實(shí)變函數(shù)論3.1 外測(cè)度

第一節(jié)外測(cè)度第三章測(cè)度理論1.引言

其中積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1xi(1)Riemann積分回顧（分割定義域）新的積分（Lebesgue積分,從分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“長(zhǎng)度”問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣?圓的面積內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接外切外切正n邊形的面積（外包）達(dá)布上和與下和Riemann積分xi-1xi達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1xi達(dá)布上和的極限上積分（外包）Jordan測(cè)度Jordan外測(cè)度（外包）Jordan可測(cè)Jordan內(nèi)測(cè)度（內(nèi)填）例：設(shè)E為[0,1]中的有理數(shù)全體，則E不Jordan可測(cè)由于任一覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體的有限開(kāi)覆蓋也一定能覆蓋除有限個(gè)點(diǎn)外的[0,1]，從而由于無(wú)理數(shù)在[0,1]中稠密，故任一開(kāi)區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而所以，即E不Jordan可測(cè)([

())(

)(

(

)

]

)０１([

]

)-ε０１1+ε2Lebesgue外測(cè)度(外包)為E的Lebesgue外測(cè)度。定義：，稱(chēng)非負(fù)廣義實(shí)數(shù)與Jordan外測(cè)度比較：下確界：即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合E例設(shè)E是[0,1]中的全體有理數(shù)，試證明E的外測(cè)度為0

證明：由于E為可數(shù)集，再由ε的任意性知()

2.平面上的x軸的外測(cè)度為0思考：１.設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體，則E的外測(cè)度為0思考：3.我們知道有理數(shù)與無(wú)理數(shù)在[0,1]上都稠密，問(wèn)證明中

的開(kāi)區(qū)間列是否覆蓋了區(qū)間[0,1]由無(wú)理數(shù)集在[0,1]上稠密可知上面敘述的錯(cuò)誤出在取，因?yàn)閕的取定依賴(lài)于δ()

思考：4.對(duì)Jordan外測(cè)度，我們用有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋[0,1]中的

有理數(shù)全體，則這有限個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋[0,1]

（除有限個(gè)點(diǎn)外）注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如Ｃantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）([

())(

)(

(

)

]

)０１注：對(duì)有限個(gè)開(kāi)區(qū)間一定有從左到右的一個(gè)排列5.對(duì)Lebesgue外測(cè)度，我們用可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋[0,1]中的有理數(shù)全體，是否這可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋[0,1]（除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外）（2）Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)(b)的證明:能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列比能覆蓋A的開(kāi)區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。（b）單調(diào)性：（a）非負(fù)性：，當(dāng)E為空集時(shí)，（C）次可數(shù)可加性證明：對(duì)任意的ε>0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開(kāi)區(qū)間（即用一開(kāi)區(qū)間{Inm}列近似替換An）注：一般證明都是從大的一邊開(kāi)始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界由的ε任意性，即得注：外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可測(cè)集），但有:當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。若d(A,B)>0,則例思考：書(shū)本中的證明用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣對(duì)任意區(qū)間，有例：Cantor集的外測(cè)度為0。注：稱(chēng)外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集，有限并，可數(shù)并仍為零集證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為

正如引言中所說(shuō)，要研究一般函數(shù)的積分，首先要建立一般集合的“長(zhǎng)度”概念，這一工作可以追溯到19世紀(jì)人們關(guān)于容量的研究，其中具有代表性的人物是Peano（皮嚴(yán)諾）、Jordon（約當(dāng)）以及Lebesgue的老師Borel（波雷爾）。然而，Lebesgue的工作替代了十九世紀(jì)的創(chuàng)造，特別是他改進(jìn)了Borel的測(cè)度論。3．1外測(cè)度

