加工過(guò)程傳輸原理-全書(shū)課件

加工過(guò)程傳輸原理教材：材料加工冶金傳輸原理學(xué)時(shí)：40學(xué)時(shí)考核方式：考試任課教師：楊貴榮2/6/20231緒論一、傳輸原理的課程性質(zhì)

基礎(chǔ)課程材料加工、冶金工程特點(diǎn):高等數(shù)學(xué)，工程力學(xué)，課程難度較高，該課程與冶金原理、金屬學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)核心課程2/6/20232研究和分析：傳輸規(guī)律、機(jī)理和研究方法。主要內(nèi)容：材料加工過(guò)程中動(dòng)量的傳遞（流體流動(dòng)行為）、熱量傳遞和質(zhì)量傳遞三大部分。二、冶金傳輸原理課程的內(nèi)容2/6/202331.金屬加工成型類型

冷態(tài)成形；熱態(tài)成形

2.金屬的高溫成形的工藝

（1）鑄造（2）鍛壓（3）焊接（4）熱處理3.金屬熱態(tài)成型過(guò)程中的現(xiàn)象

金屬液的流動(dòng)、氣體的流動(dòng)、熱量交換和物質(zhì)轉(zhuǎn)移現(xiàn)象

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學(xué)習(xí)傳輸原理兩個(gè)基本目的：一）深入理解各種傳輸現(xiàn)象的機(jī)理，為理解材料成型及加工過(guò)程奠定基礎(chǔ)，改進(jìn)/優(yōu)化各種成型過(guò)程和設(shè)備的操作及控制提供理論依據(jù)；二）為將來(lái)所要研究和開(kāi)發(fā)的成型過(guò)程提供基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，對(duì)成型過(guò)程進(jìn)行模擬研究，加速研發(fā)過(guò)程，降低研發(fā)成本。2/6/20235傳質(zhì)：三、傳輸現(xiàn)象在材料加工及冶金過(guò)程中普遍性及重要性1大多數(shù)材料加工及冶金過(guò)程高溫、多相條件下物理化學(xué)過(guò)程，每一個(gè)化學(xué)反應(yīng)都包含以下反應(yīng)步驟：

2/6/20236①反應(yīng)物向反應(yīng)面（反應(yīng)區(qū)域）的運(yùn)動(dòng)（傳輸、傳遞、輸運(yùn)）；②在反應(yīng)區(qū)域（反應(yīng)界面）發(fā)生化學(xué)反應(yīng)；③化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)物的排出（傳輸）。2/6/20237控制整個(gè)化學(xué)反應(yīng)的限制性環(huán)節(jié)（瓶頸）

冶金原理，冶金反應(yīng)大都不受化學(xué)反應(yīng)速率的影響（第二步是非限制性環(huán)節(jié)），即反應(yīng)物或產(chǎn)物的運(yùn)動(dòng)

(質(zhì)量傳遞)將控制整個(gè)化學(xué)反應(yīng)的進(jìn)程。

2/6/202382為使化學(xué)反應(yīng)高效、快速進(jìn)行，必須采取措施加速質(zhì)量傳遞，這就要研究質(zhì)量傳輸?shù)臋C(jī)理，討論研究方法。傳熱：

材料成型、冶金過(guò)程高溫過(guò)程，調(diào)整和保持溫度，熱量傳遞和溫度分布2/6/20239動(dòng)量傳輸：

3材料加工成型、冶金過(guò)程發(fā)生環(huán)境，氣體、液體（統(tǒng)稱為流體），流動(dòng)狀況（速度、分布）——質(zhì)量傳遞/熱量傳遞；控制其它兩項(xiàng)傳輸過(guò)程，對(duì)動(dòng)量傳遞過(guò)程（主要指速度、速度分布、作用力）進(jìn)行深入的研究。2/6/202310三傳控制整個(gè)過(guò)程的進(jìn)程與速率。為此，必須對(duì)其傳輸機(jī)理進(jìn)行研究、對(duì)研究方法進(jìn)行總結(jié)、對(duì)研究結(jié)果給予定量的表述。采取必要措施（改進(jìn)工藝、設(shè)備），提高成型質(zhì)量和成品率，提高冶金過(guò)程效率（提高生產(chǎn)率）。2/6/2023114鐵水脫硫：傳質(zhì)過(guò)程與流動(dòng)（攪拌）間關(guān)系。1實(shí)例說(shuō)明脫硫反應(yīng)式（CaO）+[S]=(CaS)+[O]鐵水包內(nèi)混沖脫硫：脫硫效率小于30％；

KR脫硫法（武鋼）：脫硫效率高于85％。2/6/202312氣、固、液、粉多相流間的相互作用與傳輸。2煉鐵過(guò)程：2/6/202313煉鋼過(guò)程：靜態(tài)熔池與強(qiáng)沸騰熔池傳質(zhì)速率與生產(chǎn)率的差異。電弧爐煉鋼：1—3小時(shí)/爐；轉(zhuǎn)爐煉鋼：24—30分鐘/爐。32/6/202314連鑄過(guò)程：

熱過(guò)程；傳質(zhì)過(guò)程；流動(dòng)過(guò)程。工藝上要求：鋼水（在中間包內(nèi)、結(jié)晶器內(nèi)）盡可能流動(dòng)均勻、溫度均勻、成分均勻、凝固均勻，夾雜物盡可能上浮排出，以同時(shí)保證連鑄高生產(chǎn)率和鑄坯高質(zhì)量。42/6/2023155計(jì)算結(jié)果示例：

傳輸原理+數(shù)值方法+工程軟件=定量可視連鑄中間包內(nèi)鋼液流場(chǎng)連鑄中間包內(nèi)夾雜物流動(dòng)與去除連鑄換鋼種液芯內(nèi)成分演變過(guò)程連鑄連鑄結(jié)晶器內(nèi)鋼液流動(dòng)行為2/6/2023162/6/202317四、為什么把“三傳”放在一起講①“三傳”具有共同的物理本質(zhì)——都是物理過(guò)程。②“三傳”具有類似的表述方程和定律。③在實(shí)際成型或加工以及冶金過(guò)程中往往包括有兩種或兩種以上傳輸現(xiàn)象，它們同時(shí)存在，又相互影響。2/6/202318動(dòng)量傳輸：在垂直于實(shí)際流體流動(dòng)方向上，動(dòng)量由高速度區(qū)向低速度區(qū)的轉(zhuǎn)移。熱量傳輸：是熱量由高溫區(qū)向低溫區(qū)的轉(zhuǎn)移。質(zhì)量傳輸：質(zhì)量傳輸是指物系中的一個(gè)或幾個(gè)組分由高濃度區(qū)向低濃度區(qū)的轉(zhuǎn)移。2/6/202319動(dòng)量傳輸在流動(dòng)的物體中出現(xiàn)的原因：流動(dòng)速度不同動(dòng)量分布不均勻主要研究?jī)?nèi)容為：要研究各種條件下，流動(dòng)物體中的動(dòng)量分布情況(也即流動(dòng)物體的流動(dòng)速度的分布情況)、動(dòng)量的傳輸規(guī)律、流動(dòng)物體的流速隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。2/6/202320金屬熱態(tài)成形過(guò)程中遇到流體的動(dòng)量傳輸問(wèn)題：（1）在鑄造時(shí)，金屬液在充填型腔時(shí)的流動(dòng)；（2）流動(dòng)的金屬液與鑄型壁之間的相互力學(xué)作用；（3）型腔中金屬液內(nèi)的渣、氣泡的浮動(dòng)；（4）金屬在型腔中凝固時(shí)金屬液對(duì)縮孔的補(bǔ)縮流動(dòng)；（5）金屬熔煉爐和加熱爐中爐氣的流動(dòng)；（6）砂型吹砂充型緊實(shí)時(shí)和澆注過(guò)程中砂型中氣體的流動(dòng)；（7）鑄件水力清砂、噴涂料和金屬件表面噴砂清理時(shí)高壓水、受壓涂料和氣砂混合物通過(guò)噴嘴的流動(dòng)；（8）金屬熱態(tài)成形用工程裝備中液壓、氣動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)中工作液和壓縮空氣的流動(dòng)等。2/6/202321第一章流體及其流動(dòng)第一節(jié)流體的概念及連續(xù)介質(zhì)模型

一、流體的基本概念

自然界中能夠流動(dòng)的物體，液體、氣體；自然界中物質(zhì)三態(tài)1，相對(duì)于固體，流體在力學(xué)上的特點(diǎn)：＊流體不能承受拉力；＊對(duì)于牛頓流體：切應(yīng)力與應(yīng)變的時(shí)間變化率成比例，而對(duì)彈性體（固體）來(lái)說(shuō)，其切應(yīng)力則與應(yīng)變成比例。＊固體只能以靜變形抵抗剪切力，流體則連續(xù)變形，除非外力作用停止。2/6/2023222，流體的特征液體在重力作用下，總保持著一個(gè)自由表面，氣體充滿著容納它的整個(gè)空間。流體具有流動(dòng)性，但液體氣體的流動(dòng)性大小不同。液體難被壓縮,氣體容易被壓縮。流體分子間存在吸引力和動(dòng)量交換，當(dāng)其流動(dòng)時(shí)表現(xiàn)為阻礙流體的性質(zhì)稱為流體的粘性。2/6/202323二、.流體的連續(xù)介質(zhì)模型1，連續(xù)介質(zhì)：

