江蘇省淮安市、連云港市2024學年高三上學期第一次調研考試《數(shù)學》試題（解析版）

第第頁2023~2024學年度第一學期高三年級期末調研測試數(shù)學試卷2024.1總分：150分時間：120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的虛部為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得,然后分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)可得復數(shù),從而可得的虛部.【詳解】因為,所以,所以復數(shù)的虛部為.故選A.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算和復數(shù)的概念,屬于基礎題.復數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù),轉化為乘法運算.2.已知集合，，則（）A. B. C.7 D.0【答案】B【解析】【分析】由集合中的元素特征結合交集的定義判斷可得.【詳解】因為，，所以或，，所以.故選：B.3.隨機變量，若，，則（）A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.85【答案】C【解析】【分析】解：根據(jù)隨機變量，得到，再由求得m即可.【詳解】解：因為隨機變量，所以，，解得，所以，故選：C4.圖1是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構成．可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖2是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐（如圖3），且平面與平面的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接相交于點，取的中點，可得即為平面與平面的夾角，設，在中由余弦定理可得答案.【詳解】連接相交于點，連接，平面，取中點，連接，因為，所以，所以即為平面與平面的夾角，即，設，則，所以，，在，由余弦定理得.故選：C.5.某學校廣播站有6個節(jié)目準備分2天播出，每天播出3個，其中學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A.108種 B.90種 C.72種 D.36種【答案】A【解析】【分析】先確定第一天和第二天播放的節(jié)目，然后再確定節(jié)目的播放順序，利用分步乘法計數(shù)原理可得結果.【詳解】第一步，從無限制條件的3個節(jié)目中選取1個，同學習經(jīng)驗介紹和新聞報道兩個節(jié)目在第一天播出，共有種；第二步，某談話節(jié)目和其他剩余的2個節(jié)目在第二天播出，有種播出方案，綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的播出方案.故選：A6.已知雙曲線：（，）的左頂點為M，左、右焦點分別為，，過作軸的垂線交于，兩點，若為銳角，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)為銳角，由求解.【詳解】令，得，解得，則，因為為銳角，所以，因為，，即，即，即，結合，解得，故選：B7.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，，若，，且為邊上的高，為邊上的中線，則的值為（）A.2 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】據(jù)題意，，，，根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求.【詳解】因為為邊上的中線，所以，又BE為邊AC上的高，所以，且在中，，所以.故選：D.8.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為，，，故考慮構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合單調性比較的大小，再結合對數(shù)函數(shù)的單調性比較的大小可得結論.【詳解】因為，，構造函數(shù)，因為，所以當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，又，所以，故，即，因為，，因為，，所以，，所以，即，所以，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于通過將化為結構相似的形式，通過構造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性比較函數(shù)值的大小.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知正四面體骰子的四個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，正六面體骰子的六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，拋擲一枚正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X，拋擲一枚正六面體骰子，記向上的數(shù)字為Y，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】通過古典概型概率計算公式即可判斷A、B選項；通過X和Y的分布列，可以計算對應的期望和方差的大小關系.【詳解】對選項A：正四面體骰子，記向下的數(shù)字為X，當時，對應的概率為，錯誤；對選項B：正六面體骰子，記向上的數(shù)字為Y，其中時，即，則，正確；對選項C、D：X的分布列為：X1234P則，且；Y的分布列為：Y123456P則，且，所以，C錯誤；，D正確；故選：BD10.已知函數(shù)（，），且，，則（）A. B.的最小正周期為C.在上單調遞減 D.為奇函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，，求得，再逐項判斷.【詳解】解：因為函數(shù)（，），且，所以，又，所以，故A錯誤；，則，則，又，則，所以，故B正確；，因為，所以，故C正確；，為偶函數(shù)，故D錯誤，故選：BC11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的有（）A.若，則為等差數(shù)列B.若，則為遞增數(shù)列C.若，則當且僅當時取得最小值D.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充要條件【答案】ACD【解析】【分析】先求出，當時，，再逐項判斷選項.【詳解】由，當時，，當時，，若，則，符合，故為等差數(shù)列，A正確；若，則，，所以不是遞增數(shù)列，B錯誤；若，則，當時，，為公差為2的等差數(shù)列，且，所以當且僅當時取得最小值，C正確；當時，，故數(shù)列為遞增數(shù)列等價于，即，可得，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線C：的焦點為F，的半徑為1，過F的直線l與拋物線C和交于四個點，自下而上分別是A，C，D，B，O為坐標原點，則（）A.B.C.面積的最小值是8D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由題意可得，化簡后進行判斷，對于B，根據(jù)拋物線的定義分析判斷，對于C，設直線為，，將直線方程代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關系，代入計算判斷，對于D，根據(jù)拋物線的定義結合基本不等式分析判斷.