2021-2022學(xué)年山東省濰坊市濰坊高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年山東省濰坊市濰坊第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)集合的概念、數(shù)集的表示判斷．【詳解】是有理數(shù)，是實(shí)數(shù)，不是正整數(shù)，是無(wú)理數(shù)，當(dāng)然不是整數(shù)．只有①正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，掌握常用數(shù)集的表示是解題關(guān)鍵．2．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即得結(jié)果.詳解：選D.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)除法法則，考查學(xué)生基本運(yùn)算能力.3．已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，根據(jù)的范圍，即可求出答案.【詳解】設(shè)，所以，解得：，因?yàn)椋?，故選：A.4．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，則，所以，由誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】令，則，且，所以.故選：A.5．函數(shù)在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積是（

）A．12 B．9 C． D．【答案】D【分析】先利用的導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面積.【詳解】由題，，，所以切線為，整理得，易得切線的截距為和12，圍成的圖形為直角三角形，故所求面積為，故選：D6．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，n的最大值為（

）A．10 B．11 C．20 D．21【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可推出：，，可得結(jié)論.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，，，，所以使的n的最大值為20.故選：C7．米勒問題，是指德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒1471年向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)（即可見角最大？）米勒問題的數(shù)學(xué)模型如下：如圖，設(shè)是銳角的一邊上的兩定點(diǎn)，點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切時(shí)，最大．若，點(diǎn)在軸上，則當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出線段的中垂線與線段的中垂線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的外接圓圓心的橫坐標(biāo)，由的外接圓與邊相切于點(diǎn)，可知的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】由于點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于，則直線的方程為：，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；由于為銳角，點(diǎn)是邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，故；所以線段的中垂線方程為：；線段的中垂線方程為：；故的外接圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得：；即的外接圓圓心的橫坐標(biāo)為的外接圓與邊相切于點(diǎn)，邊在軸上，則的外接圓圓心的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即，解得：或（舍）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查直線方程、三角形外接圓圓心的求解，屬于中檔題8．如圖，點(diǎn)分別是正四面體棱上的點(diǎn)，設(shè)，直線與直線所成的角為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大【答案】D【分析】分和兩種情況，分別過作的平行線，可得直線與所作的平行線成的角即為角可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3，則，可求得，所以在中，有，令，則，時(shí)，有正有負(fù)，函數(shù)有增有減，所以故A與B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，如下圖作交于點(diǎn)，所以直線與直線所成的角即為直線與直線所成的角，即.同樣設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3，則，可求得，,在中，有，所以，即，所以在中，有，令，則，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即增大，減小，即減小，從而增大，故D正確，C錯(cuò)誤.故選：D.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．用分層抽樣法從1000名學(xué)生（男、女分別占60%、40%）中抽取100人，則每位男生被抽中的概率為；B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；C．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的3倍；D．一組數(shù)據(jù)，，……，的平均數(shù)是5，方差為1，現(xiàn)將其中一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)剔除后，余下99個(gè)數(shù)據(jù)的方差是．【答案】ABD【分析】根據(jù)分層抽樣的計(jì)算規(guī)則分析A選項(xiàng)，根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式分析BCD選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?000名學(xué)生中男、女分別占60%和40%，根據(jù)分層抽樣的計(jì)算規(guī)則，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A正確；選項(xiàng)B：平均數(shù)，將這組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后.B正確；選項(xiàng)C：方差，每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以3后平均數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，方差.C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，因?yàn)榈钠骄鶖?shù)是5，所以，新平均數(shù)，又因?yàn)榈姆讲钍?，所以，提出一個(gè)值為5的數(shù)據(jù)后，余下99個(gè)數(shù)的方差.D正確.故選：ABD.10．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列b的取值能使以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的條件，確定以為直徑的圓半徑，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)列出不等式求出b的范圍作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，則以為直徑的圓的方程為，因圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有，即，解得，顯然選項(xiàng)A，B，C滿足，D不滿足.故選：ABC11．已知某聲音信號(hào)的波形可表示為，則下列敘述正確的是（

