建筑力學(xué)課件第二章

第二章力系的等效與簡化

第一節(jié)力系的分類第二節(jié)力系等效的基本原理

第三節(jié)力系的簡化總結(jié)與討論習(xí)題2.1力系的分類在前章中介紹過，將作用于所研究的物體或物體系統(tǒng)上的一組力稱為力系。根據(jù)構(gòu)成力系的各力的作用線間的關(guān)系，可以將力系分為如下幾種情形。當(dāng)構(gòu)成力系的各力的作用線不在同一平面內(nèi)時，稱該力系為空間力系或空間一般力系。當(dāng)構(gòu)成力系的各力的作用線位于同一平面內(nèi)時，稱該力系為平面力系或平面一般力系。當(dāng)構(gòu)成力系的各力的作用線匯交于同一點(diǎn)時，稱該力系為匯交力系。當(dāng)構(gòu)成力系的各力的作用線相互平行時，稱該力系為平行力系。當(dāng)力系是由兩個及兩個以上力偶組成時，稱該力系為力偶系。匯交力系、力偶系及平行力系也有空間和平面之分。根據(jù)力系是否平衡，可以將力系分為平衡力系（零力系）及非平衡力系。返回2.2力系等效的基本原理2.2.1力系的主矢與主矩空間一般力系（，，…，）如圖2-1所示。定義力系中所有力的矢量和為力系的主矢量，簡稱為主矢，即 （2-1）式中，為力系主矢；為力系中第個力。根據(jù)合力投影定理，式（2-1）在直角坐標(biāo)系下可以寫成投影表達(dá)式： （2-2）力系中所有各力對同一點(diǎn)之矩的矢量和為力系的主矩，即 （2-3）式中，Mo為力系主矢；Mo(Fi)為力系中第i個力對O點(diǎn)的矩。下一頁返回2.2力系等效的基本原理主矩在坐標(biāo)系上的分量表達(dá)式為 （2-4）對于力系的分力有內(nèi)力的，由牛頓第三定律可知，內(nèi)力都是成對出現(xiàn)，大小相等、方向相反、作用在同一直線上，故知力系中內(nèi)力的矢量和及內(nèi)力矩的矢量和均為零。由上述定義可以看出，力系的主矢取決于分力的大小、方向，而與分力的作用點(diǎn)沒有關(guān)系，力系的主矢是一個自由矢量。并且，對于給定的力系，其主矢是唯一的。力系的主矩則是一個固定矢量，它的作用點(diǎn)就是取矩點(diǎn)。對于非平衡力系而言，同一力系對于不同點(diǎn)的主矩是不相同的上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理例2-1

如圖2-2所示為F1、F2及F3組成的空間力系。試求力系的主矢及主矩。已知F1=2KN，F(xiàn)2=1KN，F(xiàn)3=3KN。作用線在yOz面內(nèi)，F(xiàn)1和F3分別在長方體的棱邊上。解：取i、j、k為x、y、z方向的單位矢量，則力系中三力可寫為F1=2i，F(xiàn)2=3k，F(xiàn)3=0.6j+0.8k應(yīng)用式（2-1），力系的主矢為應(yīng)用式（2-3），力系的主矩為上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理例2-2