分子間存在間隙，連續(xù)分布的無(wú)數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的無(wú)間隙布滿整個(gè)空間的模型。（質(zhì)點(diǎn)模型，剛體模型）2，為什么可以進(jìn)行連續(xù)介質(zhì)模型假設(shè)？

物質(zhì)從微觀角度看，物質(zhì)組成/大量不規(guī)則、不斷運(yùn)動(dòng)的分子或微觀粒子，分子間存在間隙，實(shí)際不連續(xù)的。而考查的是宏觀的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，統(tǒng)計(jì)效應(yīng)。2/6/202324

3，連續(xù)介質(zhì)模型的好處：

流體各個(gè)物理量可看作是空間與時(shí)間連續(xù)函數(shù)。故有：

p=f1(x,y,z,t)

v=f2(x,y,z,t)

ρ=f3(x,y,z,t)

流體的速度、壓強(qiáng)、溫度、密度、濃度等屬性都可看做時(shí)間和空間的連續(xù)函數(shù)，從而可以利用數(shù)學(xué)上連續(xù)函數(shù)的方法來(lái)定量描述。

但是，對(duì)于稀薄氣體中飛行的火箭、高真空技術(shù)、超音速氣流等，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不再適用。2/6/202325

第二節(jié)流體的主要物理性質(zhì)1，流體的壓縮性和熱脹性1.1液體的壓縮性和熱脹性

流體的體積隨壓力變化而變化的屬性稱為流體的壓縮性。這個(gè)特性用體積壓縮率k/體積模量K來(lái)表征。

流體體積壓縮率及相應(yīng)的體積模量隨流體種類、溫度和壓力而變化。液體的壓縮性不大，而氣體的壓縮性則大的多。2/6/202326

流體的體積隨溫度變化而變化的屬性稱為流體的膨脹性。這個(gè)特性用體膨脹系數(shù)來(lái)表征。

體膨脹系數(shù)也隨種類、溫度和壓力而變化1.2氣體的壓縮性和熱脹性

氣體的體積是隨壓力和溫度的變化而明顯地改變的．這三個(gè)物理量之間的關(guān)系可用理想氣體狀態(tài)方程式表示：

PV=RT

P/ρ=RT2/6/202327當(dāng)溫度保持不變(等溫)時(shí)，T=const．得波義耳定律的數(shù)學(xué)表示式：p/ρ=const若壓力保持不變(等壓)．得蓋呂薩克定律的數(shù)學(xué)表示式：

V/T=const氣體膨脹或收縮時(shí)需要吸熱或放熱，若無(wú)與外界的熱量變換(絕熱)，則壓力與密度關(guān)系為：

Pvκ=const

2/6/2023282.流體的粘性2.1概念2/6/202329流體的粘性：在作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩流體層的接觸面上，存在一對(duì)等值而反向的作用力來(lái)阻礙兩相鄰流體層作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，流體的這種性質(zhì)叫做流體的粘性。內(nèi)摩擦力：由粘性產(chǎn)生的作用力叫做粘性阻力或內(nèi)摩擦力。流體中出現(xiàn)粘性的原因：由于分子間內(nèi)聚力（引力）和流體分子的垂直流動(dòng)方向熱運(yùn)動(dòng)（出現(xiàn)能量交換）。在液體中以前者為主，氣體中以后者為主，所以液體的粘度隨溫度升高而減小，由于溫度升高時(shí)分子間距增大，分子間引力減?。欢鴼怏w的粘度則隨溫度的升高而增大，由于此時(shí)分子的熱運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)。2/6/202330

液體

氣體(1)兩層液體之間的粘性力主要由分子內(nèi)聚力形成(2)兩層氣體之間的粘性力主要由分子動(dòng)量交換形成2/6/2023312.2牛頓粘性定律如下圖為平板間流體速度與切應(yīng)力：由粘性力所引起的上、下兩板間流體的質(zhì)點(diǎn)只產(chǎn)生x方向上的有序運(yùn)動(dòng)．流體各平行層的運(yùn)動(dòng)速度在y方向上的分布如圖上箭頭所示，在y方向上出現(xiàn)速度梯度

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…………..（1）關(guān)于牛頓粘性定律的應(yīng)用（幾個(gè)例題）1，如圖所示，油缸和活塞的尺寸，活塞與油缸間隙中潤(rùn)滑油的粘度為η=0.065Pa·s，若在活塞上施加力F=8.5N，求活塞的移動(dòng)速度？2/6/2023332，平板上有薄層水流動(dòng)，水的密度ρ=1000kg/m3，ν=0.007cm2/s，vx=3y-y3，求平板上的切應(yīng)力？3，兩平行平板之間充滿粘度為η0的液體，在對(duì)稱面上有一面積為A的薄板，薄板以等速U平移運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)以另一種液體充滿上述平板之間，但其粘度η未知，若其中薄板位于底板以上h’處，也以等速作平移運(yùn)動(dòng)，且已知拖動(dòng)力與第一種情況相同，試由η0，h’來(lái)確定η2/6/202334第三節(jié)流體的分類1，流體的種類：理想流體、牛頓流體、非牛頓流體牛頓流體:實(shí)際上，流體都具有粘性，凡流體在流動(dòng)時(shí)，粘性力與速度梯度的關(guān)系都能用牛頓粘性定律全部氣體和所有單相非聚合態(tài)流體(如水及甘油等)均質(zhì)流體都屬于牛頓流體。理想流體是一種內(nèi)部不能出現(xiàn)摩擦力，無(wú)粘性的流體，既不能傳遞拉力，也不能傳遞切力．它只能傳遞壓力和在壓力作用下流動(dòng)，同時(shí)它還是不可被壓縮的。2/6/202335※引入理想流體的意義：1）在靜止流體和速度均勻、直線運(yùn)動(dòng)的流體中，流體的粘性表現(xiàn)不出來(lái)，所以在這種情況下完全可以把粘性流體當(dāng)作理想流體來(lái)處理；2）在許多場(chǎng)合下，想求的粘性流體的精確解是很困難的，對(duì)于某些粘性不起主要作用的流體，可以先不計(jì)粘性的影響，使問(wèn)題的解析大為簡(jiǎn)化，從而有利于掌握流體流動(dòng)的基本規(guī)律，至于粘性可通過(guò)試驗(yàn)加以修正。2，非牛頓流體的種類常見(jiàn)的主要有三種：1）濱海姆塑流型流體其切應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系如下：

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細(xì)粉煤泥漿、乳液、砂漿、礦漿等均屬于此類流體

2/6/2023372）偽塑流型流體和脹流型流體切應(yīng)力與速度之間的關(guān)系如下：η與n均為常數(shù)，n＜1時(shí)為偽塑流型流體；n＞1時(shí)為脹流型流體，如上圖所示切應(yīng)力與剪切速率的關(guān)系。3）屈服——偽塑流型流體這類流體與濱海姆塑流型流體相類似，但切應(yīng)力與速度梯度之間的關(guān)系是非線性的。2/6/202338在研究半固態(tài)金屬或鑄造涂料時(shí)，會(huì)遇到在剪切速率固定不變的情況下，流體的切應(yīng)力(τ)隨切變運(yùn)動(dòng)時(shí)間的增加而減小的非牛頓流體，稱為觸變性流體，圖中a為觸變性流體，b為牛頓流體。2/6/202339第二章流體動(dòng)力學(xué)第一節(jié)流體運(yùn)動(dòng)的描述一、研究流體運(yùn)動(dòng)的方法

拉格朗日法，歐拉法

拉格朗日法的出發(fā)點(diǎn)是流體質(zhì)點(diǎn)，即研究流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律，綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，便得到了整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。歐拉法的出發(fā)點(diǎn)在于流場(chǎng)中的空間點(diǎn)，即研究流體質(zhì)點(diǎn)通過(guò)空間固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律，綜合流場(chǎng)中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化情況，就得到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。研究力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述方法在流體力學(xué)中的推廣拉格朗日法數(shù)學(xué)描述體系龐大2/6/202340

流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，常常希望了解整個(gè)流場(chǎng)的速度分布、壓力分布及其變化規(guī)律，因此歐拉法得到了廣泛的應(yīng)用。下面對(duì)歐拉法予以介紹；

