2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高一年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】_第1頁
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文檔簡介

2021-2022學(xué)年上海市復(fù)興高級中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1.已知集合,,若,則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】先求出集合M,N,再由可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解:由題意得,,因為,所以,故答案為:2.若點是角終邊上的一點,則_________.【答案】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可得解.【詳解】因為點是角終邊上的一點,所以.故答案為:.3.在半徑為2的圓中,弧長為1的圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為__.【答案】##0.5【分析】由圓心角定義求解.【詳解】半徑為2的圓中,弧長為1的圓弧所對的圓心角.故答案為:4.函數(shù)的最小正周期是______________【答案】【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡表達(dá)式,進(jìn)而利用周期公式即可求得最小正周期.【詳解】由余弦的二倍角公式可得所以最小正周期為【點睛】本題主要考查了余弦的二倍角公式及余弦的周期求法,屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則________.【答案】【解析】令求出其對稱軸,再令對稱軸等于結(jié)合,即可求解【詳解】令,可得:,令,解得,因為,所以,,故答案為:6.化簡:=_________.【答案】【詳解】因為,所以填.7.若,則__.【答案】【分析】根據(jù)余弦差角公式的逆運算得到,結(jié)合,求出,再利用正弦的二倍角公式求出答案.【詳解】,,則,所以.故答案為:8.函數(shù)的嚴(yán)格增區(qū)間是______.【答案】【分析】即求在的嚴(yán)格減區(qū)間,先求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,再將所求區(qū)間與定義域取交集可得出答案.【詳解】由得,即求在的嚴(yán)格減區(qū)間,正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,由,得,記,則,故答案為:.9.在中,設(shè)、、分別是三個內(nèi)角、、所對的邊,,,面積,則內(nèi)角的大小為__.【答案】或【分析】由三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵的面積,∴,∵,∴或.故答案為:或.10.若可化為,則角的一個值可以為__.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式即可化簡得,進(jìn)而可得,即可求解.【詳解】,所以,則角的一個值可以為.故答案為:11.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,則的取值范圍是_______.【答案】【詳解】,令,,其圖像開口向下,對稱軸為,故在區(qū)間上為增函數(shù).令,解得.故的范圍須在.而,根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性可知.12.函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示,圖中圓與的圖象交于?兩點,且在軸上,圓的半徑為,則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合圖像求出周期,進(jìn)而可得的值,再代點分別求出和的值,即可得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而可得.【詳解】由圖可知,點,故,即,因,所以.由,得,又因,所以,故.由圖可知,又因且圓的半徑為,所以,因此,即,所以.因此.故答案為:.二、單選題13.在△ABC中,“A=”是“cosA=”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)在中,根據(jù)角得范圍和特殊角的三角函數(shù)值,及充要條件的判定方法,即可判定,得到答案.【詳解】在中,則,所以且,所“”是“”的充要條件,故選C.【點睛】本題主要考查了充要條件的判定問題,其中熟記充要條件的判定方法,以及特殊角的三角函數(shù)值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.14.若,則的取值范圍為(

