彈塑性力學(xué)第二章

第二章

應(yīng)力分析

§2-1內(nèi)力和外力§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的不變量§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力§2-6應(yīng)力張量的分解

§2-7平衡微分方程、力的邊界條件

2/6/20231§2-1內(nèi)力和外力1.1外力：

物體承受外因而導(dǎo)致變形，外因可以是熱力

作用、化學(xué)力作用、電磁力作用和機(jī)械力作用；另一方面從量綱分類，外力主要為體積力和表面積力。我們討論的外力是屬于機(jī)械力中的體力和面力的范圍。

2/6/20232§2-1內(nèi)力和外力1.外部體力：作用在物體單位體積（質(zhì)量）x1Px3x2VF量綱：力/（長(zhǎng)度）3。

求V中任意點(diǎn)P上承受體力采用極限方法：

上的力,如重力（或慣性力）2/6/20233§2-1內(nèi)力和外力2.外部面力：作用在物體外部表面力其中

為沿三個(gè)坐標(biāo)軸分量。x1Px3x2SF如靜水壓力、土壓力等。量綱：力/（長(zhǎng)度）2。求物體表面上任意一點(diǎn)P上受面力仍采用極限方法：2/6/20234§2-1內(nèi)力和外力其中

為沿三個(gè)坐標(biāo)軸分量。2/6/20235§1-1內(nèi)力和外力1.2內(nèi)力：

物體內(nèi)部抵抗外力而產(chǎn)生相互作用的力。在材力和結(jié)力中以N、M、Q形式出現(xiàn)，但在彈力中常以應(yīng)力來(lái)描述。2/6/20236§2-2應(yīng)力和應(yīng)力張量2.1應(yīng)力矢量當(dāng)變形體受外力作用時(shí)，要發(fā)生變形，同時(shí)引起物體內(nèi)部各點(diǎn)之間相互作用力（抵抗力）——內(nèi)力，為了描述物體內(nèi)任意點(diǎn)P的內(nèi)力可采取如下方法：過P點(diǎn)設(shè)一個(gè)截面S將V分為兩部分：（相互有作用力與反作用力）2/6/20237§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量FnSPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分：V+、S+、外法線

、合力

；

另一部分：V-、S-、外法線

、合力

；

截面上的合力：

或

2.1應(yīng)力矢量2/6/20238§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量FnSPV+2.1應(yīng)力矢量截面上P點(diǎn)上的內(nèi)力情況，在V+上S面圍繞P點(diǎn)取S，

S上合力為。應(yīng)力矢量（作用在V+）：

應(yīng)力矢量與P點(diǎn)位置有關(guān)，與截面方向（

方向）有關(guān)。2/6/20239§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量量綱為力/（長(zhǎng)度）2。

當(dāng)截面不變時(shí)，應(yīng)力矢量具有一個(gè)方向性。取V-：作用在V-上。

當(dāng)P點(diǎn)的截面與坐標(biāo)面平行時(shí)，

2/6/202310§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理：過P點(diǎn)以單位外法線截面上的應(yīng)量、、力矢量是作用在通過P點(diǎn)坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢的線性函數(shù)、其系數(shù)是的方向余弦，2/6/202311§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量即：x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202312§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量則

設(shè)證：

可得

x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202313§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量而

代入上式，并忽略高階微量

根據(jù)微元體的平衡，得

x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202314§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量或

展開為

或x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202315§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2.2應(yīng)力張量

每個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力矢量又可以沿三個(gè)坐標(biāo)面分解三個(gè)分量，比如坐標(biāo)面法線為x1

t1x1(x)x3(z)x2(y)1112132/6/202316§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量沿三個(gè)坐標(biāo)面的應(yīng)力矢量由九個(gè)元素(分量)表示,這九個(gè)分量組成一個(gè)二階張量：

2/6/202317§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量這九個(gè)分量的兩個(gè)下標(biāo)：第一個(gè)表示應(yīng)力矢量作用面的法線方向，第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力矢量的分量的方向。

應(yīng)力分量的正負(fù)：在正面上應(yīng)力分量指向坐標(biāo)正向?yàn)檎?，反之為?fù)；在負(fù)面上的應(yīng)力分量指向坐標(biāo)負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù)。2/6/202318下面說(shuō)明一下[]為張量：

柯西公式（Canchyformula）

由商法則可知

§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量[]為一二階張量

2/6/202319

斜面上的應(yīng)力矢量沿正交坐標(biāo)系分解

§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量[]為一二階張量，

2/6/202320根據(jù)柯西公式

斜面上的應(yīng)力矢量沿正交坐標(biāo)系分量：

§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202321§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量定理：作用在過P點(diǎn)任一截面的應(yīng)力矢量完全由該點(diǎn)的應(yīng)力張量線性表出。量關(guān)系

且

是以三個(gè)坐標(biāo)分量表示.柯西公式表示了應(yīng)力張量與任一斜面上應(yīng)力矢2/6/202322§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量其中，斜面法向應(yīng)力：

應(yīng)力矢量也可沿斜面法向和切向分解2/6/202323§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202324§2-2應(yīng)力矢量和應(yīng)力張量2/6/202325作業(yè)：

1。在物體中一點(diǎn)P的應(yīng)力張量為

，求（1）過P點(diǎn)且外法線為的面上的應(yīng)力矢量；

（2）的大??；

（3）與的夾角

（4）求的法向分量；

（5）切向分量。

2/6/202326作業(yè)：2.在P點(diǎn)兩斜面法線向量和，證：（用指標(biāo)符號(hào)證）。2/6/202327§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式