首先分析速度表示的方法。同一時(shí)刻流場(chǎng)內(nèi)各空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)速度是不相同的，即速度是空間位置坐標(biāo)(x，y，z)的函數(shù)；在同一空間點(diǎn)的不同時(shí)刻，流體通過(guò)該點(diǎn)的速度也可以是不相同的，所以速度也是時(shí)間t的函數(shù)。由于流體是連續(xù)介質(zhì)，所以某點(diǎn)的速度應(yīng)是x，y，z及t的連續(xù)函數(shù)。即2/6/202341通過(guò)流場(chǎng)中某點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)加速度的各分量可表示為：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度2/6/2023422/6/202343例題：設(shè)流場(chǎng)的速度分布如下：試1)求當(dāng)?shù)丶铀俣鹊谋磉_(dá)式2)t=0時(shí)，M（1，1）點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度2/6/2023442/6/202345二、穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流非穩(wěn)定流:如果流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不僅隨位置改變，又隨時(shí)間不同而變化;穩(wěn)定流:如果運(yùn)動(dòng)參數(shù)只隨位置改變而與時(shí)間無(wú)關(guān);對(duì)于非穩(wěn)定流，流場(chǎng)中速度和壓力分布可表示為2/6/202346對(duì)于穩(wěn)定流．上述參數(shù)可表示為：所以穩(wěn)定流的數(shù)學(xué)條件是：2/6/202347例圖所示：穩(wěn)定流非穩(wěn)定流

2/6/202348三、跡線和流線

(一)跡線定義：跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡線。跡線的特點(diǎn)是：對(duì)于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡，所以跡線是一族曲線，而且跡線只隨質(zhì)點(diǎn)不同而異，與時(shí)間無(wú)關(guān)。(二)流線

流線和跡線不同，它不是某一質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間所經(jīng)過(guò)的軌跡．而是在同一瞬時(shí)流場(chǎng)中連續(xù)的不同位置質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)方向線。拉格朗日坐標(biāo)下的一個(gè)概念歐拉坐標(biāo)下的一個(gè)概念2/6/202349流線——?dú)W拉坐標(biāo)下概念——流場(chǎng)中某一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的曲線，此時(shí)，在曲線上每一質(zhì)點(diǎn)的速度矢量總是在該點(diǎn)與該曲線相切。思考題：什么條件下流線與跡線是一致的？2/6/202350流線概念流線的三個(gè)特征：

1）非穩(wěn)定流時(shí)，流場(chǎng)中速度隨時(shí)間改變，經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的流線其空間方位和形狀是隨時(shí)間改變的；2/6/2023512）穩(wěn)定流時(shí)，由于流場(chǎng)中各點(diǎn)流速不隨時(shí)間改變，所以同一點(diǎn)的流線始終保持不變，且流線上質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。

3)流線不能相交也不能轉(zhuǎn)折。在流線分布密集處流速大，在流線分布稀疏處流速小。因此，流線分布的疏密程度就表示了流體運(yùn)動(dòng)的快慢程度。

四、流管、流束、流量1.流管：流線只能表示流場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)參量，但不能表明流過(guò)的流體數(shù)量。在流場(chǎng)內(nèi)取任意封閉曲線L（如下圖），通過(guò)曲線L上每一點(diǎn)連續(xù)地作流線，則流線族構(gòu)成一個(gè)管狀表面叫流管。

2/6/202352流管的示意圖非穩(wěn)定流時(shí)流管形狀隨時(shí)間而改變，穩(wěn)定流時(shí)流管形狀不隨時(shí)間而改變。2/6/202353

2.流束：在流管內(nèi)取一微小曲面dA，通過(guò)dA上每個(gè)點(diǎn)作流線，這族流線叫做流束。如果曲面dA與流束中每一根流線都正交，dA就叫做有效斷面。斷面無(wú)窮小的流束稱為微小流束。由于微小流束的斷面dA很小，可以認(rèn)為在微小斷面dA上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)是相同的，單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)此微小流束的流量dQ應(yīng)等于vdA。一個(gè)流管是由許多流束組成的，這些流束的流動(dòng)參量并不一定相同，所以流管的流量應(yīng)為：

2/6/202354第二節(jié)連續(xù)方程

一、直角坐標(biāo)系的連續(xù)性方程

微小六面空間體

2/6/202355單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)x處的平面輸入的質(zhì)量流量是：通過(guò)x+dx處的平面輸出的質(zhì)量流量是：

則輸入與輸出的質(zhì)量差為：2/6/202356⑵同樣可分析y方向：?jiǎn)挝粫r(shí)間流入的：

單位時(shí)間流出：

⑶z方向：?jiǎn)挝粫r(shí)間流入的：

單位時(shí)間流出：2/6/202357總流入量為x,y,z

方向之和，總流出量為x,y,z

方向之和。因此dt時(shí)間整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的流體質(zhì)量差應(yīng)為：

2/6/202358在dt時(shí)間內(nèi)由于密度變化而引起的總的質(zhì)量變化為：由質(zhì)量守恒定律有：以上即為流體的連續(xù)性方程。其物理意義為：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。

2/6/202359②對(duì)于不可壓縮流體∴連續(xù)性方程為：分析：①對(duì)于穩(wěn)定流動(dòng)（流動(dòng)狀態(tài)不隨時(shí)間而變化）：2/6/202360二.一維總流的連續(xù)性方程可壓縮流體沿微小流束穩(wěn)定流時(shí)的連續(xù)性方程為：

一維總流方程：

不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則總流方程為：2/6/202361三、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的連續(xù)性方程

圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系

2/6/202362圓柱坐標(biāo)系中連續(xù)性方程：圓柱坐標(biāo)系中對(duì)于不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：

球坐標(biāo)系中流體流動(dòng)的連續(xù)性方程：2/6/202363對(duì)于不可壓縮流體：例題2/6/2023641.作用在流體上的力1）.質(zhì)量力

某種力場(chǎng)作用在流體所有質(zhì)點(diǎn)上的力。作用在全部質(zhì)量上的質(zhì)量力稱為質(zhì)量力

作用在單位質(zhì)量上的力稱為單位質(zhì)量力

2）.表面力

作用在研究表面上的力，可以分解為兩個(gè)力：法向力：與流體表面相垂直的力

第三節(jié)理想流體動(dòng)量傳輸方程——?dú)W拉方程

2/6/202365

切向力：與流體表面相切的力

說(shuō)明：①壓力：表面力，周圍流體及周圍固體垂直作用在表面上的力，是法向力。②粘性力（內(nèi)摩擦力）：是表面力/切向力，與流體流動(dòng)方向平行?！|(zhì)量力與表面力的區(qū)別：

①作用點(diǎn)不同：質(zhì)量力作用在每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)上表面力作用在流體的表面上②質(zhì)量力與流體的質(zhì)量成正比表面力與所取流體表面積成正比③質(zhì)量力是非接觸力，是力場(chǎng)的作用表面力是接觸產(chǎn)生的力

2/6/202366

微元六面體的受力分析

流體的單位質(zhì)量力在x軸上的分量為X，則微元體的質(zhì)量力在x軸的分量就為Fx＝Xρdxdydz。作用在微元六面體上諸力在任一軸投影的代數(shù)和應(yīng)等于該微元六面體的質(zhì)量與該軸上的分加速度的乘積。

2/6/202367對(duì)于X軸的受力平衡方程有：同理可得單位質(zhì)量的流體運(yùn)動(dòng)方程：理想流體的動(dòng)量平衡方程，理想流體上的力與流體運(yùn)動(dòng)加速度的關(guān)系，理想流體各種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)?？蓧嚎s及不可壓縮理想流體都是適用的（穩(wěn)定流，非穩(wěn)定流均可）。

2/6/202368

動(dòng)量通量和力可看成為同一物理量。建立起這個(gè)概念在材料加工及冶金傳輸過(guò)程中是極其重要的。因?yàn)樵谡麄€(gè)材料加工或冶金過(guò)程中一切過(guò)程都是包括動(dòng)量、熱量和質(zhì)量在內(nèi)的傳輸過(guò)程。描述傳輸現(xiàn)象中的三個(gè)基本定律，即牛頓粘度定律、傅里葉熱傳導(dǎo)定律和菲克擴(kuò)散定律，就是從本質(zhì)上反映了諸多物理量間的傳輸關(guān)系。當(dāng)Vx=Vy=Vz時(shí)，說(shuō)明流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有改變，可得流體靜力學(xué)的歐拉平衡微分過(guò)程，所以平衡方程只是運(yùn)動(dòng)方程的特例。

