大學(xué)理論力學(xué) 點的合成運動

Monday,February6,2023理論力學(xué)第八章點的合成運動第八章點的合成運動§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動§8-2點的速度合成定理§8-3牽連運動為平動時點的加速度合§8-4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理成定理前兩章中我們研究點和剛體的運動，一般都是以地面為參考體的。然而在實際問題中，還常常要在相對于地面運動著的參考系上觀察和研究物體的運動。例如，從行駛的汽車上觀看飛機的運動等，坐在行駛的火車內(nèi)看下雨的雨點是向后斜落的等。為什么在不同的坐標系或參考體上觀察物體的運動會有不同的結(jié)果呢？我們說事物都是相互聯(lián)系著的。下面我們就將研究參考體與觀察物體運動之間的聯(lián)系。為了便于研究，下面先來介紹有關(guān)的概念。

二．動點：運動著的點（所研究的點）。一．坐標系

1.靜坐標系：把固結(jié)于地面上的坐標系稱為靜坐標系，簡稱靜系。2.動坐標系：把固結(jié)于相對于地面運動物體上的坐標系，稱為動坐標系，簡稱動系?！?-1相對運動·牽連運動·絕對運動牽連點：在任意瞬時，動坐標系中與動點相重合的點，也就是設(shè)想將該動點固結(jié)在動坐標系上，而隨著動坐標系一起運動,該點叫牽連點。牽連運動中,牽連點的速度和加速度稱為牽連速度與牽連加速度相對運動中,動點的速度和加速度稱為相對速度與相對加速度絕對運動中,動點的速度與加速度稱為絕對速度與絕對加速度點的運動剛體的運動三．三種運動及三種速度與三種加速度。１.絕對運動：動點相對于靜系的運動。２.相對運動：動點相對于動系的運動。例如：人在行駛的汽車里走動。３.牽連運動：動系相對于靜系的運動。例如：行駛的汽車相對于地面的運動?！?-1相對運動·牽連運動·絕對運動一般選擇主動件與從動件的連接點，它是對兩個坐標系都有運動的點。動點對動系有相對運動，且相對運動的軌跡是已知的，或者能直接看出的。動點：動系：靜系：四．動點的選擇原則：五．動系的選擇原則：AB桿上A點固結(jié)于凸輪Ｏ'上固結(jié)在地面上§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動相對運動：牽連運動：曲線（圓?。┲本€平動絕對運動：直線§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動牽連速度：相對速度：絕對速度：§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動牽連加速度：絕對加速度：相對加速度：§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動動點：A（在圓盤上)動系：O'A擺桿靜系：機架絕對運動：曲線（圓周）相對運動：直線牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動動點：A1（在O'A1

擺桿上)動系：圓盤靜系：機架絕對運動：曲線（圓?。┫鄬\動：曲線牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動[注]

要指明動點應(yīng)在哪個物體上，但不能選在動系上。動點：A(在AB桿上)動系：固結(jié)在偏心輪上靜系：地面絕對運動：直線相對運動：圓周（曲線）牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動

AB桿地面曲線（未知）圓周（紅色虛線）平動若動點A在偏心輪上時§8-1相對運動·牽連運動·絕對運動§8-2點的速度合成定理動系上與動點重合的點的絕對軌跡zxyOz'x'y'M,M1M'絕對運動軌跡相對運動軌跡M'1三種運動軌跡速度合成定理將建立動點的絕對速度，相對速度和牽連速度之間的關(guān)系。也可看成MM１M′MM'為絕對軌跡MM'為絕對位移M1M'

為相對軌跡M1M'為相對位移§8-2點的速度合成定理當(dāng)t

t+△t，ABA′B′，MM′＝＋

在任一瞬時動點的絕對速度等于其牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理。結(jié)論：§8-2點的速度合成定理說明：va—動點的絕對速度；

vr—動點的相對速度；

ve—動點的牽連速度，是動系上一點(牽連點)的速度（1）動系作平動時，動系上各點速度都相等。（2）

動系作轉(zhuǎn)動時，ve必須是該瞬時動系上與動點相重合點的速度。點的速度合成定理是瞬時矢量式，共包括大小?方向六個元素，已知任意四個元素，就能求出其它兩個?！?-2點的速度合成定理[例1]橋式吊車已知：小車水平運行，速度為v平，物塊A相對小車垂直上升的速度為v。求物塊A的運行速度?！?-2點的速度合成定理作出速度平四邊形如圖示，則物塊Ａ的速度大小和方向為由速度合成定理：解：選取動點:物塊A動系:與小車固結(jié)靜系:與地面固結(jié)相對運動:

直線;相對速度：vr

=v牽連運動:

平動;牽連速度:ve=v平絕對運動:

