2021-2022學(xué)年山東省煙臺(tái)萊陽(yáng)市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題 解析版

2021-2022學(xué)年山東省萊陽(yáng)市一中高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第m項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B.C. D.(－1)m－1【答案】D【解析】【分析】【詳解】(x－y)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中第m項(xiàng)為T(mén)m＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系數(shù)為C(－1)m－1.2.已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出雙曲線方程中的即得解.【詳解】解：∵拋物線的焦點(diǎn)是（2，0），∴，，∴，∴．所以雙曲線的漸近線方程為.故選：D3.已知圓O的半徑為5，，過(guò)點(diǎn)P的2021條弦的長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長(zhǎng)為，最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，則其公差為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為直徑，，最短弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.4.從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，從且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率公式求得答案．【詳解】解：設(shè)，依題意可知拋物線準(zhǔn)線，，，，．直線PF的斜率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用、直線斜率解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義．5.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則等于（）A. B. C.5 D.11【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知求出數(shù)列公比即可由等比數(shù)列求和公式得出.【詳解】，，，則公比，，，.故選：A.6.設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有a種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭(zhēng)奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有b種，則（a，b）為（）A.（34，34） B.（43，34） C.（34，43） D.（A43，A43）【答案】C【解析】【分析】本題是一個(gè)分步乘法問(wèn)題，每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有34種選擇，同理三項(xiàng)冠軍的結(jié)果數(shù)也有類(lèi)似的做法．【詳解】由題意知本題是一個(gè)分步乘法問(wèn)題，首先每名學(xué)生報(bào)名有3種選擇，有4名學(xué)生根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有34種選擇，每項(xiàng)冠軍有4種可能結(jié)果，3項(xiàng)冠軍根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有43種可能結(jié)果.故選：C．7.如圖所示，，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于A，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】不妨令，，，根據(jù)雙曲線定義可求得，，再利用勾股定理可求得，從而可求得雙曲線的離心率．【詳解】，不妨令，，，，，又由雙曲線的定義得：，，，，．在中，，又，，雙曲線的離心率．故選;C

8.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，結(jié)合裂項(xiàng)法求得數(shù)列的前和，得出不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，所以，所以，又對(duì)一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】數(shù)列與函數(shù)、不等式綜合問(wèn)題的求解策略：1、已知數(shù)列的條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一把要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對(duì)于式子化簡(jiǎn)變形，注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性；2、解決數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題時(shí)，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)解決.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.以直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：AC10.已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C. D.【答案】BC【解析】【分析】由離心率公式化簡(jiǎn)可得漸近線方程，通過(guò)求圓心A到漸近線的距離結(jié)合直角三角形可得到的值.【詳解】雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點(diǎn)P,連接AP,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,則，所以則故選BC【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線和離心率的應(yīng)用，考查圓的有關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.11.某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），記A為“男生甲被選中”，為“男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】7人選3人共有種選法，分別求出事件A，B，AB所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型公式即可求出，，，即可判斷ABC，利用條件概率公式即可判斷D.【詳解】解：由題意得，故A正確；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ACD.12.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式得出，進(jìn)而可得出為的正約數(shù)，由此可得出正整數(shù)的可能取值.【詳解】由題意可得，則，由于為整數(shù)，則為的正約數(shù)，則的可能取值有、、，因此，正整數(shù)的可能取值有、、.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)和比值的計(jì)算，涉及數(shù)的整除性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在三角形中，，，，雙曲線以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出BC，結(jié)合雙曲線的定義，求解c，a，然后求解離心率.【詳解】因?yàn)樵谌切沃?，，，，所以，即，在雙曲線中，，所以離心率，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的定義，屬于中檔題.14.將數(shù)列按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：，，，…，則第100組中的第一個(gè)數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】由題意可得前99組中的數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，利用前n項(xiàng)求和公式即可得出第100組數(shù)中的第一個(gè)數(shù).【詳解】由題意知，前99組數(shù)共包含個(gè)數(shù)，則第100組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)應(yīng)是原數(shù)列的第4951項(xiàng)，即.故答案為：15.若，則______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意和組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可.【詳解】由題意知，因?yàn)?，所以或，解?舍去)或.故答案為：416.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于__________.【答案】6【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，得到，代入所求式子，結(jié)合兩點(diǎn)距離直線最短原理，計(jì)算最小值，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，得到，所以，而，所以，所以最小值為6.【點(diǎn)睛】本道題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了兩點(diǎn)距離公式，難度中等．四、解答題（本題共6小題，共70分）17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知列式求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差即可得出通項(xiàng)公式；（2）由題可求出，即可求出公比，得出通項(xiàng)公式.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，；（2），等比數(shù)列公比為，18.由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，將數(shù)列，的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)、放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，……，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，整理得，即，解得或，因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，所以，又由，可得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又由數(shù)列的通項(xiàng)公式為，根據(jù)題意，新數(shù)列，，，，，，，，，……，則.【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1、通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用可得是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）可得，則，，由裂項(xiàng)相消法即可求出前n項(xiàng)和.【詳解】（1），即，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，整理得，是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，；（2），，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.20.已知的展開(kāi)式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等．（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．【答案】（1）5（2）32（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)展開(kāi)式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，列出方程求出n的值；（2）利用展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．小問(wèn)1詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，n），∵展開(kāi)式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；【小問(wèn)2詳解】展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為；【小問(wèn)3詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，5），當(dāng)r＝0，2，4時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng)，所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為，，．21.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相較于，兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合離心率公式及，即可求出，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達(dá)式，根據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達(dá)式，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）有題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）存在定點(diǎn)，滿足直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線l的方程為，由，聯(lián)立得，，設(shè)，定點(diǎn)，由題意得，所以，因?yàn)橹本€，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，即.綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將條件：直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式，進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.22.已知?jiǎng)狱c(diǎn)(其中)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交曲線于?兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)①求證：；②設(shè)?分別與橢圓相交于點(diǎn)?，證明：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②證