2/6/202369第四節(jié)實(shí)際流體動(dòng)量傳輸方程——納維爾—斯托克斯方程

微元六面體受力分析圖如下：

2/6/202370下面分析各軸向的受力情況：垂直于x軸的AB面上的應(yīng)力為：垂直于y軸的AC面上的應(yīng)力為：

2/6/202371垂直于z軸的AD面上的應(yīng)力為：則x方向上的運(yùn)動(dòng)方程為：2/6/2023722/6/202373微元體的運(yùn)動(dòng)方程如下：對(duì)于不可壓縮流體，則對(duì)上式的第一式進(jìn)行整理得：根據(jù)粘性動(dòng)量通量與變形率，法向力與壓力的關(guān)系2/6/2023742/6/2023752/6/2023762/6/202377同理可得y以及z方向的傳輸方程，并將其兩邊均除以ρ，并以ν＝η/ρ代入，得如下動(dòng)量傳輸方程：應(yīng)用拉普拉斯算子：

2/6/202378則上述動(dòng)量傳輸方程可簡(jiǎn)化為：以上就是實(shí)際流體的動(dòng)量守恒方程，也即不可壓縮粘性流體的動(dòng)量傳輸方程。如果流體是無(wú)粘性的，即ν等于零，上式可簡(jiǎn)化為歐拉方程式。

2/6/202379第五節(jié)理想流體和實(shí)際流體的伯努利方程

一、理想流體的伯努利方程積分是在下述條件下進(jìn)行的：

2/6/202380在上述條件下對(duì)理想流體的動(dòng)量傳輸方程（歐拉方程即下式）進(jìn)行積分求解得：

（1）（2）（3）2/6/202381左邊第一項(xiàng)為勢(shì)函數(shù)W的全微分dW。不可壓縮流體的定常流動(dòng)，則左邊的第二項(xiàng)等于dp/ρ。由于在定常流動(dòng)中流線與跡線重合，故右邊的三項(xiàng)之和為：將以上簡(jiǎn)化結(jié)果帶入積分等式中可得：

由于ρ=constant，因此上式可以寫(xiě)為：

2/6/202382沿流線將上式積分可得：

上式即為理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分。

上式表明在有勢(shì)質(zhì)量力的作用下，理想不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)，函數(shù)值是沿流線不變的。因此，如沿同一流線，取相距一定距離的任意兩點(diǎn)1和2，可得：在實(shí)際工程問(wèn)題中經(jīng)常遇到的質(zhì)量力場(chǎng)只有重力場(chǎng)，即x＝0，y＝0，z=－ɡ，是重力加速度，則勢(shì)函數(shù)W的全微分為：

2/6/202383將以上結(jié)果帶入伯努利積分方程式為：上式是對(duì)于只有重力場(chǎng)作用下的穩(wěn)定流動(dòng)、理想的不可壓縮流體沿流線的運(yùn)動(dòng)方程式的積分形式，稱為伯努利方程式。

2/6/202384二、實(shí)際流體的伯努利方程

……..(A)2/6/202385如果流體是定常流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)沿流線運(yùn)動(dòng)的微元長(zhǎng)度在各軸上的投影分別為dx，dy，dz，而且dx=vx

dt，dy=vy

dt，dz=vz

dt，則可將（A）式中的各個(gè)方程分別對(duì)應(yīng)地乘以dx、dy、dz，然后相加，得出：上式中的第二項(xiàng)即為這些切向應(yīng)力在流線微元長(zhǎng)度dl上所作的功。又因?yàn)橛捎谡承远a(chǎn)生的這些切向應(yīng)力的合力總是與流體運(yùn)動(dòng)方向相反的，故所作的功應(yīng)為負(fù)功。因此，上式中的第二項(xiàng)可表示為：2/6/202386將上式代入微分方程可得：特此式沿流線積分，得：此式即為實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分，它表明：在質(zhì)量力為有勢(shì)，且作定常流動(dòng)的情況下函數(shù)值是沿流線不變的。

如在同一流線上取l和2兩點(diǎn)，則可列出下列方程：

2/6/202387將W1，W2，代入整理可得：則上式可改寫(xiě)為：2/6/202388三、伯努利方程的幾何意義和物理意義(一)幾何意義

z是指流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)所具有的位置高度，稱為位置水頭，簡(jiǎn)稱位頭；

p/γ是指流體質(zhì)點(diǎn)在給定點(diǎn)的壓力高度，稱為壓力水頭，簡(jiǎn)稱壓頭：ν2/2g它表示流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)，以速度ν向上噴射時(shí)所能達(dá)到的高度，稱為速度水頭．三者均為長(zhǎng)度的量綱。伯努利方程中位置水頭、壓力水頭、速度水頭三者之間和稱為總水頭，用H表示，則2/6/202389a）理想流體微元流束伯努利方程圖解b）粘性流體微元流束伯努利方程圖解2/6/202390

(二)物理意義

zg：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)具有的位置勢(shì)能，比位能；p/ρ：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體流經(jīng)該點(diǎn)時(shí)具有的壓力能，比壓能；ν2/2g：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體流經(jīng)給定點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，比動(dòng)能；WR：?jiǎn)挝毁|(zhì)量流體在流動(dòng)過(guò)程中損耗的機(jī)械能，能量損失。對(duì)于理想流體，其各項(xiàng)能量可以相互轉(zhuǎn)化，它們的總和卻是不變的。對(duì)于粘性流體，各項(xiàng)能量可以相互轉(zhuǎn)化，它的總機(jī)械能也是有損失的。2/6/2023912/6/202392例設(shè)不可壓縮流體在管內(nèi)作穩(wěn)定流動(dòng)，說(shuō)明以下幾種情況的能量轉(zhuǎn)換特征。

（1）粘性流體，水平直管∵A1=A2,ρ1=ρ2∴v1=v2Z1=Z2P1=P2+∑h失

P1-P2=∑h失△P凈

∑h失

(2)理想流體，變截面水平管流

z1=z2h失=0

h動(dòng)→h靜反之靜→動(dòng)

P1v1A1P2v2A21211222/6/202393（3）理想流體，一定傾斜度的變截面管流

p1v1A1P2v2A212z1z2h位h動(dòng)h失h靜2/6/202394第六節(jié)伯努利方程的應(yīng)用

應(yīng)用條件：1)流體運(yùn)動(dòng)必須是穩(wěn)定流。

2)所取的有效斷面必須符合緩變流條件；但兩個(gè)斷面間的流動(dòng)可以是緩變流動(dòng)，也可以是急變流動(dòng)。

3)流體運(yùn)動(dòng)沿程流量不變。對(duì)于有分支流(或匯流)的情況，可按總能量的守恒和轉(zhuǎn)化規(guī)律列出能量方程。4)在所討論的兩有效斷面間必須沒(méi)有能量的輸入或輸出。2/6/2023952/6/2023961、應(yīng)用伯努利方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法可歸納為：1）選取適當(dāng)?shù)幕鶞?zhǔn)水平面2）選取兩個(gè)計(jì)算截面，一個(gè)設(shè)在所求參數(shù)的截面上，另一個(gè)設(shè)在已知參數(shù)的截面上3）按照液體流動(dòng)的方向列出伯努利方程2/6/2023972、應(yīng)用伯努利方程應(yīng)注意的問(wèn)題＊弄清使用條件＊方程中位置水頭是相對(duì)于基準(zhǔn)面而言的＊計(jì)算時(shí)，方程兩邊選用壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)一致＊結(jié)合連續(xù)性方程求解2/6/202398應(yīng)用舉例：例1.

在金屬鑄造及冶金中，如連續(xù)鑄造、鑄錠等．通常用澆包盛裝金屬液進(jìn)行澆注，如圖所示。設(shè)mi是澆包內(nèi)金屬液的初始質(zhì)量，mc是需要澆注的鑄件質(zhì)量。為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)包的內(nèi)徑D是不變的。因澆口的直徑d比澆包的直徑小很多．自由液面(1)的下降速度與澆口處(2)金屬液的流出速度相比可以忽略不計(jì)，求金屬液的澆注時(shí)間。

解：由伯努利方程：2/6/202399由總質(zhì)量平衡原理，有：將速度等式代入可得：根據(jù)以下邊界條件：t=0，m=mi;t=t，m=mi－mc

積分得：需要的流出時(shí)間為：2/6/20231002/6/2023101

例2，畢托管(PitotTube)是用來(lái)測(cè)量流場(chǎng)中一點(diǎn)流速的儀器。其原理如圖a）所示，在管道里沿流線裝設(shè)迎著流動(dòng)方向開(kāi)口的細(xì)管，可以用來(lái)測(cè)量管道中流體的總壓，試求畢托管的測(cè)速公式？