當(dāng)物體受外力作用下，其內(nèi)力和變形也是一定的，但這些物理量隨著選取的直角坐標(biāo)系不同他們的分量是不一樣的，但不同坐標(biāo)下它們（分量）之間轉(zhuǎn)換應(yīng)遵循一定的規(guī)律。2/6/202328§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式

3.1兩個(gè)不同直角坐標(biāo)系基向量的轉(zhuǎn)換：

（舊）第一個(gè)直角坐標(biāo)系：

（新）第二個(gè)直角坐標(biāo)系：

x3x1x2x’1x’2x’32/6/202329§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式新坐標(biāo)基矢量由舊坐標(biāo)基矢量表示

x3x1x2x’1x’2x’32/6/202330§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式兩邊點(diǎn)積

2/6/202331§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式與的方向余弦，共有九個(gè)元素。

或2/6/202332§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式九個(gè)元素用矩陣表示

則新坐標(biāo)基矢量用舊基矢量表示：

2/6/202333§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式同理舊坐標(biāo)基矢量用新坐標(biāo)基矢量表示

注意

九個(gè)元素用矩陣表示

2/6/202334§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式

舊坐標(biāo)基矢量用新坐標(biāo)基矢量表示：

2/6/202335§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.2矢量（向量）的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

x3x2x1o2/6/202336§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式用矩陣表示

2/6/202337§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.3應(yīng)力（二階）張量的坐標(biāo)變換

2/6/202338§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.3應(yīng)力（二階）張量的坐標(biāo)變換

2/6/202339§2-3應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式3.4笛卡爾張量定義一般式

如物理量(r個(gè)下標(biāo)）

兩個(gè)不同笛卡爾直坐標(biāo)下表示滿足

則T為r階張量。

2/6/202340§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量由柯西公式，已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（或）,在xi

笛卡爾坐標(biāo)系中，則任何方向的應(yīng)力矢量

4.1主應(yīng)力和應(yīng)力主方向2/6/202341§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量這里

2/6/202342隨著變化，也變化，

但肯定存在一個(gè)使,即或

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202343展開

（1）

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202344即

不全為零

有關(guān)的三次方程

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202345應(yīng)力的第一不變量

應(yīng)力的第二不變量

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量（2）

2/6/202346應(yīng)力的第三不變量

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202347應(yīng)力的第一不變量

§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量（2）

由（2）求出三根分別為，代回（2）式

應(yīng)力的第二不變量

2/6/202348應(yīng)力張量第三不變量：

求出主應(yīng)力后代回（1），并注意的三個(gè)方向余弦可決定每個(gè)主應(yīng)力的主方向§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202349

幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）（因?yàn)橛删€性代數(shù)知實(shí)對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)）三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)，§2-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202350（2）當(dāng)有一個(gè)重根時(shí)，如，則與垂直平面內(nèi)任何方向均為主應(yīng)力，為（3）當(dāng)，任意方向均為主方向，稱為球形應(yīng)力或靜水應(yīng)力狀態(tài)?！?-4主應(yīng)力和應(yīng)力主方向、應(yīng)力張量的

不變量2/6/202351§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力

5.1最大正應(yīng)力

一點(diǎn)P的三個(gè)主應(yīng)力

可以取xi

軸為主軸，則

2/6/202352§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力

5.1最大正應(yīng)力

任意斜面的上應(yīng)力矢量

，2/6/202353§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力2/6/202354§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力5.2最大剪應(yīng)力

條件駐值問題

2/6/202355§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力求出最大的方向

引入拉氏乘子：

2/6/202356§2-5最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力莫爾園

：

max1213min22/6/202357§2-6應(yīng)力張量的分解2/6/202358§2-6應(yīng)力張量的分解為應(yīng)力球張量；

為應(yīng)力偏斜張量。

應(yīng)力球張量是一種平均的等向應(yīng)力狀態(tài)（均勻拉壓），對(duì)于各向同性材料，它引起體積膨脹（或收縮）2/6/202359§2-6應(yīng)力張量的分解

應(yīng)力偏斜張量表示（實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)減去應(yīng)力球形張量）了材料的形狀畸變

實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)于金屬等材料，體積膨脹基本是純彈性的。

而實(shí)驗(yàn)證明塑性變形基本是畸變變形，所以在塑性力學(xué)中非常重要。2/6/202360§2-7平衡微分方程、力的邊界條件

§2—§6節(jié)較系統(tǒng)（不同側(cè)面）討論了一點(diǎn)應(yīng)力張量（狀態(tài)），這一節(jié)將討論之間的關(guān)系：平衡微分方程和力的邊界條件。

2/6/202361§2-7平衡微分方程、力的邊界條件

7.1平衡微分方程

當(dāng)變形體受外力作用包括體力和面力，研究某點(diǎn)P的應(yīng)力與體力之間關(guān)系。取有限變形體V，考慮有限變形體總平衡（合力）fFx1x3x2oPr2/6/202362§2-7平衡微分方程、力的邊界條件或

——將面積分轉(zhuǎn)化為體積分

利用高斯定理

fFx1x3x2oPr2/6/202363§2-7平衡微分方程、力的邊界條件即

在V上（對(duì)任意體積）

——平衡微分方程

2/6/202364§2-7平衡微分方程、力的邊界條件用指標(biāo)符號(hào)寫成

或

2/6/202365§2-7平衡微分方程、力的邊界條件

有限變形體V對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o取矩

而

除了合力等于零外，有限體還需對(duì)任意點(diǎn)取力矩為零（力矩平衡）：fFx1x3x2oPr2/6/202366§2-7平衡微分