如圖2-3中所示，沿正六面體的三棱邊作用著三個力，在平面OAB內(nèi)作用一個力偶。已知F1=20N，F(xiàn)2=30N，F(xiàn)3=50N，M=1N/m。試求力系的主矢及主矩，圖中單位為mm。解：建立如圖示坐標(biāo)系，取i、j、k為x、y、z方向的單位矢量，力系中三力、力偶及矢徑表示為矢量形式：，，，應(yīng)用式（2-1），力系的主矢為應(yīng)用式（2-3），力系的主矩為上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理2.2.2等效力系定理前文已對等效力系作了定義，即當(dāng)作用于物體上的一個力系可以用另一個力系來代替，物體的運(yùn)動效應(yīng)不發(fā)生改變，則這兩個力系互為等效力系?？梢宰C明，對于質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系而言，其運(yùn)動效應(yīng)完全由作用于質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的力系的主矢及主矩決定。對于剛體而言，有如下等效力系定理。不同的兩力系對剛體運(yùn)動效應(yīng)相同的條件是不同的力系的主矢相等以及對同一點(diǎn)的主矩相等。上述定理進(jìn)一步指出了等效力系間的關(guān)系。以一個力系的等效力系代替該力系的變換稱為力系的等效變換。力系的等效變換只是考慮同一物體在不同力系作用下的運(yùn)動效應(yīng)的情況，但不涉及力系對物體的變形效應(yīng)。若某力系的主矢和對任意一點(diǎn)的主矩都等于零，則該力系稱為零力系，也稱為平衡力系上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理由等效力系定理和平衡力系的性質(zhì)可以得到如下加減平衡力系原理：在已知力系上任意增加或減去平衡力系，并不會改變原力系對剛體的作用效應(yīng)。由加減平衡力系原理很容易得到如下推論。1.

用于剛體的力的可傳性作用在剛體上某點(diǎn)的一個力，可以沿著它的作用線移到該剛體上的任意一點(diǎn)而不改變該力對剛體的作用效果。對此推論可以簡單證明，如圖2-4所示剛體A點(diǎn)受力F作用，在力的作用線上任意一點(diǎn)B施加大小等于F的平衡力系F1、F2，據(jù)上述加減平衡力系原理，新力系（F、F1、F2）與原來的力F等效。而F和F1為平衡力系，減去后不改變力系的作用效應(yīng)。于是，力F2與原力系F等效。力F2與力F大小相等，作用線和指向相同，只是作用點(diǎn)由A變?yōu)锽?？煽闯墒橇沿平行線傳到了B點(diǎn)。上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理例如，用小車運(yùn)送物品如圖2-5所示，不論在車后A點(diǎn)用力F推車，或在車前同一直線上的B點(diǎn)用力F拉車，效果都是一樣的。推論說明，從力對剛體效應(yīng)方面看，作用于單個剛體上的力是一個滑動矢量，三要素為大小、方向、作用線。2.作用于剛體的力的平移定理如圖2-6（a）所示，設(shè)一力作用在剛體上的A點(diǎn)，現(xiàn)要將其等效地平行移動到剛體上的任一點(diǎn)B。為此，可以在B點(diǎn)加上大小相等、方向相反且與平行的一對平衡力和，并使。根據(jù)加減平衡力系原理，力與、和這三個力構(gòu)成的力系等效。顯然，和組成一個力偶，稱為附加力偶，設(shè)其力偶臂為［圖2-6（b）］。由此過程，作用于A點(diǎn)的力，可由作用在B點(diǎn)的力和一個附加力偶來代替。可見，作用在A點(diǎn)的力在平移到剛體上任一指定點(diǎn)B時，必須同時附加一個力偶。該力偶的力偶矩大小為 （2-5）其作用面為力與B點(diǎn)所確定的平面。由此可得力的平移定理，作用在剛體上的力，可以等效地平移到剛體上任一指定點(diǎn)，但上一頁下一頁返回2.2力系等效的基本原理由此可得力的平移定理，作用在剛體上的力，可以等效地平移到剛體上任一指定點(diǎn)，但必須在該力與指定點(diǎn)所確定的平面內(nèi)附加一個力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對指定點(diǎn)的力矩。圖2-7力的平移在工程中的應(yīng)用如圖2-6（c）所示的一個力和一個力偶矩M，常稱為是共面的一個力和一個力偶。根據(jù)上述力的平移定理的逆過程，可以得知共面的一個力和一個力偶（即力偶矩矢和力矢垂直）總可以合成為一個力，此力的大小和方向與原力相同，但它們的作用線卻要相距一定的距離。工程上有時也將力平行移動，以便了解其效應(yīng)。例如，作用于立柱上A點(diǎn)的偏心力F如圖2-7（a）所示，可平移至立柱軸線上成為，并附加一力偶矩矢為的力偶，如圖2-7（b）所示，這樣并不改變力的總效應(yīng)，但卻容易看出，軸向力將使立柱壓縮，而力偶矩矢M將使立柱彎曲。力的平移定理是力系簡化的一個普遍方法，也是力系向一點(diǎn)簡化的理論基礎(chǔ)。上一頁返回2.3力系的簡化所謂力系的簡化，就是將由若干力和力偶所組成的一般力系，等效地替換為一個力，或者一個力和一個力偶。這種用簡單力系等效替換復(fù)雜力系的過程稱為力系的簡化。力系簡化的基礎(chǔ)是力的平移定理。下一頁返回2.3力系的簡化2.3.1任意力系的簡化1.

