初二數(shù)數(shù)學(xué)全等三角形的復(fù)習(xí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形的復(fù)習(xí)概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角?！叭取庇梅?hào)“≌”表示記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。ABCDEF任意剪兩個(gè)全等的三角形，擺一擺它們的位置，使其符合下列圖形；并指出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角。三、找出下列圖中一對(duì)全等三角

形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。BDCBADCBAFCDAE全等形全等三角形性質(zhì)條件應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的面積相等SSSSASASAAASHL解決問(wèn)題角的平分線的性質(zhì)角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上結(jié)論兩個(gè)全等三角形的位置變化了，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的大小有變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？觀察與思考全等三角形

⑷證明兩個(gè)三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)方法⑸全等三角形，是證明兩條線段或兩個(gè)角相等的重要方法之一，證明時(shí)

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。

②分析要證兩個(gè)三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。

③有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，有對(duì)頂角，對(duì)頂角也是對(duì)應(yīng)角

④設(shè)法證明所缺的條件，有時(shí)所缺的條件可能在另一對(duì)全等三角形中，必須證兩次全等。

⑤當(dāng)要證的相等線段或角分別在兩組以上的可能全等的三角形中，就應(yīng)分析證明哪對(duì)三角形全等最好，一般選擇條件具備多的一對(duì)較簡(jiǎn)單。⑹有時(shí)證兩線段相等，如存在角平分線且存在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的垂線段就可直接用角平分線的性質(zhì)定理來(lái)證，而不要去證三角形全等。總之，證明過(guò)程中能用簡(jiǎn)單方法的就不要繞彎路。

二、幾種常見(jiàn)全等三角形基本圖形平移旋轉(zhuǎn)翻折

1、已知如圖△ABC≌△DFE，∠A=96o，∠B=25o，DF=10cm。求∠E的度數(shù)及AB的長(zhǎng)。BACEDF三、解答題：2已知如圖CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C=20o，AB=10，AD=4，G為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求∠EBG的度數(shù)及CE的長(zhǎng)。ECADBGF

例1.如圖，在△ABC中，兩條角平分線BD和CE相交于點(diǎn)哦，若∠BOC=1200，那么∠A的度數(shù)是

.ABCDEO6001.如圖，AM=AN，

BM=BN說(shuō)明△AMB≌△ANB的理由

解:在△AMB和△ANB中

∴

≌

（

）AN已知BMABAB△ABM△ABNSSSFEDCBA2。如圖，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC與△FED全等嗎？為什么？解：全等。∵BD=EC（已知）∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝ED

在△ABC與△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）考考你

小明的設(shè)計(jì)方案：先在池塘旁取一個(gè)能直接到達(dá)A和B處的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)至D點(diǎn)，使AC=DC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)至E點(diǎn)，使BC=EC，連結(jié)CD，用米尺測(cè)出DE的長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)度就等于A，B兩點(diǎn)的距離。請(qǐng)你說(shuō)明理由。AC=DC

∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCE(SAS)AB=DEECBAD3。如圖線段AB是一個(gè)池塘的長(zhǎng)度，現(xiàn)在想測(cè)量這個(gè)池塘的長(zhǎng)度，在水上測(cè)量不方便，你有什么好的方法較方便地把池塘的長(zhǎng)度測(cè)量出來(lái)嗎？想想看。解：在△ACB和△DCE中，（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等。）

例2、如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們?nèi)鹊臈l件是什么？HDCBA解：有三組。在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BH=CH，AH=AH

∴△ABH≌△ACH（SSS）；∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS）

在△ABH和△ACH中∵AB=AC，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中解：①∵E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)（）又∵AB=CD∴AE=CF在△ADE與△CBF中AE==∴△ADE≌△CBF()∴AE=ABCF=CD（

）1212例3.如圖，已知AB=CD，AD=CB，E、F分別是AB，CD的中點(diǎn)，且DE=BF，說(shuō)出下列判斷成立的理由.①△ADE≌△CBF②∠A=∠C線段中點(diǎn)的定義CFADABCDSSS△ADE≌△CBF全等三角形對(duì)應(yīng)角相等已知ADBCFECB②∵∴∠A=∠C()=

例4.如圖，E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD。求證：AF∥DEABCDEF?ABF≌?DCE(SAS)∴∠AFB=∠DEC∴AF//DE∵AB∥CD，AD∥BC（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4

在△ABC與△CDA中∠1＝∠2（已證）AC=AC

（公共邊)∠3＝∠4（已證）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CDBC=AD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）證明:連結(jié)AC.例5.如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD嗎？為什么？AD與BC呢？ABCD2341

例6.如圖，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求證：BC=DEABCDE12證明:∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC∴∠BAC=∠DAE在?ABC和?ADE中∴?ABC≌?ADE(AAS)∴BC=DE解∵

CE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴∠AEC=∠BFD=Rt∠∵AF=BE（已知）即AE+EF=BF+EFAE=BF∵AC=BD∴RtΔACE≌RtΔBDF（HL）∴CE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）ABCDEF

例7.如圖，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD，AF=BE，則CE=DF。請(qǐng)說(shuō)明理由。

