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文檔簡介
2022-2023學年高三上學期12月階段考試數(shù)學(文)試題一、選擇題;本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則子集的個數(shù)為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.已知復數(shù)z滿足,則等于()A.-1 B.0 C.1 D.23.通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表:0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表,得到的正確結論是()A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”4.已知雙曲線C:的一條漸近線與直線l:垂直,則雙曲線C的離心率為()A.2 B.3 C.4 D.55.已知,則最小值為()A.1 B.2 C.3 D.46.等于()A. B. C.-1 D.17.如圖,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,則球與圓柱的體積之比為()A. B. C. D.8.把棱長為4cm的正方體表面涂上紅色,再將它分割成棱長為1cm的小正方體,在這些小正方體中隨機任取一個,則六個面都沒有紅顏色的小正方體的概率為()A. B. C. D.9.已知向量,滿足,與的夾角為,且實數(shù)x、y滿足,則的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.410.已知,用表示,中的最大者,記為:.當,,時,函數(shù)的最小值為()A.0 B.1 C.2 D.411.已知實數(shù)和滿足,.則下列關系式中正確的是()A. B.C. D.12.已知點A為曲線上的動點,點B在圓上,則點A和B的距離最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若將正整數(shù)集中的偶數(shù)從小到大排列,它的前n項和為,則的前2023項的和為_____________.14.若變量滿足則的最大值是____________.15.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:T)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近10年的年宣傳費和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到y(tǒng)關于x的回歸方程.且這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為;則年宣傳費x為_____________時年利潤的預報值最大.16.已知拋物線C:的焦點為F,點N是拋物線C的對稱軸與它的準線的交點,點M是拋物線上的任意一點,則的最大值為_____________.三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.已知等比數(shù)列的前n項和為,且對,恒成立,,.(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和;(2)設,求證:.18.已知.(1)求最小正周期和最大值;(2)在△ABC中,三個內(nèi)角滿足,角A滿足,,ABC的面積為,求證:ABC是直角三角形.19.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,為底面的邊的中點,且平面.(1)設為上底面的重心,試在平面內(nèi)作出過點與平面平行的直線,并說明理由;(2)證明:(1)中的直線平面.20.若的圖象過點,且在點P處的切線方程為.(1)求a、b、c的值;(2)設,求證:.21.已知點E、F坐標分別為、,直線EP和FP相交于點P,且它們的斜率之積為.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過定點任作一條與兩坐標軸都不垂直的直線與軌跡C相交于A、B兩點,求證;在x軸上存在一個定點M,使得MG為的一條內(nèi)角平分線,并求點M的坐標.(3)設過點M與x軸垂直的直線為l,軌跡C上任一點N到點G的距離與點N到直線l的距離之比是否是定值?若為定值,求出這個定值;若不是定值,說明理由.(二)選考題:共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.22.已知曲線C:和直線l:(t參數(shù)).(1)求曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程;(2)過曲線C上任意一點P作與直線l夾角為30°的直線,交l于點A,求的最大值與最小值.23.(1)已知,若時不等式成立,求a的取值范圍;(2)已知,,且,求證:.2022-2023學年高三上學期12月階段考試數(shù)學(文)試題一、選擇題;本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則子集的個數(shù)為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】首先判斷直線為曲線的切線,再結合集合含義,得出只有一個元素,從而求解.【詳解】由題知,,在點處的切線斜率為,則在處的切線方程為.因直線與曲線相切于點,有且只有這一個公共點,故中有且只有一個元素,所以的子集個數(shù)為2個.故選:B.2.已知復數(shù)z滿足,則等于()A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算可求得,再結合的周期性運算求解.【詳解】由題意可得:,可得:,則故.故選:B.3.