解：沿流線l、2兩點(diǎn)列出伯努利方程式：

2/6/2023102因?yàn)橛黧w的畢托管端對(duì)流動(dòng)的流體有阻滯作用，此處流體的流速ν2=0，z1＝z2，于是：2/6/2023103例3：設(shè)一噴嘴垂直向上噴水，已知水的噴出平均速度v1=15m/s,噴嘴直徑d=0.05m.假設(shè)水流不受影響無(wú)阻損，并保持圓截面，試求在距噴口高度H=8m處的水流平均速度及截面直徑。

z2z1Hv1d1v2d22/6/2023104第七節(jié)穩(wěn)定流的動(dòng)量方程及其應(yīng)用

一、穩(wěn)定流動(dòng)的動(dòng)量方程

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上作用的所有外力的合力

即2/6/2023105將上式推廣到總流中去，得2/6/2023106按穩(wěn)定流的連續(xù)性條件，有：斷面速度分布難以確定，求出單位時(shí)間動(dòng)量表達(dá)式的積分是困難的，故工程上常用平均速度來(lái)表示，如下關(guān)系：式中β為動(dòng)量修正系數(shù)，它的大小取決于斷面上的速度分布的均勻程度，1.02-1.05，通常取1將動(dòng)量修正系數(shù)概念引入動(dòng)量表達(dá)式得：2/6/2023107即得外力合矢量：F為所受外力的合力，即其物理意義為；作用在所研究的流體上的外力總和等于單位時(shí)間內(nèi)流出與流入的動(dòng)量之差。為便于計(jì)算，常寫(xiě)成空間坐標(biāo)的投影式，即2/6/2023108說(shuō)明：1）計(jì)算過(guò)程中只涉及控制面上的運(yùn)動(dòng)要素，不考慮控制體內(nèi)部的流動(dòng)狀態(tài)；2）作用力、流速、動(dòng)量均為矢量,分析過(guò)程中注意投影分量的正負(fù);3）適當(dāng)?shù)剡x擇控制面，完整表達(dá)出作用在控制體和控制面上的一切外力，一般包括：兩端壓力、重力、四周邊界反力；4）對(duì)于未知的邊界反力可先假設(shè)一方向，然后根據(jù)結(jié)果判斷。2/6/2023109二、動(dòng)量方程的應(yīng)用(一)液流對(duì)彎管壁的作用力

液流對(duì)彎管壁的作用力2/6/2023110按空間坐標(biāo)投影公式，沿x軸和z軸求分量：即可得出如下結(jié)果：液體作用于彎管上的力，大小與R相等，方向與R相反。

2/6/2023111(二)射流對(duì)固體壁的沖擊力

射流沖擊固體壁速度分布及受力分析2/6/2023112取射流為分離體，設(shè)平板沿其法線方向?qū)ι淞鞯淖饔昧镽，射流所受的相對(duì)壓強(qiáng)為零，則按外合力公式得：

以平板法線方向?yàn)閤軸方向，向右為正，則上式各量在x軸上的投影為：

射流對(duì)平板的沖力就是一個(gè)與R大小相等、方向相反的力R’。當(dāng)θ＝90°，即射流沿平板法線方向射去，則平板所受的沖擊力為：設(shè)平面沿射流方向以速度ν移動(dòng)，則射流對(duì)此移動(dòng)平板的沖擊力為：

2/6/20231132/6/2023114動(dòng)量方程應(yīng)用實(shí)例2/6/20231152/6/20231162/6/2023117第三章層流流動(dòng)及湍流流動(dòng)相關(guān)概念：能量損失：對(duì)于不可壓縮流體來(lái)說(shuō)，這種阻力使流體的一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。這部分能量便不再參與流體的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，在流體力學(xué)中稱之為能量損失。壓力損失：?jiǎn)挝毁|(zhì)量(或單位體積)流體的能量損失，稱為水頭損失(或壓力損失)并以hw(或Δp)表示。2/6/2023118第一節(jié)流動(dòng)狀態(tài)及阻力分類

一、雷諾試驗(yàn)雷諾試驗(yàn)裝置示意圖2/6/20231192/6/2023120二、層流和邊界層1.層流的概念及特點(diǎn)層流：流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)方向上分層流動(dòng)，各層互不干擾和滲混，這種流線呈平行狀態(tài)的流動(dòng)稱為層流，或稱流線型流。

特點(diǎn)：速度小或粘度較大、互不干擾

2.邊界層的形成2/6/2023121三湍流及湍流邊界層1.湍流的概念及特點(diǎn)湍流：流體流動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)在不同方向上作復(fù)雜的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，互相干擾地向前運(yùn)動(dòng)，這種流動(dòng)稱為湍流。特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度在方向和大小上均隨時(shí)間而變、非旋渦運(yùn)動(dòng)（宏觀）、非分子運(yùn)動(dòng)（微觀）

湍流運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的示意圖2/6/20231222.管道內(nèi)湍流的速度分布如右圖所示：1）在流體與管壁界面處，兩種情況的速度均為零．

2）在管子中間部分流體的平均速度在湍流時(shí)是比較均勻的

2/6/20231233.湍流邊界層的結(jié)構(gòu)

（1）層流邊界層：粘性力的作用，在管入口處，管內(nèi)湍流與邊界層均未充分發(fā)展，邊界層極薄，邊界層內(nèi)還是層流流動(dòng)。（2）湍流邊界層：進(jìn)入管內(nèi)一段距離后(湍流下，直管進(jìn)口起始段的長(zhǎng)度L＝25—40d)，管內(nèi)湍流已獲得充分發(fā)展，這時(shí)．原邊界層內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的橫向遷移也相當(dāng)強(qiáng)烈，層流邊界層變成了湍流邊界層，只不過(guò)湍流的程度不如邊界層外的主流大。但在貼近壁面處仍有一薄層流體處于層流狀態(tài)，這層流體稱為層流底層。2/6/2023124四、流動(dòng)狀態(tài)判別準(zhǔn)則——雷諾數(shù)試驗(yàn)結(jié)果表明：雷諾數(shù)比值越大，慣性力越大，就越趨向于層流向湍流轉(zhuǎn)變；比值越小，即使原來(lái)是湍流也會(huì)變成層流。

圓管內(nèi)強(qiáng)制流動(dòng)的流體，層流開(kāi)始向湍流轉(zhuǎn)變臨界雷諾數(shù)；雷諾數(shù)超過(guò)上臨界雷諾數(shù)13000時(shí)，流動(dòng)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的湍流。2/6/2023125當(dāng)流道的過(guò)水?dāng)嗝媸欠菆A形斷面時(shí)，可用水力半徑R作為固體的特征長(zhǎng)度，即當(dāng)流體繞過(guò)固體(如繞過(guò)球體)而流動(dòng)時(shí)，也出現(xiàn)層狀繞流(物體后面無(wú)旋渦)和紊亂繞流(物體后面形成旋渦)的現(xiàn)象。此時(shí)，雷諾數(shù)用下式計(jì)算：

Re＝1的流動(dòng)情況稱為蠕流。這一判別數(shù)據(jù)，對(duì)于選礦、水力運(yùn)輸?shù)裙こ逃?jì)算是很有實(shí)用意義的。

2/6/2023126

應(yīng)用舉例

在水深h＝2cm．寬度b＝80㎝的槽內(nèi)，水的流速ν＝6㎝／s，已知水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)υ＝0.013cm2／s。問(wèn)水流處于什么運(yùn)動(dòng)狀態(tài)?如需改變其流態(tài)，速度ν應(yīng)為多大?解：對(duì)于這種寬槽是屬非圓形斷面，可取水深h代表水力半徑R．并作為固體的特征長(zhǎng)度L。根據(jù)公式可計(jì)算雷諾數(shù)：

故為湍流狀態(tài)。如需改變流態(tài)，應(yīng)算出層流的臨界速度，即當(dāng)ν≤1.95cm／s時(shí)水流將改變?yōu)閷恿鳡顟B(tài)。

2/6/2023127五、流動(dòng)阻力分類

(一)沿程阻力

它是沿流動(dòng)路程上由于各流體層之間的內(nèi)摩擦而產(chǎn)生的流動(dòng)阻力，因此也叫做摩擦阻力。在層流狀態(tài)下，沿程阻力完全是由粘性摩擦產(chǎn)生的。在湍流狀態(tài)下，沿程阻力的一小部分由邊界層內(nèi)的粘性摩擦產(chǎn)生，主要還是由流體微團(tuán)的遷移和脈動(dòng)造成。

(二)局部阻力流道發(fā)生彎曲、流通截面擴(kuò)大或縮小、流體通道中設(shè)置了各種各樣的物件如閥門(mén)等。2/6/2023128第二節(jié)流體在圓管中的層流運(yùn)動(dòng)一，層流流動(dòng)的定解問(wèn)題1，初值條件2，邊值條件

a）固體邊壁

b）對(duì)稱邊值條件

c）出入口邊值條件2/6/2023129二、有效斷面上的速度分布管中層流運(yùn)動(dòng)2/6/20231302/6/20231312/6/20231322/6/20231332/6/2023134三、平均流速和流量