3．1外測(cè)度

一．外測(cè)度的定義

問(wèn)題1：回憶平面內(nèi)的面積、3維空間中長(zhǎng)方體的體積概念，如何定義n

維空間中長(zhǎng)方體的體積？問(wèn)題2：有限個(gè)互不相交的長(zhǎng)方體之并的體積是什么？問(wèn)題3：回憶Riemann積分的定義及其幾何意義，由此啟發(fā)我們?nèi)绾味x一般集合的“面積”或“體積”？3．1外測(cè)度

眾所周知，在中，開(kāi)矩形的面積為，在中，開(kāi)長(zhǎng)方體的體積為。很自然地，我們也稱(chēng)中的開(kāi)集3．1外測(cè)度

為開(kāi)長(zhǎng)方體，并定義其體積為

如果是一個(gè)一般的集合怎么辦呢？熟悉Riemann積分的人可能比較自然地會(huì)想到，用一些長(zhǎng)方體去分割它，然后以長(zhǎng)方體的體積之和近似代替的體積。但值得注意的是，由于是一般的集合，它可能不含任何開(kāi)長(zhǎng)方體，例如若是有理數(shù)3．1外測(cè)度

集，它不可能充滿(mǎn)任何長(zhǎng)方體。因此，我們不能象Riemann積分那樣企圖采用長(zhǎng)方體內(nèi)外來(lái)擠的辦法來(lái)定義一般集合的“長(zhǎng)度”。盡管如此，Riemann積分的思想還是給了我們極大的啟示，它依然是我們的出發(fā)點(diǎn)，只不過(guò)具體做法稍不同。3．1外測(cè)度

定義1

設(shè)是的點(diǎn)集，是中的一列開(kāi)長(zhǎng)方體，，則確定一個(gè)非負(fù)的數(shù)（或）。記

稱(chēng)為的Lebesgue外測(cè)度。3．1外測(cè)度

二.外測(cè)度的性質(zhì)問(wèn)題4：回憶Riemann積分具有什么性質(zhì)，由此猜測(cè)外測(cè)度應(yīng)具有什么性質(zhì)？3．1外測(cè)度

應(yīng)該注意到，由于沒(méi)有假定是有界集，所以有可能是，就象的長(zhǎng)度是一樣。由于在中任意平移一個(gè)長(zhǎng)方體并不改變其體積，所以外測(cè)度也具有平移不變性，此外外測(cè)度還有如下幾個(gè)基本性質(zhì)：3．1外測(cè)度

性質(zhì)1。性質(zhì)2若，則。性質(zhì)3。3．1外測(cè)度

問(wèn)題5：Riemann積分具有有限可加性，兩個(gè)互不相交的集合之并的外測(cè)度是否為這兩個(gè)集合的外測(cè)度之和？為什么？3．1外測(cè)度

性質(zhì)1是顯而易見(jiàn)的。如果注意到當(dāng)時(shí)，凡是能蓋住的開(kāi)長(zhǎng)方體序列一定也能蓋住，則由外測(cè)度定義很容易得到。事實(shí)上，蓋住的開(kāi)長(zhǎng)方體序列的全體比蓋住的開(kāi)長(zhǎng)方體序列全體更多。為證性質(zhì)3，可采用如下辦法，對(duì)任意，由外測(cè)度定義知，對(duì)每個(gè)

，存在開(kāi)長(zhǎng)方體序列，滿(mǎn)足3．1外測(cè)度

從而，且于是3．1外測(cè)度

由的任意性知。看起來(lái)似乎外測(cè)度概念推廣了通常的體積概念，我們所期待的問(wèn)題已經(jīng)解決，但是，當(dāng)我們完成了在某個(gè)原始概念基礎(chǔ)上推廣或建立一個(gè)新的概念后，首先必須回過(guò)頭