例8.已知：∠ACB=∠ADB=900，AC=AD，P是AB上任意一點(diǎn)，求證：CP=DP

CABDP證明:在Rt?ABC和Rt?ABD中∴Rt?ABC≌Rt?ABD∴∠CAB=∠DAB∴?APC≌?APD(SAS)∴CP=DP

例9.如圖CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE與CD相交于點(diǎn)O，且∠1＝∠2，求證OB＝OC。

證明：∵∠1＝∠2

CD⊥AB，BE⊥AC

∴OD＝OE(角平分線的性質(zhì)定理)

在△OBD與△OCE中

∠BOD＝∠COE(對(duì)頂角相等)

OD＝OE(已證)

∠ODB＝∠OEC(垂直的定義)

∴△OBD≌△OCE(ASA)

∴OB＝OC

例10.如圖A、B、C在一直線上，△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求證：BF＝BG。

證明：∵△ABD，△BCE是等邊三角形。

∴∠DBA＝△EBC＝60°

∵A、B、C共線∴∠DBE＝60°

∴∠ABE＝∠DBC

在△ABE與△DBC中

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC(SAS)

∴∠2＝∠1

在△BEF與△BCG中

∠EBF＝∠CBG

BE＝BC

∠2＝∠1

∴△BEF≌△BCG(ASA)

∴BF＝BG(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)例11.如圖AB//CD,∠B=90o,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,求證:AE平分∠DABCDBAEF證明:作EF⊥AD,垂足為F∵DE平分∠ADCAB//CD,∴∠C=∠B又∵∠B=90o∴∠C=90o又∵EF⊥AD∴EF=CE又∵E是BC的中點(diǎn)∴EB=EC∴EF=EB∵∠B=90o∴EB⊥AB∴AE平分∠DAB∴BC⊥DC

例12.如圖，兩根長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個(gè)木樁上，兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由?！逜B=AC（已知）AD=AD（公共邊）∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD解：BD=CD∵∠ADB=∠ADC=90°例2：如圖，已知△ABC中，BE和CD分別為∠ABC和∠ABC的平分線，且BD=CE，∠1=∠2。說(shuō)明BE=CD的理由。ABCED12解：∵∠DBC=2∠1，∠ECB=2∠2

（角平分線的定義）∠1=∠2∴∠DBC=∠ECB在△DBC和△ECB中

BD=CE（已知）∠DBC=∠ECBBC=CB（公共邊）∴△DBC≌△ECB（SAS）∴BE=CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）同學(xué)們自己做做1、下列說(shuō)法正確的是（C）

A：全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形C：全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等

C：全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形D：所有的等邊三角形都是全等三角形2、如圖：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，則EC的長(zhǎng)為（B）

A：2B：3C：5D：2.5

3、如圖：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，則下列結(jié)論：①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正確的個(gè)數(shù)有（D）

A：1個(gè)B：2個(gè)C：3個(gè)D：4個(gè)4、如圖：AB=AD，AE平分∠BAD，則圖中有幾對(duì)全等三角形。（B）

A：2B：3C：4D：55、如圖：在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，則∠DAE=（C）

A：7B：8°C：9°D：10°6、如圖：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，則下列結(jié)論：：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正確的個(gè)數(shù)有（D）

A：1個(gè)B：2個(gè)C：3個(gè)D：4個(gè)7、如圖：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，則只要（A）

A：AB=CDB：EC=BFC：∠A=∠DD：AB=BC8、如圖：在不等邊△ABC中，PM⊥AB，垂足為M，PN⊥AC，垂足為N，且PM=PN，Q在AC上，PQ=QA，下列結(jié)論：①AN=AM，②QP∥AM，③△BMP≌△QNP，其中正確的是（B）

A：①②③B：①②C：②③D：①9、如圖：直線a,b,c表示三條相互交叉環(huán)湖而建的公路,現(xiàn)在建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有（D）

A：1個(gè)B：2個(gè)C：3個(gè)D：4個(gè)10、如圖：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，則△DEB的周長(zhǎng)是（A）

A：6㎝B：4㎝C：10㎝D：以上都不對(duì)二、填空題（每小題3分，共30分）11、如圖：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°則∠C=28

度；12、如圖：在∠AOB的兩邊截取OA=OB，OC=OD，連接AD，BC交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③點(diǎn)P在∠AOB的平分線上。正確的是①②③；（填序號(hào)）13、如圖：將紙片△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，已知∠1+∠2=100°，則∠A=50度；14、如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，則△ABD的面積是___5____；15、如圖：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°,∠B=40°，則∠CAE=35

度；16、如圖：在△ABC中，AB=3，AC=4，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)x取值范圍是

0.5<x<3.5；17、如圖：∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，ACEB2B1B第18題圖∠CED=35°，則∠EAB=35

度；18、如圖，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，還需添加一個(gè)條件是∠B=∠C（或∠BAE=∠CAE_、BE=CE）（填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件即可）EACEB2B1B第18題圖19、（10分）如圖：AD是△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD。求證：BE⊥AC。

20、（12分）如圖：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足為C，D。求證：（1）OC=OD，（2）DF=CF。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）∴∠

A=∠

D,∠

B=∠F,∠C=∠E

（）全等三角形的性質(zhì)應(yīng)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等1、能夠

的兩個(gè)圖形叫全等形；2、兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做

；互相重合的邊叫做

；互相重合的角叫做