【詳解】由題意得拋物線C：的焦點為，，對于A，，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以B正確，對于C，設直線為，，由，得，因為，所以，所以的面積為，當且僅當，即直線軸時取等號，所以面積的最小值是8，所以C正確，對于D，由選項C可知，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是，所以D正確，故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：此題考查直線與圓，直線與拋物線的關系，解題的關鍵是利用拋物線的定義將距離進行轉化，考查計算能力和數(shù)學轉化思想，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是______．【答案】【解析】【分析】設圓的一般方程為，分別將三個點坐標代入圓的方程，解方程組求出，即可得結論.【詳解】設所求圓的一般方程為，因為點，，在圓上，所以，解得，則所求圓的一般方程為：，.故答案為：.14.若角的終邊經(jīng)過點，則______．【答案】##-0.96【解析】【分析】利用任意角三角函數(shù)定義求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的余弦公式求出，最后利用二倍角公式得出答案即可.【詳解】由任意角三角函數(shù)定義得，，故，由二倍角公式得.故答案為：15.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，，則______．【答案】1【解析】【分析】由已知可得，，從而得，可解.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，為偶函數(shù)，所以得圖象關于對稱，且關于對稱，即，，則，所以，即函數(shù)的周期為4，則.故答案為：1.16.某興趣小組準備將一棱長為a的正方體木塊打磨成圓錐，則圓錐的最大體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圓錐取得最大體積時的圖形，結合圖形分別求得圓錐底面圓的半徑與高，利用圓錐的體積公式即可得解.【詳解】如圖，在正方體中取各邊棱長中點得正六邊形，則正六邊形的邊長為，其最大內切圓的半徑為，正方體的體對角線的一半為圓錐的高，所以圓錐的最大體積為.【點睛】關鍵點點睛：本題解決關鍵是找到圓錐取得最大體積時的圖形，從而得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前n項和為，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求和：．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設出等比數(shù)列的公比，根據(jù)給定條件列出方程求解即得.（2）由（1）的結論，利用錯位相減法求和即得.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，，得，解得或，當時，；當時，，由于為遞增數(shù)列，因此，，所以數(shù)列的通項公式．【小問2詳解】令，由（1）知，，則，于是，兩式相減得：，所以．18.如圖，在直四棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）法一：連接，交于點，利用相似證得，從而平面可證；法二：以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標運算得，得證；（2）空間向量法求二面角.【小問1詳解】法一：連接，交于點，在梯形中，，，所以，又，所以，則，因為，所以，則，即．直四棱柱中，平面，因為平面，所以．因、平面，，所以平面．因為平面，所以．法二：以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，．因為，，所以，所以，即．【小問2詳解】設平面與平面的一個法向量分別為與，因為，，，由得，則，令得，所以．由得，令，則，，所以．所以，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，，求；（2）點D在邊上，，若，，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，再利用正弦定理求出；（2）在，中分別利用余弦定理列式可得，再由條件切化弦，根據(jù)正、余弦定理化簡得，運算求得.【小問1詳解】在中，，，由余弦定理得，即，所以．，由正弦定理，得，所以．【小問2詳解】因為，，所以，．在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，所以，即①因為，所以．又，由正弦定理得，，即，則②聯(lián)立①②可得，所以．20.某數(shù)學興趣小組準備了若干個除顏色外都相同的紅球和白球，先在罐子中放入2個紅球和1個白球，活動參與者每次從罐子中隨機抽取1個球，觀察其顏色后放回罐中，并再取1個相同顏色的球放入罐中，如此反復操作．（1）求活動參與者第2次操作時取到白球的概率；（2）記3次操作后罐子中紅球的個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布與數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，4【解析】【分析】（1）由條件概率、全概率公式即可求解.（2）首先，3，4，5，依次求得相應的概率即可得分布列，進一步即可求解數(shù)學期望.【小問1詳解】記活動參與者“第1次操作時取到白球”為事件，“第2次操作時取到白球”為事件，則，，，．所以，所以活動參與者第2次操作時取到白球的概率為．【小問2詳解】，3，4，5，，，，，則隨機變量的概率分布為2345所以，隨機變量的數(shù)學期望．21.已知橢圓：的離心率為，且過點，點與點關于原點對稱，過點作直線l與E交于，兩點（異于點），設直線與的斜率分別為，．（1）若直線l的斜率為，求的面積；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結合弦長公式求出，再求點到邊的距離，由此可求面積；（2）方法一：先在條件直線的斜率不存在時，求出，再求，再利用設而不求法求出當直線的斜率存在時的值即可；方法二：設的方程為，設直線的斜率為，聯(lián)立方程組，利用設而不求法確定的關系，由此可得結論；方法三：設直線：，即，設直線的斜率為，聯(lián)立方程組結合設而不求法法確定的關系，由此可得結論.【小問1詳解】因為，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，，所以橢圓的方程為．直線：，即，代入得，設，，則，，所以，又點到直線：的距離，所以的面積．【小問2詳解】當直線斜率不存在，即：時，，不妨取，，因為，，則，，所以．當直線斜率存在時，設：，代入：得：，由已知方程的判別式，設，，則，，則．綜上可知，．法二：設：，代入：得，由已知方程的判別式，設，，則，，設直線的斜率為，則，又，即，所以，則，所以．法三：設直線：，即，所以．橢圓：，即，所以，即，則，整理得，設直線的斜率為，則又，即，所以，則，所以．【點睛】關鍵點點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22.已知函數(shù)．（1）當時，求最小值；（2）若在處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）1（2）．【解析】【分析】（1）時，，求出的單調區(qū)間，即可求解；（2）分討論，即可求解.【小問1詳解】當時，，設，由得，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則，所以．因為在上單調遞增，且，則0－0＋遞減極小值遞增所以，的最小值為．【小問2詳解】記，，則．①當時，，則在上單調遞減，又因為，所以當時，，所以，令