通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表:0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表,得到的正確結論是()A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”【答案】A【解析】【詳解】由,而,故由獨立性檢驗的意義可知選A4.已知雙曲線C:的一條漸近線與直線l:垂直,則雙曲線C的離心率為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先由兩直線垂直得到漸近線斜率,則根據(jù),即得離心率的值.【詳解】與直線l:垂直的雙曲線C:的漸近線方程為,故,則雙曲線的離心率.故選:.5.已知,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運算可求得,再用基本不等式即可求得最小值.【詳解】由已知得,.因為,所以.故.當且僅當,即時等號成立.所以,的最小值為3.故選:C.6.等于()A. B. C.-1 D.1【答案】B【解析】【分析】先由對數(shù)加法運算律得到真數(shù)位置相乘,應用二倍角公式,由特殊角三角函數(shù)值結合對數(shù)運算得到結果.【詳解】.故選:.7.如圖,圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑,則球與圓柱的體積之比為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設球的半徑為R,根據(jù)球與圓柱的體積公式計算即可【詳解】設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高.則球的體積,圓柱的體積,∴.故選:B.8.把棱長為4cm正方體表面涂上紅色,再將它分割成棱長為1cm的小正方體,在這些小正方體中隨機任取一個,則六個面都沒有紅顏色的小正方體的概率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)總的小立方體的個數(shù)64,及沒有涂色的小正方體的個數(shù),再根據(jù)古典概型得出概率.【詳解】由已知,共得到64個小立方體,其中六個面均沒有涂紅色的小立方體共8個,所求的概率為.故選:9.已知向量,滿足,與的夾角為,且實數(shù)x、y滿足,則的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結合數(shù)量積定義和數(shù)量積的運算律整理可得,再利用不等式運算求解.【詳解】由題意可得:,∵,則,即,∴,又∵,當且僅當時等號成立,即,整理得:,則,∴當時,的最大值為2.故選:B.10.已知,用表示,中的最大者,記為:.當,,時,函數(shù)的最小值為()A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法結合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求,再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性判斷的單調(diào)性,進而確定最值.【詳解】若,則;若,則或.∵在R上單調(diào)遞增,則有:當時,則,即;當或時,則,即;綜上所述:對于,則有:當時,則在R上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,且,則;當時,則在R上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞增,則;當時,則在R上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞增,且,則;綜上所述:當時,有最小值.故選:B.11.已知實數(shù)和滿足,.則下列關系式中正確的是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知條件指對數(shù)轉(zhuǎn)化得到的值,再根據(jù)基本不等式得到BCD錯誤,A正確.【詳解】由已知,,故且,,對于A,,故A成立.對于B,,故B錯誤.對于C,,故C錯誤.對于D,,故D錯誤故選:A.12.已知點A為曲線上的動點,點B在圓上,則點A和B的距離最小值為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可求恒成立,圓上點的縱坐標最大為2,則可知圖象上的點與圓上點的距離.又圖象上存在到圓上點的距離.所以,點A和B的距離最小值為2.【詳解】由知,,而,當且僅當,且時,即時取等號.故時,函數(shù)的最小值為4.所以圖象上的最低點為.圓的方程可化為,圓心為,半徑為1,圓的最高點為.所以,上點的縱坐標最小為4,圓上點的縱坐標最大為2,所以,圖象上的點與圓上點的距離.又如圖取,,此時.所以,點A和B的距離最小值為2.故選:B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若將正整數(shù)集中的偶數(shù)從小到大排列,它的前n項和為,則的前2023項的和為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得,再利用裂項相消法求和.【詳解】由題意可得:,則,故.故答案為:.14.若變量滿足則的最大值是____________.【答案】10【解析】【詳解】由約束條件作出可行域如圖,∵,,∴,聯(lián)立x+y=22x-3y=9,解得,∵,∴的最大值是10,故答案為10.點睛:本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題;由約束條件作出可行域,然后結合的幾何意義,即可行域內(nèi)的動點與原點距離的平方求得的最大值.15.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:T)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近10年的年宣傳費和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到y(tǒng)關于x的回歸方程.