷和承受沖擊能力較好，其強(qiáng)度指標(biāo)主要是σs，且拉壓時(shí)具有同值。脆性材料的主要特點(diǎn)：

塑性指標(biāo)較低，抗拉能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于抗壓能力，其強(qiáng)度指標(biāo)只有σb。

材料按在常溫(室溫)、靜荷載(徐加荷載)下由拉伸試驗(yàn)所得伸長率區(qū)分為塑性材料和脆性材料。

§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能塑性材料和脆性材料的主要區(qū)別：06二月2023§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能（A）OAB→BC→COAB；（B）OAB→BD→DOAB；（C）OAB→BAO→ODB；（D）OAB→BD→DB。

低碳鋼加載→卸載→再加載路徑有以下四種，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（）06二月2023§2-5材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

關(guān)于材料的力學(xué)一般性能，有如下結(jié)論，請(qǐng)判斷哪一個(gè)是正確的：（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗壓能力；（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（C）塑性材料的抗拉能力高于其抗壓能力；（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗壓能力。06二月2023失效：由于材料的力學(xué)行為而使構(gòu)件喪失正常功能的現(xiàn)象。脆性材料拉max=u拉=b拉塑性材料max=u=s拉壓構(gòu)件材料的失效判據(jù)：脆性材料壓max=u壓=b壓§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023塑性材料：

許用拉應(yīng)力

其中，ns——對(duì)應(yīng)于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)許用壓應(yīng)力

§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力:在保證正常工作的條件下,材料容許承受的工作應(yīng)力的最高值。I.材料的拉、壓許用應(yīng)力脆性材料：06二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算II.關(guān)于安全因數(shù)的考慮

(1)考慮強(qiáng)度條件中一些量的變異。如極限應(yīng)力(ss，sp0.2，sb，sbc)的差異，構(gòu)件橫截面尺寸的差異，荷載值的差異，以及計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異。

(2)考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。計(jì)及使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計(jì)及構(gòu)件的重要性及破壞的后果。安全因數(shù)的大致范圍：靜荷載(徐加荷載)下，06二月2023其中：smax——拉(壓)桿的最大工作應(yīng)力；[s]——材料拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力。III.拉(壓)桿的強(qiáng)度條件§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023(3)許可荷載的確定:(2)截面選擇：已知拉(壓)桿材料及所受荷載，按強(qiáng)度條件求桿件橫截面面積或尺寸。(1)強(qiáng)度校核：已知拉(壓)桿材料、橫截面尺寸及所受荷載，檢驗(yàn)?zāi)芊駶M足強(qiáng)度條件§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算FN,max=A[s]

Ⅳ.強(qiáng)度計(jì)算的三種類型06二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算例1

已知一圓桿受拉力P=25kN，許用應(yīng)力[]=170MPa

，直徑d=14mm，校核此桿強(qiáng)度。06二月2023解：①軸力：FN

=P=25kN②應(yīng)力：③強(qiáng)度校核：④結(jié)論：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。例1§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023例2

圖示三角架，桿AC由兩根80mm80mm7mm等邊角鋼組成，桿AB由兩根10號(hào)工字鋼組成。兩種型鋼的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa。試求許可荷載[F]。§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023解

:(拉)（壓）例2§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023計(jì)算各桿的許可軸力由型鋼表查出相應(yīng)等邊角鋼和工字鋼的橫截面面積由強(qiáng)度條件；得各桿的許可軸力：桿AC的橫截面面積：桿AB的橫截面面積：先按每根桿的許可軸力求各自相應(yīng)的許可荷載：故§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023例3

試選擇圖示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。已知：F=16kN，[]=120MPa?！?-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023DI鋼拉桿所需直徑：由于圓鋼的最小直徑為10mm，故鋼拉桿DI采用f10圓鋼。解:例3§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算06二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算例4

簡(jiǎn)易起重機(jī)構(gòu)如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重為P，為使BD桿最輕，角應(yīng)為何值？已知BD桿的許用應(yīng)力為[]。xLhqPABCD06二月2023BD桿面積A：解：

BD桿內(nèi)力FN(q)：取AC為研究對(duì)象，如圖YAXAqFBDxLPABC§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算例406二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算③求VBD

的最小值：06二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算例5

圖示空心圓截面桿，外徑D＝20mm，內(nèi)徑d＝15mm，承受軸向荷載F＝20kN作用，材料的屈服應(yīng)力s＝235MPa，安全因數(shù)n=1.5。試校核桿的強(qiáng)度。FFDd06二月2023§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計(jì)算例5

解：可見，工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說明桿件安全。FFDd06二月2023§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

1．桿的縱向總變形：

2．縱向線應(yīng)變：LFFL1bb1一、拉壓桿的變形及應(yīng)變

受力物體變形時(shí)，每單位長度的伸長或縮短。反映變形程度。當(dāng)桿沿長度均勻變形時(shí)06二月2023§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形當(dāng)桿沿長度非均勻變形時(shí)一般情況下，桿沿x方向的總變形

x截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)?/p>

微段的分離體軸力圖06二月20233．桿的橫向變形：5．泊松比（或橫向變形系數(shù)）

LFFL1bb14．桿的橫向應(yīng)變：§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形06二月2023

※“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。

FF二、胡克定律§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形

實(shí)驗(yàn)表明：在材料的線彈性范圍內(nèi)，△L與外力F和桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。引進(jìn)比例常數(shù)E（胡克定律）06二月2023

內(nèi)力在n段中分別為常量時(shí)

N(x)dxx§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形06二月2023§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形在材料的線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變呈正比關(guān)系。胡克定律的另一表達(dá)形式：

