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2.2控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型

2.2.1傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應。系統(tǒng)結構和參數(shù)變化時分析較麻煩。用拉氏變化法求解微分方程時，可以得到控制系統(tǒng)在復數(shù)域的數(shù)學模型－傳遞函數(shù)。定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。2/6/20231式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，和是與系統(tǒng)結構和參數(shù)有關的常系數(shù)。設r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：

設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

2/6/20232求例2-5機械系統(tǒng)與電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和解：機械系統(tǒng)傳遞函數(shù)例2/6/20233G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關。電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復變量函數(shù)的所有性質。性質1性質22.2.2傳遞函數(shù)性質2/6/20234如果將置換性質3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結構。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。性質4如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。性質5傳遞函數(shù)數(shù)學模型是（表示）輸出變量和輸入變量微分方程的運算模型傳遞函數(shù)與微分方程之間有關系。性質62/6/20235傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點極點是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。性質72/6/20236零點距極點的距離越遠，該極點所產生的模態(tài)所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所產生的模態(tài)所占比重越小2/6/202372.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

任何一個復雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1比例環(huán)節(jié)2慣性環(huán)節(jié)式中K-增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應式變送器等。2/6/20238式中T-時間常數(shù)

特點：含一個儲能元件，對突變的輸入,其輸出不能立即復現(xiàn)，輸出無振蕩。

實例：RC網絡,直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。3微分環(huán)節(jié)理想微分一階微分二階微分2/6/202394積分環(huán)節(jié)式中ξ－阻尼比

-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能。實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。5振蕩環(huán)節(jié)2/6/2023106純時間延時環(huán)節(jié)式中－延遲時間特點：輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。2/6/2023112.2.4典型元部件的傳遞函數(shù)電位器－將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。

單個電位器用作為信號變換裝置。2/6/202312單位角位移，輸出電壓(v/rad)E-電位器電源(v)

－電位器最大工作角(rad)

2/6/202313是兩個電位器電刷角位移之差，稱誤差角。

2/6/202314轉子角速度（rad/s）輸出斜率（v/rad/s）直流測速發(fā)電機交流測速發(fā)電機測速發(fā)電機－測量角速度并將它轉換成電壓量的裝置2/6/202315

控制系統(tǒng)的方塊圖及其基本組成2.3控制系統(tǒng)的方塊圖、信號流圖與梅遜公式2/6/202316信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。（2）比較點（合成點、綜合點）SummingPoint

兩個或兩個以上的輸入信號進行加減比較的元件?！?”表示相加，“-”表示相減。“+”號可省略不寫。控制系統(tǒng)的方塊圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結構和信號流向的圖解表示法。2.3.1方塊圖元素

（1）方塊（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關系。2/6/202317注意：進行相加減的量，必須具有相同的量剛。(3)分支點（引出點、測量點）BranchPoint表示信號測量或引出的位置注意：同一位置引出的信號大小和性質完全一樣。2/6/2023182.3.2幾個基本概念及術語(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設N(s)=0

打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比(2)反饋回路傳遞函數(shù)假設N(s)=0

主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。2/6/202319(3)開環(huán)傳遞函數(shù)Open-loopTransferFunction假設N(s)=0

主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導：因為

右邊移過來整理得

即

請記住**2/6/202320(5)誤差傳遞函數(shù)假設N(s)=0

誤差信號E(s)與輸入信號R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：將2/6/202321輸出對擾動的結構圖利用公式**，直接可得：

(6)輸出對擾動的傳遞函數(shù)假設R(s)=02/6/202322（7）誤差對擾動的傳遞函數(shù)假設R(s)=0

誤差對擾動的結構圖

利用公式**，直接可得：**2/6/202323線性系統(tǒng)滿足疊加原理，當控制輸入R(s)與擾動N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出及誤差可表示為：

2.3.3方塊圖的繪制（1）考慮負載效應分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框（塊）表示。（2）根據各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方塊圖-也是系統(tǒng)數(shù)學模型的一種。

注意：由于N(s)極性的隨機性，因而在求E(s)時，不能認為利用N(s)產生的誤差可抵消R(s)產生的誤差。2/6/202324一階RC網絡

解：由圖利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對其進行拉氏變換得：

例畫出下列RC電路的方塊圖。2/6/202325將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)，圖(d)為該一階RC網絡的方塊圖。2/6/202326解：（1）根據電路定理列出方程，寫出對應的拉氏變換，也可直接畫出該電路的運算電路圖如圖(b)；（2）根據列出的4個式子作出對應的框圖；（3）根據信號的流向將各方框依次連接起來。

畫出下列R-C網絡的方塊圖

由圖清楚地看到，后一級R2-C2網絡作為前級R1-C1網絡的負載，對前級R1-C1網絡的輸出電壓產生影響，這就是負載效應。例2/6/2023272/6/202328如果在這兩極