)A.或B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)同角關(guān)系式關(guān)系結(jié)合條件可得,進(jìn)而或,然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得.【詳解】若,則,即,所以或,所以的取值范圍為或.故選:A.15.如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時點P的位置,然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知,當(dāng)P為弧AB的中點時,陰影部分的面積S取最大值,此時∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.【點睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運算求解能力,有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時的狀態(tài),并將面積用邊角等表示.16.已知()既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),若的圖像關(guān)于原點對稱,的圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】結(jié)合五點作圖法及函數(shù)圖象進(jìn)行計算求解即可.【詳解】可設(shè)滿足,且(),則,注意到五點作圖法的最左邊端點為,而,,故有,,當(dāng)時,,,此時;當(dāng)時,,,此時,故選:C.三、解答題17.已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)將題干中式子化簡,并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得到結(jié)果;(2)利用二倍角公式將所求式子化簡成,然后利用(1)的結(jié)論即可求解.【詳解】(1)因為,則,所以,所以,所以;(2).18.已知.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若,求的值域.【答案】(1),;(2).【解析】(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由可求出的取值范圍,利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】(1),令,,解得,,因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;(2),,則,所以,,因此,當(dāng)時,的值域為.【點睛】方法點睛:求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟:第一步:三角函數(shù)式的化簡,一般化成形如的形式或的形式;第二步:由的取值范圍確定的取值范圍,再確定(或)的取值范圍;第三步:求出所求函數(shù)的值域(或最值).19.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.銳角的終邊分別與單位圓交于兩點,角的終邊與單位圓交于點,過點分別作軸的垂線,垂足分別為、、.(1)如果,,求的值;(2)求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)定義得到,,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)關(guān)系得和余弦差角公式求出答案;(2)表達(dá)出,,利用三角函數(shù)有界性進(jìn)行適當(dāng)放縮,證明出,再利用適當(dāng)放縮證明出,從而證明出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:,,由于、均為銳角,所以,,所以.(2),,所以,,所以,同理,所以線段.20.圖所示,我國黃海某處的一個圓形海域上有四個小島,小島與小島、小島相距都為公里,與小島相距公里(其中為常數(shù)),已知角為鈍角,且.(1)求小島與小島之間的距離;(用表示)(2)求四個小島所形成的四邊形的面積;(用表示)(3)記為,為,求的值.【答案】(1)公里;(2)平方公里;(3).【分析】(1)結(jié)合同角得平方關(guān)系求出的值,進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果;(2)結(jié)合(1)的結(jié)果求出的面積,再在中利用余弦定理求出,進(jìn)而結(jié)合三角形的面積公式求出的面積,進(jìn)而可以求出結(jié)果;(3)在利用余弦定理求出的值,進(jìn)而結(jié)合同角的平方關(guān)系求出的值,然后結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果.【詳解】(1)因為角為鈍角,且,所以,在中,,即,因為,解得,所以小島與小島之間的距離公里;(2)由(1)知,所以,因為,所以,在中,,即,因為,解得,所以,所以,所以四個小島所形成的四邊形的面積為平方公里;(3)在中,,,因此,,則,,所以.21.若定義域為的函數(shù)滿足:對于任意,都有,則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù),的表達(dá)式分別為,,判斷函數(shù)與是否具有性質(zhì),說明理由;(2)設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為,是否存在以及,使得函數(shù)具有性質(zhì)?若存在,求出,的值;若不存在,說明理由;(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì),且在上的值域恰為;以為周期的函數(shù)的表達(dá)式為,且在開區(qū)間上有且僅有一個零點,求證:.【答案】(1)函數(shù)具有性質(zhì),不具有性質(zhì),理由見解析;(2)不具備,理由見解析;(3)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)具有性質(zhì)的定義依次討論即可得答案;(2)假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì),則有,即,進(jìn)而得,再根據(jù)并結(jié)合函數(shù)的值域為得,故,此時,在驗證不具有性質(zhì),進(jìn)而得到答案;(3)結(jié)合(2),并根據(jù)題意得,進(jìn)而得在的值域為,當(dāng)時,與零點唯一性矛盾得或,再討論當(dāng)時不成立得,即.【詳解】(1)函數(shù)具有性質(zhì),不具有性質(zhì),說明如下:,,對任意,都有,所以具有性質(zhì),,,所以,所以不具有性質(zhì);(2)若函數(shù)具有性質(zhì),則有,即,于是,結(jié)合知,因此;若,不妨設(shè)由可知:(記作*),其中只要充分大時,將大于1考慮到的值域為為,等式(*)將無法成立,綜上所述必有,即;再由,,從而,而當(dāng)時,,而,顯然兩者不恒相等(比如時)綜上所述,不存在以及使得具有性質(zhì);(3)由函數(shù)具有性質(zhì)以及(2)可知,由函數(shù)

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