3．1外測(cè)度

來(lái)審查一下這一概念是否具有合理性，所謂合理性就應(yīng)包括下面兩個(gè)方面的問(wèn)題：

1、它是否的確為原始概念的自然推廣？

2、它是否繼承了原始概念的基本特征？按上述方式定義的外測(cè)度是不是長(zhǎng)方體體積概念的一種推廣呢？這就要看看當(dāng)是長(zhǎng)方體時(shí)，其體積與外測(cè)度是否相等。為方便計(jì)算，以為例來(lái)說(shuō)明這件事，一般情形可類(lèi)似證明。假設(shè)是矩形或是從某個(gè)矩形挖去有限個(gè)開(kāi)矩形后剩3．1外測(cè)度

下的部分，是的閉包（顯然與有通常的體積）。下面用歸納法證明，如果是任意有限個(gè)蓋住的開(kāi)矩形。則。如果是某個(gè)開(kāi)矩形，它將蓋住時(shí)，則顯然有。假設(shè)是個(gè)開(kāi)矩形將蓋住時(shí)，有。3．1外測(cè)度

往證蓋住的個(gè)開(kāi)矩形也滿(mǎn)足記，則仍是從矩形中挖去有限個(gè)開(kāi)矩形后剩下的部分，且將蓋住（事實(shí)上，不難證明：）。由歸納假設(shè)知3．1外測(cè)度

，于是

所以對(duì)任意有限個(gè)蓋住的開(kāi)矩形，有。3．1外測(cè)度

下設(shè)是任一列開(kāi)矩形將蓋住，則由有限覆蓋定理知存在有限個(gè)，它們也將蓋住，于是，進(jìn)而。由的任意性知。由外測(cè)度的定義，不難看到。于是3．1外測(cè)度

即。故。特別地，當(dāng)

是長(zhǎng)方體時(shí)，。至于相反的不等式則是顯然的。綜上得。這說(shuō)明外測(cè)度確是“體積”（或“面積”、“長(zhǎng)度”）概念的自然拓廣。至此，集合的3．1外測(cè)度

“體積”問(wèn)題似乎已得到解決，但事情遠(yuǎn)非如此簡(jiǎn)單。既然外測(cè)度是體積概念的自然推廣，那么當(dāng)時(shí)，應(yīng)有。因?yàn)閰^(qū)間的長(zhǎng)度或立體的體積都是具有可加性的。遣憾的是，外測(cè)度并非對(duì)所有的集合都具有可加性。事實(shí)上，如果對(duì)任意3．1外測(cè)度

兩個(gè)不交的集合都有，則不難推知對(duì)任意有限個(gè)互不相交的點(diǎn)集，也有進(jìn)而對(duì)任意一列互不相交的點(diǎn)集，有3．1外測(cè)度

令便知相反的不等式由外測(cè)度的性質(zhì)3立得，所以這就是說(shuō)，只要外測(cè)度具有可加性，則它一定具有可數(shù)可加性。然而下面的例子說(shuō)明，外測(cè)度并不具有這種性質(zhì)。3．1外測(cè)度

例1對(duì)任意，令

顯然，故非空，而且對(duì)任意，如果，則。事實(shí)上，若，則對(duì)任意及，均為有理數(shù)，也為為理數(shù)，于是及3．1外測(cè)度

都為有理數(shù)，這說(shuō)明，，由的任意性知（實(shí)際上是有理數(shù)）。這樣，可以分解成一些互不相交的之并，對(duì)每個(gè)，從中任取一點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)集合，當(dāng)然。記為中有理數(shù)全體，3．1外測(cè)度

即是將平移后得到的，顯然，而且當(dāng)時(shí)，。若不然，存在，則存在，使，于是為有理數(shù)，但由的構(gòu)造，若，則屬于不同的，即不能為有理數(shù)，因此只能有，然而這將導(dǎo)致，再次得到矛盾，所以與一定不交。3．1外測(cè)度

下證，任取，則，由

的構(gòu)造，是單點(diǎn)集，設(shè)為，于是是有理數(shù)，且，因此存在某個(gè)

，使，這樣。即。綜上得。如果外測(cè)度具有可加性，則3．1外測(cè)度

注意是經(jīng)過(guò)平移后得到的，故，于是由的收斂性知，然而這樣導(dǎo)致。這個(gè)矛盾說(shuō)明外測(cè)度的確不具有可加性。3．1外測(cè)度

