2022-2023學(xué)年上海市上海中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市上海中學(xué)高一上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)（）的反函數(shù)為______.【答案】【分析】按定義直接求即可.【詳解】∵，則，故，故反函數(shù)為故答案為：.2．函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【分析】利用常數(shù)分離的方法得到，然后利用變量的取值范圍進(jìn)行求解即可．【詳解】由，又，則，則，所以，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?．方程的解是________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，解得：.故答案為：.4．若函數(shù)則________.【答案】【分析】由函數(shù)的定義得出在時(shí)，函數(shù)具有的周期性，利用周期性求函數(shù)值．【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)=f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)=－f(x－2)，∴時(shí)，f(x)的周期為6，∴f(2023)=f(337×6＋1)=f(1)=f(0)－f(－1)=20－21=－1.故答案為：．5．函數(shù)的遞增區(qū)間是_________【答案】【分析】先求出定義域，在定義域內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】由題意，則或，易知在是遞減，在上遞增，而是增函數(shù)．∴函數(shù)的遞增區(qū)間是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．冪函數(shù)的圖像與兩條坐標(biāo)軸均沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值集合是______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程與不等式求解即可得實(shí)數(shù)的取值集合.【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù)，所以，解得或，冪函數(shù)的圖像與兩條坐標(biāo)軸均沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，即，所以或均符合題意，則實(shí)數(shù)的取值集合是.故答案為：.7．不等式的解為______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可解不等式.【詳解】解：冪函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，又，則為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.8．已知函數(shù)，，若存在常數(shù)，對(duì)任意，存在唯一的，使得，則稱常數(shù)是函數(shù)在上的“倍幾何平均數(shù)”.已知函數(shù)，，則在上的“倍幾何平均數(shù)”是______.【答案】【分析】由“倍幾何平均數(shù)”的定義可知即為函數(shù)，最大值與最小值的幾何平均數(shù)，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得在上的“倍幾何平均數(shù)”.【詳解】解：由已知中倍幾何平均數(shù)的定義可得即為函數(shù)，最大值與最小值的幾何平均數(shù)又函數(shù)，在為減函數(shù)故其最大值，最小值故.故答案為：.9．定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，若為奇函數(shù)，則的解為______.【答案】##0.9375【分析】由奇函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的自變量和函數(shù)值相反，即可得到所求值．【詳解】解：若為奇函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，，即有，由為奇函數(shù)，可得，則，，由定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，且，可由，可得的解為．故答案為：．10．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】首項(xiàng)確定函數(shù)的定義域?yàn)?，然后可得，觀察可得，故不等式可轉(zhuǎn)換為；再利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)定義證明可判斷在上的單調(diào)性，故不等式解，即，解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?，定義域滿足，解得，所以，故，所以，則不等式，轉(zhuǎn)化為，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且設(shè)，所以又，因?yàn)?，所以，所以，由于函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，故，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．若函數(shù)有零點(diǎn)，則其所有零點(diǎn)的集合為______.（用列舉法表示）.【答案】【分析】注意到.令，結(jié)合時(shí)，偶函數(shù)均在上單調(diào)遞增可得答案.【詳解】注意到，令，得或.令，注意到均為偶函數(shù)，.又時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點(diǎn)，得，.則所有零點(diǎn)的集合為.故答案為：.12．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】先由題給條件求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對(duì)稱軸對(duì)稱中心，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)滿足，則，則，又由可得，，則函數(shù)的最小正周期為4，由，可得函數(shù)有對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又函數(shù)有對(duì)稱軸，則函數(shù)在單調(diào)遞減，又在內(nèi)，由，即，可得，又函數(shù)有對(duì)稱軸，則時(shí)，，則在內(nèi)，由，可得，令，，由任意，都有，又，則的值域是的子集，①當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，則，則，不等式組無(wú)解，不符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取最小值，在時(shí)取最大值，則則，則，解之得；③當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取最小值，在時(shí)取最大值，則則，則，解之得；④當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，則，則，解之得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項(xiàng)重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問(wèn)題的時(shí)候，將問(wèn)題劃分成不同的模塊，通過(guò)分塊來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析處理能力和解決能力.二、單選題13．下列進(jìn)口車的車標(biāo)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖像的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)自變量與因變量一對(duì)一或多對(duì)一的特征判斷.【詳解】函數(shù)圖像滿足：自變量在它的允許范圍內(nèi)取定一個(gè)值時(shí)，在圖像上都有唯一確定的點(diǎn)與它對(duì)應(yīng).選項(xiàng)D的進(jìn)口車的車標(biāo)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖像，其它三個(gè)選項(xiàng)都不滿足條件.故選：D14．設(shè)方程的兩根為，（），則（