2/6/20231352/6/2023136四、沿程損失的達(dá)西公式2/6/20231372/6/20231382/6/2023139例沿直徑d＝305mm的管道，輸送密度ρ＝980㎏／m3、運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)υ＝4㎝2/s的重油。若流量Q=60L／s，管道起點(diǎn)標(biāo)高z1＝85m，終點(diǎn)標(biāo)高z2＝105m，管長(zhǎng)L＝1800m。試求管道中重油的壓力降及損失功率各為若干?解：(1)本題所求的壓力降，是指管道起點(diǎn)1斷面與終點(diǎn)2斷面之間的靜壓差Δp＝pl－p2。為此，首先列出l、2兩斷面的總流伯努利方程。因?yàn)槭堑葦嗝婀?，所以?/p>

2/6/2023140第三節(jié)流體在平行平板間的層流運(yùn)動(dòng)

一、運(yùn)動(dòng)微分方程

質(zhì)量力只有重力，單位質(zhì)量力在各軸上的投影分別為X＝0，Y＝0，Z＝－g，因?yàn)槭嵌ǔ?穩(wěn)態(tài))流動(dòng)，故有：

2/6/2023141速度ν與x軸方向一致，故有：

假定平板沿y方向是無(wú)限寬的，在y方向的邊界面對(duì)流體運(yùn)動(dòng)無(wú)影響，故有

:p，ν都不是時(shí)間t的函數(shù)，ν僅是坐標(biāo)z的函數(shù)，將其帶入實(shí)際流體的動(dòng)量守恒方程得：2/6/2023142上式中的第一式又可寫(xiě)為：

…..(A)因粘性流體在水平的平板間流動(dòng)，因而有：

………(1)ν僅是坐標(biāo)z的函數(shù)，則平衡方程的第一式可寫(xiě)為

……….(2)將（1）和（2）代入（A）式中可得：

粘性流體在水平的平板間作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)微分方程。將其積分兩次可得:

2/6/2023143二、應(yīng)用舉例2/6/20231442/6/20231452/6/20231462/6/20231472/6/2023148第四節(jié)流體在圓管中的湍流運(yùn)動(dòng)一、湍流的脈動(dòng)現(xiàn)象及時(shí)均化

湍流運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)：是非穩(wěn)定流動(dòng)，任一點(diǎn)瞬時(shí)速度（壓力）具有隨機(jī)性質(zhì)的變化；這種變化在足夠長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，始終圍繞某一“平均值”而上下擺動(dòng)；這種圍繞某一“平均值”而上下變動(dòng)的現(xiàn)象，稱為脈動(dòng)現(xiàn)象。

二、速度的時(shí)均化原則及時(shí)均速度2/6/2023149速度時(shí)均化原則:足夠長(zhǎng)時(shí)間段T內(nèi)，以平均值的速度流經(jīng)一微小有效斷面積ΔA的流體體積，應(yīng)等于在同一時(shí)間段內(nèi)以真實(shí)的有脈動(dòng)的速度ν流經(jīng)同一微小有效斷面積的流體體積。2/6/2023150三、水力光滑管和水力粗糙管不同粗糙度的管路對(duì)雷諾數(shù)相同的流體流動(dòng)，會(huì)形成不同的阻力相同粗糙度的管路對(duì)雷諾數(shù)不同的流體流動(dòng)，會(huì)形成不同的阻力。2/6/2023151四、湍流運(yùn)動(dòng)中的速度分布

(一)湍流的脈動(dòng)附加阻力

湍流中的總阻力為：

(二)湍流的速度分布管壁處的切應(yīng)力τ。為：

計(jì)算整理得：將上式積分得：2/6/2023152利用管軸上速度為最大的條件來(lái)確定積分常數(shù)。如下圖所示

2/6/2023153五、湍流沿程損失的基本關(guān)系式

(一)湍流沿程損失基本公式

湍流中沿程損失的影響因素函數(shù)式：

Δp與ν的關(guān)系式為：

湍流沿程阻力系數(shù)λ為：

2/6/2023154(二)非圓形管道沿程損失公式

由于圓形截面的特征長(zhǎng)度是直徑d，非圓形截面的特征長(zhǎng)度是水力半徑R，而且d＝4R，故只需將式非圓形管沿程損失公式為：

2/6/2023155第五節(jié)沿程阻力系數(shù)λ值的確定

尼古拉茨實(shí)驗(yàn)圖I區(qū)——層流區(qū)，雷諾數(shù)Re＜2320。粗糙度對(duì)阻力系數(shù)λ沒(méi)有影響，λ只是Re的函數(shù)，λ＝64／Re。2/6/2023156Ⅱ區(qū)——層流變?yōu)橥牧鞯倪^(guò)渡區(qū)，2300＜Re＜4000

Ⅲ區(qū)——水力光滑管區(qū)Ⅳ區(qū)——水力光滑管區(qū)變?yōu)樗Υ植诠軈^(qū)的過(guò)渡

Ⅴ區(qū)——水力粗糙區(qū)2/6/2023157例長(zhǎng)度l＝1000m，內(nèi)徑d＝200mm的普通鍍鋅鋼管．用來(lái)輸送運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)υ＝0.355㎝2／s的重油，已測(cè)得其流量Q＝38L／s。問(wèn)其沿程損失為若干?(查手冊(cè)Δ＝0.39，重油密度為880kg／m3)2/6/20231582/6/2023159第六節(jié)局部阻力一、斷面突然擴(kuò)大的局部損失

截面突然擴(kuò)大的管道2/6/2023160伯努利方程(取動(dòng)能修正系數(shù)α1＝α2≈1)，可得

或者若以局部水頭損失表示，又可寫(xiě)為：

由動(dòng)量方程(取動(dòng)量修正系數(shù)β1＝β2≈1)可得：

2/6/2023161按連續(xù)性方程Q＝ν1Al＝ν2A2：

二、其它類型的局部損失

在流體力學(xué)中常以管徑突然擴(kuò)大的水頭損失計(jì)算公式作為通用的計(jì)算公式，然后根據(jù)具體情況乘以不同的局部阻力系數(shù)，即2/6/2023162第四章邊界層理論流體流動(dòng)的控制方程是非線性偏微分方程組，處理非線性偏微分方程依然是當(dāng)今科學(xué)界的一大難題實(shí)際工程問(wèn)題：靠近固體壁面的一薄層流體速度變化較大，而其余部分速度梯度很小★遠(yuǎn)離固體壁面，視為理想流體——?dú)W拉方程★靠近固體壁面的一薄層流體，在邊界層內(nèi)進(jìn)行控制方程的簡(jiǎn)化★邊界層厚度，相對(duì)于整個(gè)流場(chǎng)小得多

2/6/20231631904年，普朗特提出了分解為兩個(gè)區(qū)域的求解思想2/6/2023164第一節(jié)邊界層理論的基本概念一、邊界層的定義

邊界層示意圖邊界層：流體在繞流過(guò)固體壁面流動(dòng)時(shí)緊靠固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層

2/6/2023165

二邊界層的形成與特點(diǎn)

1.邊界層的形成

當(dāng)流體流過(guò)一平板時(shí)，與平板緊臨的流體受平板的粘附作用而與平板保持相對(duì)停止，其它邊界層內(nèi)的流體依次受到下層流體的粘性力作用而使其速度減小，在固體的壁面附近就形成了有較大的速度變化的邊界層。2.平板繞流流動(dòng)邊界層的特點(diǎn)：(1)層流區(qū)

流體繞流進(jìn)入平板后，當(dāng)進(jìn)流長(zhǎng)度不是很長(zhǎng)，x＜xc(xc對(duì)應(yīng)于Rex＜2×105進(jìn)流深度)，這時(shí)Rex＜2×105，邊界層內(nèi)部為層流流動(dòng)，這一個(gè)區(qū)域稱為層流區(qū)。2/6/2023166(2)過(guò)渡區(qū)

隨著進(jìn)流深度的增長(zhǎng)，當(dāng)x＞xc，使得Rex＞2×105，且Rex＜3×106時(shí)，邊界層內(nèi)處于一種不清楚的流動(dòng)形態(tài)，部分層流，部分湍流，故稱為過(guò)渡區(qū)。在這一區(qū)域內(nèi)邊界層的厚度隨進(jìn)流尺寸增加的相對(duì)較快。(3)湍流區(qū)

隨著進(jìn)流尺寸的進(jìn)一步增加，使得Rex＞3×106，這時(shí)邊界層內(nèi)流動(dòng)形態(tài)已進(jìn)入湍流狀態(tài)，邊界層的厚度隨進(jìn)流長(zhǎng)度的增加而迅速增加。

3、邊界層的基本特征1）δ/L﹤﹤1，與固體長(zhǎng)度相比，邊界層厚度很??；2/6/20231672）邊界層內(nèi)沿邊界層厚度方向上的速度梯度很大；3）邊界層沿流動(dòng)方向逐漸增厚；4）由于邊界層很薄，故可近似認(rèn)為邊界層截面上的壓力等于同一截面上邊界層外邊界上的壓力；5）邊界層內(nèi)粘性力和慣性力是同一數(shù)量級(jí)的；6）如整個(gè)長(zhǎng)度上邊界層內(nèi)都是層流則稱為層流邊界層，僅在起始長(zhǎng)度上是層流而其他部分為湍流的稱為混合邊界層。2/6/2023168第二節(jié)平面層流邊界層微分方程

