廣東省東莞市市樟木頭職業(yè)高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

廣東省東莞市市樟木頭職業(yè)高級中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(，)，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b|

B．a(chǎn)·b＝C．a(chǎn)－b與b垂直

D．a(chǎn)∥b參考答案：C2.已知拋物線y2＝2px(p>0)與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為()A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)所以，而在區(qū)間上所以，即令，則分子分母同時(shí)除以，得令，則在區(qū)間上為增函數(shù)所以所以在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)所以

4.如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（

）A．直線

B．圓C．拋物線D．雙曲線參考答案：C5.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（﹣1，0）的直線在第一象限交拋物線于A、B，使，則直線AB的斜率k=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】由題意可得直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0，代入拋物線y2=4x化簡求得x1+x2和x1?x2，進(jìn)而得到y(tǒng)1+y2和y1?y2，由，解方程求得k的值．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），直線AB的方程y﹣0=k（x+1），k＞0．代入拋物線y2=4x化簡可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∴x1+x2=，x1?x2=1．∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=+2k=，y1?y2=k2（x1+x2+x1?x2+1）=4．又=（x1﹣1，y1）?（x2﹣1，y2）=x1?x2﹣（x1+x2）+1+y1?y2=8﹣，∴k=，故選：B．6.直線過點(diǎn)（-1，2）且與直線垂直，則方程是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|?N}，則M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】求解一元二次不等式化簡M，再由交集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵M(jìn)={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|?N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|?N}={2，4，5}，故選：C．8.a，b滿足a＋2b＝1，則直線ax＋3y＋b＝0必過定點(diǎn)(

)．A． B．

C．

D．參考答案：B略9.設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0），觀察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn（x）=f（fn﹣1（x））=_________．參考答案：略10.在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，，，則S△AOB=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】∠AOB==．利用直角三角形面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：∠AOB==．∴S△AOB==5．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分別是BC、AP的中點(diǎn)，則異面直線AC與DE所成角的大小為

．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AC與ED所成的角的大小．【解答】解：取AB中點(diǎn)F，連接DF，EF，則AC∥DF，∴∠EDF就是異面直線AC與DE所成的角（或所成角的補(bǔ)角）．設(shè)AP=BC=2，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分別是BC、AP的中點(diǎn)，∴由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，EF=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，DE=，∴cos∠EDF===，∴異面直線AC與ED所成的角為arccos．故答案為：arccos．12.下列結(jié)論：①方程的解集為；②存在，使；③在平面直角坐標(biāo)系中，兩直線垂直的充要條件是它們的斜率之積為-1；④對于實(shí)數(shù)、，命題：是命題：或的充分不必要條件，其中真命題為

．參考答案：④13.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是

，參考答案：62.8,3.6

略14.設(shè)f(x)=且

，則=

.參考答案：15.設(shè)全集U=R，若，，則______.參考答案：{1,2}【分析】求出集合B中函數(shù)的定義域，再求的集合B的補(bǔ)集，然后和集合A取交集.【詳解】，,故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的研究對象，考查集合交集和補(bǔ)集的混合運(yùn)算，還考查了對數(shù)函數(shù)的定義域.屬于基礎(chǔ)題.16.參考答案：7略17.正偶數(shù)列有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照這樣的規(guī)律，則72在第

個(gè)等式中．參考答案：6考點(diǎn)：歸納推理．專題：推理和證明．分析：從已知等式分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為：各等式首項(xiàng)分別為2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出結(jié)論．解答： 解：①2+4=6；

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其規(guī)律為：各等式首項(xiàng)分別為2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n個(gè)等式的首項(xiàng)為2[1+3+…+（2n﹣1）]=2×=2n2，當(dāng)n=6時(shí)，等式的首項(xiàng)為2×36=72，所以72在第6個(gè)等式中，故答案為：6．點(diǎn)評：本題考查歸納推理，難點(diǎn)是根據(jù)能夠找出數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律，考查觀察、分析、歸納的能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）在等比數(shù)列中，，公比．設(shè)，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和及的通項(xiàng)；（Ⅲ）試比較與的大小．參考答案：（Ⅰ）∵，∴為常數(shù)，∴數(shù)列為等差數(shù)列且公差．……………2分（Ⅱ）∵，∴．………3分∵，∴．∵，∴．∴解得：……………………6分∴．…………8分∵∴∴．………10分（Ⅲ）顯然，當(dāng)≥9時(shí)，≤0．∴≥9時(shí)，．………………12分∵，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或≥9時(shí)，．……………14分19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A，B（A在B的上方），且四邊形AF1BF2的面積為8．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G，求證：A，G，N三點(diǎn)共線．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）橢圓C的離心率，可得b=c，四邊形AF1BF2是正方形，即a2=8，b=c=2．

（2）將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程為：y=，則G（，1），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，，共線，即只需（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）即可．【解答】解：（1）∵橢圓C的離心率，∴b=c，因此四邊形AF1BF2是正方形．…∴a2=8，b=c=2．

…∴橢圓C的方程為．

…（2）證明：將已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，…△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k．由韋達(dá)定理得：①，xM?xN=，②…設(shè)M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），G（xG，1），MB方程為：y=，則G（，1），…∴，，…欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證，共線，即（kxN+2）=﹣xN成立，化簡得：（3k+k）xMxn=﹣6（xM+xN）將①②代入易知等式成立，則A，G，N三點(diǎn)共線得證．

…20.（13分）如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）設(shè)，，求三棱錐的體積.參考答案：連接AC1，設(shè)AC1與A1C交于O，連接BC1，OD,------1’

在距形AA1C1C中，O為A1C中點(diǎn)，

∴OD為⊿ABC1的中位線，∴OD//BC1,---------2’∵,-------3’∴平面--------4’（2）∵AC=BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2-------5’∴AC⊥BC,------6’即⊿ABC是以AB為底邊的等腰直角三角形，D為底邊AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB,且CD=-----8’又在直三棱柱中，AA1⊥面ABC,即AA1⊥CD-----9’

∵-----10’即CD為三棱錐C-A1DE的高.在矩形A1ABB1中，

---------11’--------13’21.已知函數(shù)，其中.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在(1,2)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）將代入，求出函數(shù)解析式，可得的值，利用導(dǎo)數(shù)求出的值，可得在點(diǎn)處的切線方程；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合a的討論，分別判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，綜合討論結(jié)果，可得答案.【詳解】解：（1）,，則，故所求切線方程為；（2），當(dāng)時(shí)，對恒成立，則在上單調(diào)遞增，從而，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，對恒成立，則在上單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)沒有零點(diǎn)，綜上，a的取值范圍為（0，1）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的綜合運(yùn)用及分段函數(shù)的運(yùn)用，難度中等.22.如圖所示,一輛汽車從點(diǎn)出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時(shí)的速度勻速行駛（