）.A．， B．，C． D．【答案】C【分析】對(duì)AB，令，由零點(diǎn)存在定理判斷；對(duì)CD，由根的方程得，結(jié)合根的范圍可得及其符號(hào)，即可得的范圍.【詳解】由題意得，，由得，令，，，，對(duì)AB，由得，故AB錯(cuò)；對(duì)CD，由得，由得，∴，故C對(duì)D錯(cuò).故選：C15．設(shè)函數(shù)，的定義域分別為、，且.若對(duì)任意的，都有，則稱為在上的一個(gè)“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)（），若為在上一個(gè)延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意函數(shù)，為在上一個(gè)延拓函數(shù)，求出，然后利用偶函數(shù)推出函數(shù)的解析式．【詳解】解：，為在上的一個(gè)延拓函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭桥己瘮?shù)當(dāng)時(shí)，，綜上．故選：B．16．是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．若，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．若，，則方程有大于2的實(shí)根C．若，，則方程有兩個(gè)實(shí)根D．若，，則方程有三個(gè)實(shí)根【答案】B【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個(gè)零點(diǎn)，再由上下平移判斷；C.取，判斷；D.取，判斷.【詳解】A.若，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象不可能關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個(gè)零點(diǎn)，但單調(diào)性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所以有大于2的實(shí)根，故正確；C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么只有1個(gè)零點(diǎn)，所以只有1個(gè)實(shí)根，故錯(cuò)誤；D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，它只有1個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)實(shí)根，故錯(cuò)誤.故選：B.三、解答題17．（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）函數(shù)化成，結(jié)合均值不等式分別判斷、的最值，從而得出值域.（2）由換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的值域問(wèn)題.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)值域?yàn)?；?）函數(shù)定義域?yàn)?，令，則，故函數(shù)值域?yàn)?18．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并說(shuō)明理由；（2）證明：函數(shù)在上嚴(yán)格增.【答案】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式先確定函數(shù)定義域，定義域?qū)ΨQ后化簡(jiǎn)解析式，按照奇偶性判斷即可；（2）按照函數(shù)單調(diào)性定義取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論等步驟證明即可.【詳解】解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)定義域滿足，即函數(shù)定義域?yàn)?，所以，則，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）證明：任取，且，所以，因?yàn)?，所以，又恒成立，所以，即，故函?shù)在上嚴(yán)格增.19．某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中的含藥量不少于毫克時(shí)，藥物對(duì)治療疾病有效，求服藥一次治療疾病的有效時(shí)間．【答案】(1)(2)小時(shí)【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式，即可得解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以．綜上，.（2）解：當(dāng)時(shí)，由，可得；當(dāng)時(shí)，由，可得.所以，不等式的解集為.因?yàn)?，服藥一次治療疾病的有效時(shí)間為小時(shí)．20．（1）求證：關(guān)于的方程（，）在區(qū)間內(nèi)存在唯一解.（2）已知，函數(shù).若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）或或.【分析】（1）記.判斷出在為增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理即可證明；（2）把方程轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，討論根的情況，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）記.因?yàn)楹驮诰鶠樵龊瘮?shù)，所以在均為增函數(shù).因?yàn)椋?，所以所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程（，）在區(qū)間內(nèi)存在唯一解.（2）方程即,亦即當(dāng)時(shí)，方程①有一解.①式化簡(jiǎn)為②.當(dāng)時(shí)，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當(dāng)且時(shí)，方程②的解為或.若是方程①的根，則，即；若是方程①的根，則，即；所以要使方程①有且只有一解，只需.綜上所述：方程的解集中恰好有一個(gè)元素，實(shí)數(shù)的取值范圍或或21．設(shè)，是的兩個(gè)非空子集，如果函數(shù)滿足：①；②對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，恒有，那么稱函數(shù)為集合到集合的“保序同構(gòu)函數(shù)”.(1)寫出集合到集合且的一個(gè)保序同構(gòu)函數(shù)（不需要證明）；(2)求證：不存在從整數(shù)集的到有理數(shù)集的保序同構(gòu)函數(shù)；(3)已知存在正實(shí)數(shù)和使得函數(shù)是集合到集合的保序同構(gòu)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍和的最大值（用表示）.【答案】(1)(2)見解析(3)，的最大值為【分析】（1）根據(jù)保序同構(gòu)函數(shù)的概念以及常見基本初等函數(shù)的性質(zhì)即可求解，（2）利用反證法，結(jié)合保序同構(gòu)函數(shù)的定義即可證明，（3）根據(jù)保序同構(gòu)函數(shù)的定義可知為單調(diào)遞增的函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）（2）假設(shè)存在一個(gè)從集合到集合的“保序同構(gòu)函數(shù)”，由“保序同構(gòu)函數(shù)”的定義可知，集合和集合中的元素必須是一一對(duì)應(yīng)的，不妨設(shè)整數(shù)0和1在中的像分別為和，根據(jù)保序性，因?yàn)?，所以，又?/p>