一、微分方程的建立

連續(xù)性方程與N—S方程是流體層流流動(dòng)過(guò)程中普通適用的控制方程。對(duì)于二維平面不可壓縮層沉穩(wěn)定態(tài)流動(dòng)，在直角坐標(biāo)系下滿足的控制方程為：

………..（A）2/6/2023169第二式為x方向的動(dòng)量傳輸方程，可簡(jiǎn)化為：

對(duì)主流區(qū)同一y值，不同x值的伯努力方程可寫(xiě)為：

x方向的動(dòng)量傳輸方程可簡(jiǎn)化為：該方程稱為普朗特邊界層微分方程．它與連續(xù)性方程式構(gòu)成了求解邊界層內(nèi)流體流動(dòng)的控制方程組，即（A）式方程組簡(jiǎn)化為：2/6/2023170根據(jù)邊值條件，就構(gòu)成完備的定解問(wèn)題。邊界條件如下：二、微分方程的解

邊界層微分方程的解為一無(wú)窮級(jí)數(shù)：

2/6/2023171隨界層厚度δ與距離x及流速ν0的關(guān)系為：

2/6/2023172第三節(jié)邊界層內(nèi)積分方程

2/6/2023173一、邊界層積分方程的建立

2/6/2023174首先對(duì)控制體(單元體)做動(dòng)量平衡計(jì)算(在計(jì)算過(guò)程中取垂直于紙面z方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度)：

1)流體從AB面單位時(shí)間流入的動(dòng)量記為Mx:

2)流體從CD面單位時(shí)間流出的動(dòng)量記為Mx+Δx

從CD面單位時(shí)間流出的質(zhì)量為：

2/6/20231753)流體從BC面單位時(shí)間流入的動(dòng)量為ML

因?yàn)锽C面取在邊界層之外，所以流體沿x方向所具有的速度近似等于ν0，由BC面流入的動(dòng)量的x分量為：

4)AD面上的動(dòng)量，由于AD是固體表面，無(wú)流體通過(guò)AD流入或流出，即質(zhì)量通量為零，但由粘性力決定的粘性動(dòng)量通量是存在的，其量值為τ。，所以在控制體內(nèi)由AD面單位時(shí)間傳給流體的粘性動(dòng)量為τ。Δx。

2/6/2023176

沿x方向一般來(lái)說(shuō)可能還會(huì)存在著壓力梯度，所以作用在AB面與CD面上的壓力差而施加給控制體的沖量為：

由討論邊界層微分方程時(shí)可知?p/?y＝0，所以由動(dòng)量守恒可得即：2/6/2023177上式即為邊界層積分方程，也稱為馮·卡門(mén)方程。對(duì)繞平板流動(dòng)按前面的分析dp/dx是一個(gè)小量，可略去，這時(shí)方程可簡(jiǎn)化為：

2/6/2023178二、層流邊界層積分方程的解

分析馮·卡門(mén)方程的特點(diǎn)并假設(shè)在層流情況下速度分布曲線是y的三次方函數(shù)關(guān)系，即

………………（a）a，b，c，d是特定常數(shù)，由邊界條件確定。這些邊界條件是：

利用上述邊界條件而定出（a）式中的系數(shù)為：速度分布可表示為：

即2/6/2023179聯(lián)立速度分布與邊界層厚度之間的關(guān)系式與邊界層積分方程即可求出速度分布與邊界層厚度：

三、湍流邊界層內(nèi)積分方程的解

圓管內(nèi)湍流速度分布的1/7次方定律：用邊界層厚度δ代替式中的R得到：

2/6/2023180根據(jù)圓管湍流阻力的關(guān)系式，得出壁面切應(yīng)力τ0為：

圓管內(nèi)湍流速度分布的1/7次方定律得：

增加的要快得多。這也是湍流邊界層區(qū)分于層流邊界的一個(gè)顯著特點(diǎn)。

2/6/2023181第四節(jié)平板繞流摩擦阻力計(jì)算一、不可壓層流平板繞流摩擦阻力通常定義摩擦阻力系數(shù)Cf為：

對(duì)于長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為B的平板總阻力為S，即

…………….（1）按總阻力為單位面積上的平板阻力h(h＝τyx)與面積的乘積的規(guī)律可得：

…（2）2/6/2023182層流條件下平板繞流摩擦阻力的平板摩接阻力系數(shù)Cf：

由邊界層積分方程的解，也可計(jì)算層流平面繞流摩擦阻力。這時(shí)只要應(yīng)用層流下邊界層積分方程的解，即

2/6/2023183二、不可壓湍流平板繞流的摩擦阻力把代入普通的馮·卡門(mén)方程可得：

總阻力為：

這時(shí)平板摩擦阻力系數(shù)可由下式給出：2/6/2023184例設(shè)空氣從寬為40cm的平板表面流過(guò)，空氣的流動(dòng)速度ν。＝2.6m／s；空氣在當(dāng)時(shí)溫度下的運(yùn)動(dòng)粘度υ＝1.47×10-5m2／s。試求流入深度x＝30cm處的邊界層厚度，距板面高y＝4.0mm處的空氣流速及板面上的總阻力?2/6/2023185第五章相似原理與量綱分析

5.1相似的基本概念5.2流體流動(dòng)過(guò)程中相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出5.3相似三定律5.4量綱分析5.5模型研究法2/6/2023186學(xué)習(xí)本章的必要性2/6/20231875.1相似的基本概念幾何相似：各長(zhǎng)度之比保持一常數(shù)——相似常數(shù)（無(wú)量綱）物理相似：空間對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與時(shí)間對(duì)應(yīng)的瞬間，表征該現(xiàn)象特征的所有物理量必須保持比例關(guān)系。1．運(yùn)動(dòng)相似：，

2．動(dòng)力相似：2/6/2023188相似準(zhǔn)數(shù)：在相似系統(tǒng)對(duì)應(yīng)點(diǎn)上，由不同物理量組成的量綱為1的綜合數(shù)群的數(shù)值必須相等，這個(gè)量綱為1的量往往為無(wú)量綱量，綜合數(shù)群叫做相似準(zhǔn)數(shù)。2/6/20231895.2流體流動(dòng)過(guò)程中相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出從N—S方程出發(fā)：

1．相似準(zhǔn)數(shù)導(dǎo)出實(shí)際系統(tǒng)：

=

模型替實(shí)際系統(tǒng)的2/6/2023190相似變換：

（注意此處非恒壓熱容）則，模型系統(tǒng)：

2/6/2023191相似時(shí)各項(xiàng)組合數(shù)群相等：

①②③④⑤由②=①得：均時(shí)性數(shù)由②=③得：弗魯?shù)聰?shù)由②=④得：歐拉數(shù)2/6/2023192由②=⑤得：雷諾數(shù)2．相似準(zhǔn)數(shù)意義與性質(zhì)：均時(shí)性數(shù)：如兩個(gè)不穩(wěn)態(tài)流動(dòng)相等，它們的速度場(chǎng)隨時(shí)間改變的快慢是相似的。

：重力/慣性力

：壓力/慣性力

：慣性力/粘性力

2/6/20231935.3相似三定律1，相似第一定律

同名相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值相同兩物理現(xiàn)象相似，其實(shí)質(zhì)就是從描述一個(gè)現(xiàn)象的定解問(wèn)題出發(fā)作相似變換后能夠給出描述另一現(xiàn)象的定解問(wèn)題。定解問(wèn)題的對(duì)應(yīng)相似：1）同類現(xiàn)象，服從自然界中同一基本規(guī)律，2）發(fā)生在幾何相似的空間，具有相似的初邊值條件，3）描述現(xiàn)象的物性參量應(yīng)具有相似的變化規(guī)律。2/6/20231942，相似第二定律定解條件相似的同一種類現(xiàn)象，同時(shí)由定解條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)數(shù)在數(shù)值上相等。（充分必要條件）。3，相似第三定律描述某現(xiàn)象的各種量之間的關(guān)系式可以表示成相似準(zhǔn)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式F（Л1，Л2…Лn）=0，這種關(guān)系式稱為準(zhǔn)數(shù)方程。相似第三定律指出任何定解問(wèn)題的積分結(jié)果都可以表示成由這一定解問(wèn)題所導(dǎo)出的相似準(zhǔn)數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系——準(zhǔn)數(shù)方程2/6/20231955.4

量綱分析

量綱代號(hào)單位單位代號(hào)長(zhǎng)度L米m質(zhì)量M千克kg時(shí)間T秒s電流I安培A熱力學(xué)溫度Θ開(kāi)爾文K物質(zhì)量N摩爾mol1．量綱與單位：量綱：物理量性質(zhì)。單位：物理量性質(zhì)與數(shù)值大小。