且這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關系為;則年宣傳費x為_____________時年利潤的預報值最大.【答案】46.24(千元)【解析】【分析】利用回歸直線方程以及z與x、y的關系即可求解.【詳解】由已知,且,故,當,即時,z有最大值66.36.故答案為:46.24(千元)16.已知拋物線C:的焦點為F,點N是拋物線C的對稱軸與它的準線的交點,點M是拋物線上的任意一點,則的最大值為_____________.【答案】【解析】【分析】首先利用拋物線定義,將轉(zhuǎn)化為,然后通過三角函數(shù)分析,去求拋物線的切線方程,從而求解最小值.【詳解】如圖所示,過作準線的垂線,垂足記為.由已知得,,根據(jù)拋物線的定義知,點M到焦點F的距離等于點M到準線的距離.故.在直角△MNH中,表示的倒數(shù),故求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最小值,此時,也最小值.而的最小值就是曲線在點M處切線過N點時的斜率.由得,故曲線在點處的方程為:.而點在此切線上,故有,則,取,此時切線斜率為:.故切線的傾斜角為45°,即.∴,故所求的最大值為.故答案為:三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答,第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:共60分.17.已知等比數(shù)列的前n項和為,且對,恒成立,,.(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和;(2)設,求證:.【答案】(1),,();(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意解出、,再利用等比數(shù)列通項公式以及求和公式即可.(2)首先求出,再利用裂項相消求和,結合的范圍即可證明.【小問1詳解】設等比數(shù)列的首項為,公比為q,由,,則,故.由得,解得∴,.()【小問2詳解】由(1)可知,,故∵,,則∴.故命題得證.18.已知.(1)求的最小正周期和最大值;(2)在△ABC中,三個內(nèi)角滿足,角A滿足,,ABC的面積為,求證:ABC是直角三角形.【答案】(1)最小正周期為,最大值為3;(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)由二倍角公式和輔助角公式把函數(shù)化簡為,應用周期公式和值域性質(zhì)即可得解.(2)先有結合(1)得到角,再由面積公式計算得到,再應用余弦定理得到,由勾股定理得證.【小問1詳解】由已知得故的最小正周期為,最大值為3.【小問2詳解】在ABC中由知:A為銳角,即,且,由知.由知.故,即.,由ABC的面積為,則,故.由余弦定理,得,故,則.∵,,∴,∴∵∴,故ABC是以B為直角的直角三角形.19.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,為底面的邊的中點,且平面.(1)設為上底面的重心,試在平面內(nèi)作出過點與平面平行的直線,并說明理由;(2)證明:(1)中的直線平面.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理分析證明;(2)根據(jù)線面垂直的判定定理分析證明.【小問1詳解】證明:在平面內(nèi),過作與平行的直線,交、于、兩點,則平面,理由如下:在三棱柱中,,,則,因為平面,平面,平面.【小問2詳解】證明:在底面正三角形中,為的中點,則.∵平面,平面,則.因為,平面,∴平面.又∵,∴平面.20.若的圖象過點,且在點P處的切線方程為.(1)求a、b、c的值;(2)設,求證:.【答案】(1),,(2)證明見解析【解析】【分析】(1)求導,根據(jù)題意結合導數(shù)的幾何意義列式運算求解;(2)構建新函數(shù),,利用導數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性及最值證明.【小問1詳解】,則,由題意可得:,解得.【小問2詳解】由(1)可知:,,設,則,∵,令,則,當時,,因此在內(nèi)為減函數(shù),當時,,因此在內(nèi)為增函數(shù),故當時,有極小值,也就是的最小值為.∵,可得,∴.設,則,當時,則,,因此在上為減函數(shù),∵,則,即,∴.綜上所述:當時,有.【點睛】利用導數(shù)證明不等式的基本步驟:(1)作差或變形;(2)構造新的函數(shù)h(x);(3)利用導數(shù)研究h(x)單調(diào)性或最值;(4)根據(jù)單調(diào)性及最值,得到所證不等式.特別地:當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時,一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題.21.已知點E、F的坐標分別為、,直線EP和FP相交于點P,且它們的斜率之積為.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過定點任作一條與兩坐標軸都不垂直的直線與軌跡C相交于A、B兩點,求證;在x軸上存在一個定點M,使得MG為的一條內(nèi)角平分線,并求點M的坐標.(3)設過點M與x軸垂直的直線為l,軌跡C上任一點N到點G的距離與點N到直線l的距離之比是否是定值?若為定值,求出這個定值;若不是定值,說明理由.【答案】(1);(2)證明見解析;;(3)是定值.【解析】【分析】(1)由斜率公式列式求解,(2)由題意得,設出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立后由韋達定理化簡后求解,(3)設點坐標,由距離公式與橢圓方程化簡求解,【小問1詳解】設點,由已知得:,∴,即①故P的軌跡方程為【小問2詳解】設過點的直線方程為②把②代入①,整理得:,設,,則、是方程的兩實根,由韋達定理得,,設,由
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