空間任意力系向某一點(diǎn)的簡化設(shè)有空間任意力系，各力分別作用于各點(diǎn)，如圖2-8所示。簡化時可任取一點(diǎn)O作簡化中心，將各力平行移至O點(diǎn)，并各附加一力偶，于是得到一個作用于O點(diǎn)的匯交力系和一個附加力偶系。各附加力偶矩應(yīng)作為矢量，分別垂直于相應(yīng)的力與O點(diǎn)所決定的平面，并分別等于相應(yīng)的力對于O點(diǎn)的矩。匯交力系可合成為一個力FR，等于各力的矢量和，即 （2-6）附加力偶系可合成為一個力偶，其力偶矩等于各附加力偶的力偶矩矢的矢量和，即 （2-7）亦即等于原力系中各力對于簡化中心O的矩的矢量和 （2-8）可以看出，為原力系的主矢，為原力系對于簡化中心的主矩。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化綜上所述可得如下結(jié)論?？臻g力系向某一點(diǎn)（簡化中心）簡化的結(jié)果一般是一個力和一個力偶，這個力作用于簡化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，亦即等于原力系的主矢量；這個力偶的矩等于原力系中所有各力對于簡化中心的矩的矢量和，亦即等于原力系對于簡化中心的主矩。也就是說，在一般情形下，空間力系可以用有一個力和一個力偶組成的簡單力系等效代替。2.

空間任意力系簡化的最后結(jié)果如上文所述，將一空間力系向一點(diǎn)簡化，一般可以得到一個力和一個力偶。又根據(jù)力的平移定理的逆向使用可知，當(dāng)力和力偶共面時，可以將其等效為一個力。由此可知，上文所述空間力系向一點(diǎn)簡化的部分結(jié)果還可以進(jìn)一步簡化?？臻g力系最后的簡化結(jié)果為下列四種情形之一。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化（1）平衡力系，這時，。表明力系為平衡力系，其為靜力學(xué)研究的重點(diǎn)，將在第4章詳細(xì)討論。（2）合力偶，這時，。此時，力系對任意一點(diǎn)的主矩都相等，主矩與簡化中心無關(guān)。如力偶系簡化的結(jié)果為一個合力偶。（3）合力，這時有兩種情況，一種是，，合力的作用線通過點(diǎn)O，大小、方向決定于力系的主矢；另一種情形是：。也就是說，前期簡化得到的力和力偶都不為零，并且它們二者互相垂直，根據(jù)力向一點(diǎn)平移定理的逆向使用可知，和最終可以簡化為一個合力，如圖2-9所示，合力的作用線通過另一簡化中心。相對O的矢徑由下式確定： （2-9）（4）力螺旋。這時，對這種情況，可將主矩分解為沿力作用線方向的和垂直于力作用線方向的。這樣，進(jìn)一步將和簡化為過點(diǎn)的。最終，將原力系簡化為一個力和與此力共線的力偶，如圖2-9所示，這樣的一個力和與之垂直的平面內(nèi)的一個力偶的組合稱為力螺旋。力螺旋也是最簡單的力系之一，無法進(jìn)一步簡化。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化例2-3