2/6/2023196

2．量綱和諧原理：在實(shí)際有意義的方程中，任意兩項(xiàng)量綱相同，這一原理稱為量綱和諧原理。由量綱分析法導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)，

試用量綱分析法確定不可壓縮粘性流體繞球體流動(dòng)時(shí)的阻力公式。已知，阻力與流速、球的直徑、流體的密度、粘度有關(guān)。解：寫(xiě)出準(zhǔn)數(shù)方程：

選取為三個(gè)基本量綱的代表，前面已證明，這三個(gè)物理量在量綱上是獨(dú)立的。這樣有：

3.π定理

f(x1,x2,x3,……xp)=0

r個(gè)基本量綱

2/6/2023197

對(duì)對(duì)

對(duì)

將上式聯(lián)立求解得,

于是有：同理可求出：

因此得出準(zhǔn)數(shù)方程：2/6/2023198或：

令，則上式改寫(xiě)為：

這里的阻力系數(shù)ξ是雷諾數(shù)的函數(shù)。3,相似準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換1)相似準(zhǔn)數(shù)的n次方仍為相似準(zhǔn)數(shù)；2）相似準(zhǔn)數(shù)的乘積仍為相似準(zhǔn)數(shù)；3）相似準(zhǔn)數(shù)乘以無(wú)量綱量仍為相似準(zhǔn)數(shù)；4）相似準(zhǔn)數(shù)的和與差仍為相似準(zhǔn)數(shù)；5）相似準(zhǔn)數(shù)中任何一個(gè)物理量用其差值代替仍為相似準(zhǔn)數(shù)

2/6/20231995.5模型研究法一、模型相似條件

1）幾何相似：一定比例縮小

2）物理相似：服從同一自然規(guī)律

3）定解條件相似：邊界處相似二、近似模型法1，內(nèi)容：分析因素，保證主要因素2，意義：相似研究能進(jìn)行，減小誤差2/6/2023200三、模型設(shè)計(jì)模型試驗(yàn)研究的幾個(gè)步驟：1）分析物理過(guò)程，找出主要相似準(zhǔn)數(shù)2）根據(jù)相似條件設(shè)計(jì)模型試驗(yàn)：如模型尺寸、試驗(yàn)介質(zhì)3）進(jìn)行試驗(yàn)研究，測(cè)量相似準(zhǔn)數(shù)設(shè)計(jì)的物理量4）分析處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，用相似準(zhǔn)數(shù)和無(wú)量綱數(shù)表示試驗(yàn)結(jié)果5）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果換算、推廣、應(yīng)用到實(shí)際過(guò)程。2/6/2023201第六章熱量傳輸?shù)幕靖拍钛芯繉?duì)象：熱量的傳遞規(guī)律，傳輸方式、特定條件下熱量傳播和分布的有關(guān)規(guī)律

熱量傳輸?shù)膬?nèi)在動(dòng)力：溫度差/溫度梯度研究目的：提高生產(chǎn)率

提高熱效率、減少熱損失、節(jié)能熱量傳遞有三種基本方式：導(dǎo)熱、對(duì)流和輻射。

2/6/2023202第一節(jié)熱量傳遞方式與傅里葉導(dǎo)熱定律

一、導(dǎo)熱

氣體、液體、導(dǎo)電固體和非導(dǎo)電固體的導(dǎo)熱機(jī)理（微觀）

1）氣體中的導(dǎo)熱：氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)相互碰撞

2）導(dǎo)電固體：相當(dāng)多的自由電子，自由電子的運(yùn)動(dòng)

3）非導(dǎo)電固體中：晶格結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，即原子、分子在其平衡位置附近的振動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。晶格結(jié)構(gòu)振動(dòng)的傳遞常稱為格波(又稱聲子)。

4）液體中的導(dǎo)熱：存在著兩種不同的觀點(diǎn)；一種觀點(diǎn)認(rèn)為液體定性上類似于氣體；另一種觀點(diǎn)認(rèn)為液體的導(dǎo)熱機(jī)理類似于非導(dǎo)電固體．主要靠格波的作用。

2/6/2023203發(fā)生的條件：有溫差，無(wú)物質(zhì)宏觀運(yùn)動(dòng)二、對(duì)流

定義：是指流體各部分之間發(fā)生相對(duì)位移，冷熱流體相互摻混所引起的熱量傳遞方式。

對(duì)流換熱的分類：自然對(duì)流、強(qiáng)制對(duì)流條件：溫差、物質(zhì)的宏觀運(yùn)動(dòng)2/6/2023204三、熱輻射

1.輻射的本質(zhì)：物體通過(guò)電磁波傳遞能量的方式，因熱的原因發(fā)出輻射能的現(xiàn)象稱為熱輻射

2.熱輻射與導(dǎo)熱及對(duì)流相比較有以下特點(diǎn)：

2/6/2023205四、傅里葉導(dǎo)熱定律

通過(guò)一維平板的導(dǎo)熱傅立葉導(dǎo)熱定律：2/6/2023206第二節(jié)溫度場(chǎng)、等溫面和溫度梯度

一、溫度場(chǎng)

物體的溫度分布是空間和時(shí)間的函數(shù)穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)(或定常溫度場(chǎng))的表達(dá)式簡(jiǎn)化為：

2/6/2023207二、等溫面

物體中同一瞬間相同溫度各點(diǎn)連成的面稱為等溫面。在任何一個(gè)二維截面上等溫面表現(xiàn)為等溫線。溫度場(chǎng)習(xí)慣上用等溫面圖或等溫線圖來(lái)表示。鑄件溫度場(chǎng)(T型鑄件澆注后10.7min時(shí)實(shí)測(cè))2/6/2023208三、溫度梯度溫度梯度：把溫度場(chǎng)中任意一點(diǎn)沿等溫面法線方向的溫度增加率稱為該點(diǎn)的溫度梯度。

溫度梯度在空間三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量等于相應(yīng)的偏導(dǎo)值，即有：

用矢量形式表示的傅里葉定律表達(dá)式為：

2/6/2023209第三節(jié)熱導(dǎo)率與熱擴(kuò)散率

一、熱導(dǎo)率

物理意義：表征物體導(dǎo)熱能力的重要物性參數(shù)，在溫度梯度為1時(shí)，單位時(shí)間通過(guò)單位面積的導(dǎo)熱量。影響因素：物質(zhì)的種類氣體＜液體＜固體＜金屬

溫度

2/6/2023210二、熱擴(kuò)散率物理意義：概括了物體在導(dǎo)熱時(shí)的導(dǎo)熱能力和物體自身的熱焓變化，與熱導(dǎo)率成正比，與物體的密度和比熱容成反比。物體內(nèi)熱量傳輸?shù)哪芰Α?/p>

※熱擴(kuò)散率大，表明物體導(dǎo)熱時(shí)的導(dǎo)熱量大，吸收的熱量少，傳輸熱量的能力強(qiáng)，熱量傳輸快；熱擴(kuò)散率小，傳輸熱量的能力小，熱量傳輸慢。2/6/2023211第七章導(dǎo)熱第一節(jié)導(dǎo)熱微分方程一、導(dǎo)熱微分方程式

微元六面體導(dǎo)熱分析示意圖導(dǎo)熱微分方程的基礎(chǔ)：傅立葉導(dǎo)熱定律

能量守恒定律假設(shè)：1）物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)2）λ，ρ，c為已知常量3）具有內(nèi)熱源2/6/2023212按照能量守恒定律，微元體的熱平衡式：

(導(dǎo)入微元體的總熱流量)+(微元體中內(nèi)熱源生成的熱量)＝(微元體內(nèi)能的增量)+(導(dǎo)出微元體的總熱流量)………..(a)根據(jù)傅里葉定律，通過(guò)x＝x、y＝y(tǒng)、z＝z三個(gè)表面導(dǎo)入微元體的熱量可直接寫(xiě)出如下：

……（b）2/6/2023213通過(guò)x＝x+dx、y＝y(tǒng)+dy、z＝z+dz三個(gè)表面導(dǎo)出微元體的熱流量亦可寫(xiě)為：

………………..（c）

………….（d）設(shè)單位體積內(nèi)熱源的熱能為Q，則

…………..（e）2/6/2023214將式b、c、d、e各式代人式（a)，可獲得導(dǎo)熱微分方程式的一般形式，即

………………..（1）在穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源條件下，導(dǎo)熱微分方程式就簡(jiǎn)化成為：

……………（2）圓柱坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程為：

2/6/2023215球坐標(biāo)下的導(dǎo)熱微分方程為：無(wú)內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式采用圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)時(shí)表達(dá)形式分別是：

…………….(柱坐標(biāo)）

…..（球坐標(biāo)）直角坐標(biāo)系中，非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的