←單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

06二月2023§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形例1

圖示等直桿的橫截面積為A、彈性模量為E，試計(jì)算D點(diǎn)的位移。06二月2023§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形例1解：P3P++06二月2023例3

圖示結(jié)構(gòu)中①桿是直徑為32mm的圓桿，②桿為2×No.5槽鋼。材料均為Q235鋼，E=210GPa。已知F=60kN，試計(jì)算B點(diǎn)的位移。1.8m2.4mCABF①②§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形06二月2023例31.8m2.4mCABF①②F解：1、計(jì)算各桿上的軸力2、計(jì)算各桿的變形§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形06二月20231.8m2.4mCABF①②3、計(jì)算B點(diǎn)的位移（以切代?。〣4B3§2-8軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形如圖所示桿系，荷載P=100kN，試求結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，d=25mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E=210GPa。第二章軸向拉伸和壓縮由胡克定律得其中1.求桿的軸力及伸長解：結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA系由兩桿的伸長變形引起，故需先求兩桿的伸長。

由結(jié)點(diǎn)A的平衡(如圖)有第二章軸向拉伸和壓縮2.由桿的總變形求結(jié)點(diǎn)A的位移

根據(jù)桿系的布置、約束、桿的材料以及受力情況均與通過結(jié)點(diǎn)A的鉛垂線對(duì)稱可知，結(jié)點(diǎn)A只有豎向位移(如圖)。第二章軸向拉伸和壓縮亦即

畫桿系的變形圖，確定結(jié)點(diǎn)A的位移由幾何關(guān)系得第二章軸向拉伸和壓縮從而得

此桿系結(jié)點(diǎn)A的位移(displacement)是因桿件變形(deformation)所引起，但兩者雖有聯(lián)系又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個(gè)標(biāo)量；位移是指結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，是個(gè)矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。第二章軸向拉伸和壓縮06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能應(yīng)變能:

伴隨著彈性變形的增減而改變的能量Vε.

即彈性固體在外力作用下，因變形而儲(chǔ)存的能量

彈性變形時(shí)認(rèn)為，積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Vε在數(shù)值上等于外力所作功W，Vε=W。應(yīng)變能的單位為

J（1J=1N·m）。06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能又因?yàn)樗詰?yīng)變能密度vε——單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。

或

或

06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能軸力圖微段的分離體沿桿長均勻分布的荷載集度為f06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能例1:求如圖所示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理(Vε=W)求結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA。已知：P=100kN，桿長l=2m，桿的直徑d=25mm，a=30°，材料的彈性模量E=210GPa。06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能解：應(yīng)變能例1結(jié)點(diǎn)A的位移由知06二月2023§2-9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能例1亦即

畫桿系的變形圖，確定結(jié)點(diǎn)A的位移

由幾何關(guān)系得06二月2023靜定結(jié)構(gòu)：約束反力可由靜力平衡方程求得；

超靜定度（次）數(shù)：約束反力多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)Ⅰ.關(guān)于超靜定問題的概述超靜定結(jié)構(gòu)多余約束：對(duì)于特定的工程要求是必要的,但對(duì)于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的?！?-10拉伸、壓縮超靜定問題06二月2023§2-10拉伸、壓縮超靜定問題Ⅱ.解超靜定問題的基本思路在基本靜定系上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件綜合考慮變形幾何相容條件物理關(guān)系靜力平衡條件求解解除“多余”約束基本靜定系12BCAFFN3FN3AD06二月2023§2-10拉伸、壓縮超靜定問題求解超靜定問題的步驟：（1）確定超靜定次數(shù)，建立基本靜定系，列靜力平衡方程；（2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程；（3）將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得到補(bǔ)充方程；（4）聯(lián)力補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解。06二月2023§2-10拉伸、壓縮超靜定問題例106二月20231、建立基本靜定系，列出獨(dú)立的平衡方程:2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補(bǔ)充方程5、聯(lián)立方程組求解§2-10拉伸、壓縮超靜定問題例106二月2023例2

求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA?！?-10拉伸、壓縮超靜定問題06二月20232.相容條件ΔBF+ΔBB=0，參見圖c，d。3.補(bǔ)充方程為由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。得FA=F-Fa/l=Fb/l。5.利用相當(dāng)系統(tǒng)(如圖)求得4.由平衡方程FA+FB-F=0

解:FA+FB-F=0，故為一次超靜定問題?！?-10拉伸、壓縮超靜定問題06二月2023例3一鉸接結(jié)構(gòu)如圖示,在水平剛性橫梁的B端作用有載荷F,垂直桿1,2的抗拉壓剛度分別為E1A1,E2A2,若橫梁AB的自重不計(jì),求兩桿中的內(nèi)力.L112§2-10拉伸、壓縮超靜定問題06二月2023例3§2-10拉伸、壓縮超靜定問題L112變形協(xié)調(diào)方程06二月2023§2-12應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中：幾何形狀不連續(xù)處應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象。理論應(yīng)力集中因數(shù)：具有小孔的均勻受拉平板，K≈306二月2023應(yīng)力集中對(duì)強(qiáng)度的影響塑性材料制成的桿件：(1)應(yīng)力分布不均勻,孔附近應(yīng)力驟然增加,離孔稍遠(yuǎn)處應(yīng)力迅速下降趨于均勻.(2)荷載增大,進(jìn)入彈塑性,當(dāng)局部應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí),繼續(xù)增加荷載,應(yīng)力不增加,應(yīng)變繼續(xù)增大,所增加的荷載由其余部分材料來承受.(3)整個(gè)截面各點(diǎn)處的應(yīng)力都達(dá)到屈服強(qiáng)度,桿件因屈服喪失正常工作能力.§2-12應(yīng)力集中的概念06二月2023