問(wèn)題出在哪里呢？是不是外測(cè)度的定義有缺陷？從上面的例子可以看到，整個(gè)的證明并未用到外測(cè)度的具體構(gòu)造，這就是說(shuō)，只要一種關(guān)于集合的函數(shù)（常稱(chēng)為集函數(shù)）具備性質(zhì)1、2、3及可加性，就不可避免地會(huì)碰到上述矛盾。而性質(zhì)1、2、3與可加性又是必須具備的條件。由此可見(jiàn)，問(wèn)題不在于外測(cè)度的定義方法有毛病，而是碰到了一種無(wú)法克服的困難。換句話說(shuō)，總有一些集合，其測(cè)度是不具有可加性的，既然無(wú)法克服這個(gè)困難，最好的辦法是把這些集合排除在外，只考慮那些具3．1外測(cè)度

有可加性的集合。我們把前者稱(chēng)為不可測(cè)集，后者稱(chēng)為可測(cè)集。3．1外測(cè)度

三.可測(cè)集的定義問(wèn)題6：回憶Riemann積分的存在性定理，它啟發(fā)我們應(yīng)如何定義一般的可測(cè)集？3．1外測(cè)度

如何判斷一個(gè)集合是可測(cè)或不可測(cè)的呢？有兩種方法來(lái)作出判斷，其一是采用內(nèi)外測(cè)度的辦法，回憶微積分中求曲邊梯形的面積時(shí)，通過(guò)將函數(shù)的定義區(qū)間分割成若干小區(qū)間，然后以這些小區(qū)間為邊作若干小矩形包住曲邊梯形，同時(shí)又讓曲邊梯形包住以這些小區(qū)間為邊的另一些小矩形，如果當(dāng)劃分越來(lái)越細(xì)時(shí)，內(nèi)外小矩形面積之和趨于同一個(gè)值，則曲邊梯形的面積就存在。否則就不存在，內(nèi)外測(cè)度方法與此很相似，集合E的外測(cè)度是包住E的一些小長(zhǎng)方體和體積之和的下確界，如何作內(nèi)測(cè)度呢？

3．1外測(cè)度

3．1外測(cè)度

為敘述方便，以直線上有界點(diǎn)集為例，不妨設(shè)，若可測(cè)，也應(yīng)可測(cè)，于是應(yīng)有。如果開(kāi)區(qū)間蓋住了，則，因此一種自然的方式是定義的內(nèi)測(cè)度為：當(dāng)時(shí)，稱(chēng)

是可測(cè)集。

直觀地解釋內(nèi)測(cè)度就是將挖去一些開(kāi)區(qū)間后剩下部分的長(zhǎng)度之上確界?；貞浺幌轮本€上有界閉集的構(gòu)造不難發(fā)現(xiàn)，內(nèi)測(cè)度其實(shí)就是包含在中的閉集的測(cè)度之上確界；而閉集的測(cè)度可以定義為某個(gè)包含它的閉區(qū)間長(zhǎng)度減去其余集的構(gòu)成區(qū)間長(zhǎng)度之和。3．1外測(cè)度

3．1外測(cè)度

但是將這一方法推廣到中會(huì)帶來(lái)一些技術(shù)上的麻煩，所以下面我們采用另外一種方法。如果是可測(cè)集（注意，我們尚未定義可測(cè)集）。也應(yīng)當(dāng)是可測(cè)的，于是應(yīng)有。但，由外測(cè)度性質(zhì)3至少有一個(gè)為，所以上述等式恒成立。3．1外測(cè)度

由此并不能得到關(guān)于可測(cè)性的任何實(shí)質(zhì)性信息，因此，我們將限制在任意的開(kāi)長(zhǎng)方體上，考慮與是否可加，即對(duì)任意開(kāi)長(zhǎng)方體