圖2-10中所示為、組成的空間力系。試求此力系向O點(diǎn)簡化的主矢及主矩。已知，。解：將已知量表示為矢量形式**上一頁下一頁返回2.3力系的簡化例2-4

圖2-11是某重力壩段中央平面的受力情況，其中是上游水壓力，是泥沙壓力，是壩段所受重力，此三力共面。已知，試將三力向O點(diǎn)簡化，并求出簡化的最后結(jié)果。圖中長度單位為m。解：先求主矢量。取坐標(biāo)如圖，利用式（2-2）及式（2-4）則再求對點(diǎn)的主矩負(fù)號表示的轉(zhuǎn)向是順時針方向，如圖所示。因主矢量不等于零，故原力系可簡化為一合力，而。設(shè)的作用線與軸交于A點(diǎn)。A點(diǎn)的坐標(biāo)可利用合力矩定理求得。

上一頁下一頁返回2.3力系的簡化2.3.2特殊力系簡化的結(jié)果空間匯交力系、空間平行力系及空間力偶系都可以看成是空間特殊力系。它們的簡化方法如同空間一般力系，簡化的結(jié)果有一定的規(guī)律，下面逐一討論。圖2-12例2-5圖1.

匯交力系簡化結(jié)果匯交力系又可分為空間匯交力系和平面匯交力系，它們的簡化方法一樣，具有相同的特征。只不過平面力系在數(shù)學(xué)上可以用二維向量描述，空間力系要用三維向量描述。設(shè)匯交力系由分力構(gòu)成，取匯交點(diǎn)為簡化中心，可知匯交力系可以簡化為一主矢，沒有主矩，主矢作用線過匯交點(diǎn)。主矢為： （2-10）若簡化中心沒有取在過匯交點(diǎn)以主矢方向的直線上，簡化的結(jié)果將是主矢及主矩都不為零。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化例2-5將圖2-12所示平面匯交力系在匯交點(diǎn)進(jìn)行簡化。已知，，，。解：利用式（2-2）主矩在軸上的投影為再求的大小及方向余弦所以。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化2.

力偶系簡化的結(jié)果首先來看單個力偶能否進(jìn)一步簡化，我們知道，力偶是由大小相等、方向相反、作用線互相平行但不重合的兩個力所組成的力系，故知力偶對任一點(diǎn)簡化的結(jié)果都是?？梢?，力偶對剛體的作用無法用一個力來代替。也就是說組成力偶的兩個力所構(gòu)成的力系是最簡單最基本的力系之一，不能進(jìn)一步簡化。力偶只能與力偶等效。因此，力偶同力一樣，是組成力系的基本元素。對于力偶系，其對任一點(diǎn)簡化的結(jié)果都是，即沒有主矢，只有主矩，簡化的結(jié)果是一個力偶。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化3.

平面力系簡化的結(jié)果平面力系也是工程上常見的一種力系。工程上平面結(jié)構(gòu)所受的主動力如果都在結(jié)構(gòu)平面內(nèi)，則約束力也必定在該平面內(nèi)，主動力和約束力組成平面力系。建筑工程上好多結(jié)構(gòu)都是或可以看成平面結(jié)構(gòu)，其上作用的主動力及約束反力一般都處于結(jié)構(gòu)平面內(nèi)，構(gòu)成了平面力系。平面力系簡化中一般取平面內(nèi)一點(diǎn)作為簡化中心進(jìn)行簡化，此時，若力系的主矩不等于零，則其必定垂直于力系作用線所構(gòu)成的平面。故而可知，平面力系簡化的最后結(jié)果只可能是以下三種情形之一，平衡力系、合力、合力偶，不可能出現(xiàn)力螺旋。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化2.3.3平行力系的簡化空間平行力系是在工程中經(jīng)常遇到的力系之一，如水對固體平面作用的壓力、物體所受到的重力、風(fēng)對墻面作用的壓力等。由平行力系的構(gòu)成不同，將平行力系分為兩類。一類是由分布力構(gòu)成的力系，如圖2-13所示，其上某一點(diǎn)處的大小為，用荷載集度來表示，單位為或；另一類是由集中力構(gòu)成的力系，如圖2-14所示。將力系簡化理論應(yīng)用于平行力系，可知平行力系簡化的最終結(jié)果有三種情形，平衡力系、合力偶和合力。對于可以簡化為合力的平行力系而言，合力大小和方向是容易確定的，主要問題是確定合力作用點(diǎn)的位置。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化1.