曲線;絕對速度va

的大小,方向待求

vr

=vve=v平vaxyo§8-2點的速度合成定理y′x′（）[例2]曲柄擺桿機構(gòu)已知：OA=r,,OO1=l

圖示瞬時OAOO1

求：擺桿O1B角速度1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四邊形如圖示。解：取OA桿上A點為動點，動系與擺桿固結(jié)O1B

，基座為靜系。絕對速度

:va

=r

方向

OA相對速度:vr=?方向//O1B牽連速度:ve=?方向O1B§8-2點的速度合成定理由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四邊形如圖示。[例3]圓盤凸輪機構(gòu)已知：OC＝e,

,（勻角速度）圖示瞬時,OCCA

且

O、A、B三點共線。求：從動桿AB的速度。

動點取直桿上A點，動系固結(jié)于圓盤，靜系固結(jié)于基座。解：絕對速度va

=?待求，方向//AB相對速度vr

=?未知，方向CA牽連速度ve

=OA=2e,方向

OA§8-2點的速度合成定理§8-2點的速度合成定理（4）

根據(jù)速度合成定理，作出速度平行四邊形。由上述例題可看出，求解合成運動的速度問題的一般步驟為：（1）

選取動點，動系和靜系。（2）三種運動的分析。（3）

三種速度的分析。（5）根據(jù)速度平行四邊形，求出未知量。恰當(dāng)?shù)剡x擇動點、動系和靜系是求解合成運動問題的關(guān)鍵?！?-2點的速度合成定理動點、動系和靜系的選擇原則（1）動點、動系和靜系必須分別屬于三個不同的物體，否則絕對、相對和牽連運動中就缺少一種運動，不能成為合成運動。（2）動點相對動系的相對運動軌跡易于直觀判斷（已知絕對運動和牽連運動求解相對運動的問題除外）。§8-2點的速度合成定理

分析：相接觸的兩個物體的接觸點位置都隨時間而變化，因此兩物體的接觸點都不宜選為動點，否則相對運動的分析就會很困難。這種情況下，需選擇滿足上述兩條原則的非接觸點為動點。[例４]已知:凸輪半徑r,圖示時桿OA靠在凸輪上。求：桿OA的角速度。

§8-2點的速度合成定理根據(jù)速度合成定理，做出速度平行四邊形如圖示。（）解:取凸輪上C點為動點,

動系固結(jié)于OA桿上,靜系固結(jié)于基座。絕對運動:絕對速度:直線運動,相對運動:直線運動,相對速度:牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動,牽連速度:q§8-2點的速度合成定理由于牽連運動為平動，故對t求導(dǎo)：

設(shè)有一動點M按一定規(guī)律沿著固連于動系O'x'y'z'的曲線AB運動,而曲線AB同時又隨同動系O'x'y'z'相對靜系Oxyz平動。由速度合成定理§8-2點的加速度合成定理一、牽連運動為平動而所以上式即為牽連運動為平動時點的加速度合成定理即當(dāng)牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。一般式可寫為：§8-2點的加速度合成定理(其中i′、j′、k′

為動系坐標軸的單位矢量，因為動系為平動，故它們的方向不變，是常矢量，所以 ）又因為所以例已知：凸輪半徑R、v0、a0。求：j

=60o時,頂桿AB的加速度。解：取桿上的A點為動點，動系與凸輪固連?！?-2點的加速度合成定理由速度合成定理絕對速度va

=?,方向AB

；絕對加速度aa=?,方向AB，待求。相對速度vr=?,方向CA;相對加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牽連速度ve=v0,方向→;

牽連加速度ae=a0,

方向→§8-2點的加速度合成定理因牽連運動為平動，故有作加速度矢量圖如圖示，將上式投影到法線上，得[注]加速度矢量方程的投影是等式兩端的投影，與平衡方程的投影關(guān)系不同n§8-2點的加速度合成定理waDEBCAOw0例

圖示平面機構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度w0繞O軸轉(zhuǎn)動。套筒A可沿BC桿滑動。已知BC=DE，且BD=CE=l。求圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。解：以套筒A為動點，動系與BC桿固連絕對速度：va=w0r牽連速度：ve=vB=wlvavevr相對速度：大小未知，方向沿水平方向由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四邊形如圖示。ve=va=vr=w0r§8-2點的加速度合成定理vBw0waDEBCAOaraa絕對加速度：相對加速度：大小未知，方向//BC牽連加速度：y30o30o由加速度合成定理將上式向y軸投影解出§8-2點的加速度合成定理

設(shè)一圓盤以勻角速度繞定軸Ｏ順時針轉(zhuǎn)動，盤上圓槽內(nèi)有一點M以大小不變的速度vr

沿槽作圓周運動，那么M點相對于靜系的絕對加速度應(yīng)是多少呢？前面我們證明了牽連運動為平動時的點的加速度合成定理，那么當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，上述的加速度合成定理是否還適用呢？下面我們來分析一特例?！?-2點的加速度合成定理二、牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動相對運動為勻速圓周運動，由速度合成定理可得出選點M為動點，動系固結(jié)與圓盤上，則M點的牽連運動為勻速轉(zhuǎn)動即絕對運動也為勻速圓周運動，所以方向指向圓心Ｏ點§8-2點的加速度合成定理可見，當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度和相對加速度的矢量和。分析上式：還多出一項2vr