）A．在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增C．是的一個(gè)對(duì)稱中心 D．的最大值為【答案】AC【分析】當(dāng)時(shí)，解方程，可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷C選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得或，可得，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故是的一個(gè)對(duì)稱中心，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，可得，若函?shù)在處取得最大值，則，即，這樣的不存在，所以，的最大值不為，D錯(cuò).故選：AC.12．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，以表示沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面向上的概率，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出；對(duì)于B，利用列舉法能求出；對(duì)于D，分第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，和第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，及第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，由此能求出；對(duì)于C，由時(shí)，單調(diào)遞減，，得到當(dāng)時(shí)，．【詳解】當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)時(shí)，又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有：正正正正或正正正反或反正正正，，B錯(cuò)誤；要求，即拋擲n次沒有出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率，分類進(jìn)行討論；如果第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這個(gè)時(shí)候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是；如果第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)正面，第次出現(xiàn)反面，那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的，這時(shí)候不出現(xiàn)三次連續(xù)正面的概率是，綜上，，D正確；由上式可得，則，易知，所以，，故當(dāng)時(shí)，．又，，，滿足當(dāng)時(shí)，，C正確．故選：ACD．三、填空題13．橢圓的焦距為2，則__________．【答案】3或5【分析】本題首先可根據(jù)焦距為得出，然后將橢圓分為焦點(diǎn)在軸上以及焦點(diǎn)在軸上兩種情況，分別進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；若焦點(diǎn)在軸上，則有，解得；綜上所述，或．故答案為：3或5．14．如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____.【答案】10.【分析】由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題.15．已知在直角梯形中，，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為__________．【答案】【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，求出，即可求其模長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求范圍即可．【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，故，，則，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，的取值范圍為故答案為：.四、雙空題16．在中，，，，的面積等于，則______，邊上中線的長(zhǎng)為______．【答案】

【分析】根據(jù)面積公式得到，再根據(jù)余弦定理得到，解得，，根據(jù)勾股定理逆定理得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，故，根據(jù)余弦定理：，故，，解得，，故，故，，.故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了面積公式，余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.五、解答題17．已知集合，，為實(shí)數(shù)集.（1）當(dāng)時(shí)，求及；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）或.【解析】（1）利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)集合A，由解得集合，，然后利用并集，交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解.（2）根據(jù)“”是“”的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】（1）由得：，即，當(dāng)時(shí)，，則或，所以，.（2）由“”是“”的充分不必要條件，則，，顯然，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，要滿足，則，解得；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，要滿足，則，解得；綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式的解法?集合的交?并?補(bǔ)的運(yùn)算及集合間的包含關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18．已知中，角所對(duì)的邊分別為，滿足．(1)求的大小；(2)如圖，，在直線的右側(cè)取點(diǎn)，使得．當(dāng)角為何值時(shí)，四邊形面積最大．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將中的邊化為角，再結(jié)合正弦的兩角和公式化簡(jiǎn)可求得，從而得解；（2）由（1）可推得為等邊三角形，在中，由余弦定理可求得，再根據(jù)和，可推出四邊形的面積，最后由角和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）由正弦定理知，，，，即，，，，．（2）由（1）知，，，為等邊三角形，在中，由余弦定理知，，而，，四邊形的面積，，，，當(dāng)即時(shí)，取得最大值，為，故四邊形面積的最大值為．19．某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品，并對(duì)所抽取產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果按，，，分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)分別求甲、乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)若產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)，則該產(chǎn)品為優(yōu)等品.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣品中的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，再?gòu)倪@6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)一步進(jìn)行檢測(cè)，求抽取的這2件產(chǎn)品中恰有1件產(chǎn)品是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.【答案】(1)6.4，5.6(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可；（2）求出6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況，再得出其中符合條件的情況，即可得出概率.【詳解】（1）甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為.（2）（2）由題意可知，甲生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件，乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品有件.從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為a，b，c，d；從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為E，F(xiàn).從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的情況有（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F(xiàn)），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F(xiàn)），（c，d），（c，E），（c，F(xiàn)），（d，E），（d，F(xiàn)），（E，F(xiàn)），共15種；其中符合條件的情況有（a，E），（a，F(xiàn)），（b，E），（b，F(xiàn)），（c，E），（c，F(xiàn)），（d，E），（d，F(xiàn)），共8種.故所求概率.20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，且，平面ABCD.（1）求PA與平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一點(diǎn)E，滿足？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在，詳見解析.【解析】（1）以AB，AD，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式求出PA與平面PCD所成角的正弦值；（2）根據(jù)空間向量夾角公式直接求解即可.【詳解】（1），平面ABCD，可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，從而，，.設(shè)平面PCD的法向量為，則，，取，得，，平面PCD的一個(gè)法向量，設(shè)直線PA與平面PCD的夾角為，則.（2），則，，，若，則，此方程無(wú)解，故在棱PD上不存在一點(diǎn)E，滿足.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量夾角公式求線面角的正弦值，考查了利用空間向量夾角公式解決異面直線所成角為直角的問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21．已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動(dòng)圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動(dòng)圓的圓心E的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程；(2)已知點(diǎn)，直線l不過P點(diǎn)并與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)【分析】（1）結(jié)合條件和雙曲線定義可得答案.（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與，可得，后通過分解因式可得之間關(guān)系，從而可得l所過定點(diǎn).【詳解】（1）如圖，設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，由題可得圓M半徑為，圓N半徑為則，，所以，由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，又.所以動(dòng)圓的圓心E的軌跡方程為，.（2）設(shè)直線l的方程為，將直線方程與曲線E方程聯(lián)立，有：，消去x得，由題直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)