一般平行分布力系的簡化假定一平板如圖2-15所示，其上作用有荷載集度為的荷載，是已知函數(shù)，利用微元法，可以在板任意位置取微小面積dA，進(jìn)而確定微小面積dA作用的合力dF。，平板上作用的分布力系的合力可以看成由無數(shù)個不同點(diǎn)處的平行的合成，的大小為 （2-11）合力FR的作用點(diǎn)位置可由合力矩定理得上一頁下一頁返回2.3力系的簡化例2-6一梁承受如圖2-16（a）所示平行力系，試確定其合力的大小、作用位置。解：由荷載集度，代入以上公式，得知合力大小為作用點(diǎn)位置如圖2-16（b）所示。 上一頁下一頁返回2.3力系的簡化2.

平面平行分布力系的簡化如圖2-16所示的平行分布力系，和軸平行的直線上荷載集度相等，這樣分布力系可以進(jìn)一步簡化為平面平行分布力系，如圖2-17（a）所示，取，為其荷載集度，單位為，稱為平面分布力系，有時也稱為線荷載，等截面桿件的自重、作用于桿件上的分布荷載，可以簡化為平面均布力系。對圖2-17（a）所示平面分布力系，當(dāng)函數(shù)已知時，可以求出其合力的大小及合力作用點(diǎn)位置。應(yīng)用微元法，合力大小為： （2-13）由合力矩定理，求得合力作用點(diǎn)位置為： （2-14）上一頁下一頁返回2.3力系的簡化例2-7對如圖2-18（a）所示的平面平行力系進(jìn)行簡化。荷載集度解：本題中荷載集度已知，可以利用以上公式求解合力大小為 作用點(diǎn)位置3.

集中力構(gòu)成的平行力系的簡化如圖2-19（a）所示的集中力構(gòu)成的平行力系，其合力，據(jù)合力矩定理，如圖2-19（b）所示，得： ，， （2-15）利用以上公式，對可以簡化為合力的分布力系，進(jìn)行簡化，得出合力點(diǎn)的位置。 上一頁下一頁返回2.3力系的簡化4.

平行力系的中心對一個存在合力的平行力系，如果平行力系中的每一個力都繞自身的作用點(diǎn)向同一個方向轉(zhuǎn)動一個相同的角度，仍然保持平行，則顯然合力也將轉(zhuǎn)動同一個角度，并且可以得出在進(jìn)行上述轉(zhuǎn)動時，平行力系的合力作用線總是通過同一點(diǎn)，該點(diǎn)是合力的作用點(diǎn)，稱為平行力系的中心。下面作一簡單證明。圖2-20平行力系的中心假設(shè)如圖2-20所示剛體A、B的的兩點(diǎn)上分別作用有反向平行大小不等的力F1和F2，F(xiàn)1>F2，由主矩為零的條件，可以確定主矢的作用點(diǎn)在連線的外分點(diǎn)，作用線F1與F2和平行，即。若兩力同時繞作用點(diǎn)向同一方向轉(zhuǎn)角度變成和，則和的合力也肯定通過點(diǎn)C，也向同一方向轉(zhuǎn)角度。由于是任意的，故即為力系的中心。對于其他存在合力的平行力系，也可以證明此結(jié)論是正確的。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化由以上證明可知，當(dāng)平行力系中各平行力繞其作用點(diǎn)向同一方向轉(zhuǎn)同一角度時，該平行力系合力作用線通過同一點(diǎn)，也就是該平行力系的中心。反過來說，某一平行力系的中心只與該平行力系中各力的大小和作用點(diǎn)位置有關(guān)，而與該平行力系的方向無關(guān)。具體確定某存在合力的平行力系的中心時，可以運(yùn)用前文中求合力作用位置的方法，確定平行力系中心的位置。對于分布平行力系，前文中已經(jīng)得出了確定中心位置的前兩個坐標(biāo)，為： ， （2-16）令力系中各力轉(zhuǎn)到垂直坐標(biāo)面，將荷載集度改為對變量及的，即對軸應(yīng)用力系的合力矩定理，可得： （2-17）對于由集中力組成的平行力系，可由 ， ， （2-18）求出其中心坐標(biāo)。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化2.3.4力系簡化的簡單應(yīng)用在第1章介紹過，真實(shí)物體上所受的力都是分布力，但當(dāng)分布力作用面積很小或?yàn)榱朔治鲇?jì)算方便，一般將分布力簡化為作用于一點(diǎn)的集中力，如第1章中介紹的約束力，大都表現(xiàn)為集中力或力偶，其實(shí)都是將作用于物體面上或體積上的分布力系簡化為作用于一點(diǎn)的力及力偶的結(jié)果。下文將對此舉例說明。例2-8