?？梢宰C明，當(dāng)動系作定軸轉(zhuǎn)動時，有下式成立：式中稱為科氏加速度牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理：當(dāng)動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度，相對加速度與科氏加速度的矢量和?！?-2點的加速度合成定理一般式

一般情況下科氏加速度的計算可以用矢積表示方向：按右手法則確定?！?-2點的加速度合成定理例已知：凸輪機構(gòu)以勻

繞O軸轉(zhuǎn)動，圖示瞬時OA=r

，A點曲率半徑,已知。求：該瞬時頂桿AB的速度和加速度。

解:動點:動系:

頂桿上A點；凸輪;絕對運動:直線;絕對速度:va=?待求,方向//AB;相對運動:曲線;相對速度:vr=?方向n;牽連運動:定軸轉(zhuǎn)動;牽連速度:ve=r，方向OA，。vevrva§8-2點的加速度合成定理根據(jù)速度合成定理acaearnartaa§8-2點的加速度合成定理由牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理向n軸投影：acaearnartaa§8-2點的加速度合成定理DABC

例矩形板ABCD以勻角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動，點M1和點M2分別沿板的對角線BD和邊線CD運動，在圖示位置時相對于板的速度分別為和，計算點M1、

M2的科氏加速度大小,并圖示方向。點M2的科氏加速度解：點M1的科氏加速度垂直板面向里?！?-2點的加速度合成定理vavrve解：根據(jù)做出速度平行四邊形方向：與相同。例

曲柄擺桿機構(gòu)已知：O1A＝r,,,1;取O1A桿上A點為動點，動系固結(jié)O2B上，試計算動點A的科氏加速度。aac§8-2點的加速度合成定理已知:OA＝l,=45o

時，w,a;求：小車的速度與加速度．例

曲柄滑桿機構(gòu)解：動點：OA桿上A點;動系：固結(jié)在滑桿上;絕對運動：圓周運動，相對運動：直線運動，牽連運動：平動；vevavr§8-2點的加速度合成定理小車的速度：根據(jù)速度合成定理 做出速度平行四邊形,如圖示投影至x軸：，方向如圖示小車的加速度：根據(jù)加速度合成定理vevavrjx§8-2點的加速度合成定理例圓盤半徑R=50mm以勻角速度w1繞水平軸CD轉(zhuǎn)動，同時框架和CD軸一起以勻角速度w2繞通過圓盤中心O的鉛直軸AB轉(zhuǎn)動。如w1=5rad/s，w2=3rad/s,求圓盤上1點和2點的絕對加速度。解：首先計算1點的加速度。動點：圓盤上的1點動系：與框架固結(jié)牽連運動：以勻角速度w2作定軸轉(zhuǎn)動牽連加速度：ae相對運動：以O(shè)為圓心，在鉛直面內(nèi)作勻速圓周運動相對加速度：科氏加速度：arvr由加速度合成定理aa§8-2點的加速度合成定理acarvraaq計算點2的加速度動點：圓盤上的2點動系：與框架固結(jié)牽連運動：以勻角速度w2作定軸轉(zhuǎn)動牽連加速度：相對運動：以O(shè)為圓心，在鉛直面內(nèi)作勻速圓周運動相對加速度：科氏加速度：由加速度合成定理§8-2點的加速度合成定理aet例

搖桿滑道機構(gòu)，已知:h，q，v，a。求:OA桿的w，a

。解：動點:銷子D(BC上);動系:固結(jié)于OA；絕對運動：直線運動，相對運動：直線運動，沿OA線；牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，vrqvavearaaacaen科氏加速度：§8-2點的加速度合成定理投影至x軸：（）根據(jù)牽連轉(zhuǎn)動的加速度合成定理（）根據(jù)速度合成定理aetaraaacaenxvrqvaveA§8-2點的加速度合成定理例

曲柄滑塊機構(gòu)已知：h;圖示瞬時;

求:該瞬時桿的w2

。解：動點:O1A上滑塊A點;動系:固結(jié)于BCD上,靜系固結(jié)于機架上。絕對運動：圓周運動;相對運動：直線運動;牽連運動：平動;

水平方向vaqvevr§8-2點的加速度合成定理vaqvevr牽連運動：

根據(jù)

）（再選動點：BCD上F點動系：固結(jié)于O2E上，絕對運動：直線運動，相對運動：直線運動，定軸轉(zhuǎn)動，vaFveFvrFq§8-2點的加速度合成定理例凸輪機構(gòu)，已知：凸輪半徑為R，圖示瞬時