如圖2-21所示，邊長為、容重為的正方體形剛體由均質(zhì)材料組成，下表面平整光滑，置于光滑剛性地面處于靜止?fàn)顟B(tài)，地面和水平面齊平，求地面對正方體形剛體的實(shí)際約束力。解：在正方體形剛體底面上每點(diǎn)作用于地面的重力為由牛頓第三定律可知，地面對剛體底面上每點(diǎn)的作用力也是，故知地面對正方體形剛體的約束力是一分布力系，荷載集度為，作用方向垂直于地面，指向剛體底面。上一頁下一頁返回2.3力系的簡化為了計(jì)算的方便，一般將上述分布力系表示為作用在剛體底面某點(diǎn)上的一集中力，其大小為建立坐標(biāo)系，根據(jù)合力矩原理，可以求出等效合力作用點(diǎn)在剛體底面中心點(diǎn)處，如圖2-21所示。例2-9如圖2-22所示嵌固與結(jié)構(gòu)主體中的懸臂梁，選取梁為研究對象時，在第1章中學(xué)過，約束體對梁的約束力表示為及MA——兩個集中力及一個力偶，如圖2-22所示，實(shí)際上約束體對梁嵌固段上的作用力是一分布力系，此分布力系在點(diǎn)的簡化結(jié)果是及，如圖2-22（c）所示，將分解成就是第1章介紹的結(jié)果。上一頁返回總結(jié)與討論1.

本章的基本概念力系——作用于所研究的物體或物體系統(tǒng)上的一組力。等效力系——作用于物體上的一個力系可以用另一個力系來代替，物體的運(yùn)動效應(yīng)不發(fā)生改變，則這兩個力系互為等效力系。力系的主矢——力系中所有力的矢量和。力系的主矩——力系中所有各力對同一點(diǎn)之矩的矢量和。平衡力系——力系的主矢及對任意點(diǎn)的主矩。2.

本章的基本定理等效力系定理——不同的兩力系對剛體運(yùn)動效應(yīng)相同的條件是不同的力系的主矢相等以及對同一點(diǎn)的主矩相等。加減平衡力系原理——在已知力系上任意增加或減去平衡力系，并不會改變原力系對剛體的作用效應(yīng)。下一頁返回總結(jié)與討論力的平移定理——作用在剛體上的力，可以等效地平移到剛體上任一指定點(diǎn)，但必須在該力與指定點(diǎn)所確定的平面內(nèi)附加一個力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力對指定點(diǎn)的力矩。3.

本章的基本方法力系的簡化的方法。4.

力系的簡化的結(jié)果力系的簡化的結(jié)果有四種——平衡力系、合力、力偶合力螺旋。5.

力系的簡化的應(yīng)用集中力是實(shí)際分布力系的簡化。真實(shí)的約束力大多數(shù)是分布力系，表示成第1章所示集中力的形式，實(shí)際可以看成是分布力系簡化的應(yīng)用。上一頁返回習(xí)題2-1重力壩受重力和水壓作用P1=450N，P2=200N,F1=600N,F2=140N。求力系向點(diǎn)O簡化結(jié)果和力系簡化的最終結(jié)果。如習(xí)題2-1圖所示。2-2柱上作用著F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3三個鉛直力，已知F1=80KN，F(xiàn)2=60KN，F(xiàn)3=50