張厚粲 第七章 參數(shù)估計(jì)

第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤一．總體參數(shù)估計(jì)的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計(jì)叫作總體參數(shù)估計(jì)?？傮w參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差即為點(diǎn)估計(jì)；而由樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的取值范圍則為區(qū)間估計(jì)。1.良好的點(diǎn)估計(jì)量應(yīng)具備的條件無偏性

如果一切可能個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為0，這種統(tǒng)計(jì)量就是總體參數(shù)的無偏估計(jì)量。有效性

當(dāng)總體參數(shù)不止有一種無偏估計(jì)量時(shí)，某一種估計(jì)量的一切可能樣本值的方差小者為有效性高，方差大者為有效性低。一致性當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，這種估計(jì)是總體參數(shù)一致性估計(jì)量。充分性一個(gè)容量為n的樣本統(tǒng)計(jì)量,應(yīng)能充分地反映全部n個(gè)數(shù)據(jù)所反映的總體的信息。2.區(qū)間估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)誤以樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定概率的要求，由樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。對總體參數(shù)值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，就是要在一定可靠度上求出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。置信區(qū)間置信度，即置信概率，是作出某種推斷時(shí)正確的可能性（概率）。置信區(qū)間，也稱置信間距（confidenceinterval,CI）是指在某一置信度時(shí)，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。置信區(qū)間是帶有置信概率的取值區(qū)間。顯著性水平對總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時(shí)，置信概率表示做出正確推斷的可能性，但這種估計(jì)還是會有犯錯(cuò)誤的可能。顯著性水平(significancelevel)就是指估計(jì)總體參數(shù)落在某一區(qū)間時(shí)，可能犯錯(cuò)誤的概率，用符號α表示。

P＝１-α區(qū)間估計(jì)的原理與標(biāo)準(zhǔn)誤取值范圍與概率的矛盾。（0.05和0.01）原理：樣本分布理論區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布：總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一種統(tǒng)計(jì)量的概率分布

μ±σ范圍內(nèi)的面積為68.27%

μ±1.96σ范圍內(nèi)的面積為95%

μ±2.58σ范圍內(nèi)的面積占99%圖顯示樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差不超過1μ的概率為0.6827,不超過1.96μ的概率為0.9545,不超過2.58μ的概率為0.9973。即：當(dāng)t=1時(shí)，F(xiàn)(t)=0.6827

當(dāng)t=1.96時(shí)，F(xiàn)(t)=0.9545

當(dāng)t=2.58時(shí)，F(xiàn)(t)=0.9973概率度t與概率F(t)的對應(yīng)關(guān)系是：概率F(t)越大，則概率度t值越大，估計(jì)的可靠性越高，樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間正負(fù)離差的變動范圍也越大。對于t每取一個(gè)值，概率保證程度F(t)有一個(gè)唯一確定的值與之對應(yīng)。因此人們制定?正態(tài)分布概率表?第二節(jié)總體平均數(shù)的估計(jì)平均數(shù)抽樣分布的幾個(gè)定理⑴．從總體中隨機(jī)抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。⑵．容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差（即平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤），等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以n的平方根。區(qū)間估計(jì)的注意事項(xiàng)⑴要知道與所要估計(jì)的參數(shù)相對應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量的值，以及樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布；⑵要求出該種統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤；⑶要確定在多大的可靠度上對總體參數(shù)作估計(jì)，再通過某種理論概率分布表，找出與某種可靠度相對應(yīng)的該分布橫軸上記分的臨界值，才能計(jì)算出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。

標(biāo)準(zhǔn)誤某種統(tǒng)計(jì)量在抽樣分布上的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。標(biāo)準(zhǔn)誤用來衡量抽樣誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤越小，表明樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的可靠度越大。因此，標(biāo)準(zhǔn)誤是統(tǒng)計(jì)推斷可靠性的指標(biāo)。平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的基本原理

通過樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù),首先假定該樣本是隨機(jī)取自一個(gè)正態(tài)分布的母總體(或非正態(tài)總體中的n＞30的樣本)，而計(jì)算出來的實(shí)際平均數(shù)是無數(shù)容量為n的樣本平均數(shù)中的一個(gè)。根據(jù)樣本平均數(shù)的分布理論，可以對總體平均數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并以概率說明其正確的可能性。一．總體平均數(shù)區(qū)間估計(jì)的基本步驟①．根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；②．計(jì)算平均數(shù)抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤；③．確定置信概率或顯著性水平；④．根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布確定查何種統(tǒng)計(jì)表；⑤．計(jì)算置信區(qū)間；⑥．解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。一、總體平均數(shù)估計(jì)的步驟1.根據(jù)實(shí)得樣本的數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差2.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤（1）已知（2）未知3.確定置信水平或顯著性水平4.根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表總體方差已知，Z分布；未知，t分布5.計(jì)算置信區(qū)間（1）正態(tài)分布表，置信區(qū)間（2）t分布，置信區(qū)間6。解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間例題：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標(biāo)準(zhǔn)差為6.25厘米，現(xiàn)從該校隨機(jī)抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2厘米，試估計(jì)該校10歲全體女童平均身高的95％和99％置信區(qū)間。二、總體正態(tài)，σ已知（不管樣本容量大小）1.總體正態(tài)，σ已知（不管樣本容量大小）或總體非正態(tài)，σ已知，大樣本解：10歲女童的身高假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機(jī)樣本，并已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為σ=6.25。無論樣本容量大小，一切樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布。于是可用正態(tài)分布來估計(jì)該校10歲女童身高總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。其標(biāo)準(zhǔn)誤為當(dāng)Ｐ＝0.95時(shí)，Ｚ＝±1.96因此，該校10歲女童平均身高95％的置信區(qū)間為：當(dāng)Ｐ＝0.99時(shí)，Ｚ＝±2.58因此，該校10歲女童平均身高99％的置信區(qū)間為：三、總體正態(tài)，σ未知（不管樣本容量大小），

或總體非正態(tài)，σ未知，大樣本平均數(shù)的抽樣分布為t分布，平均數(shù)的置信區(qū)間為：例題：從某小學(xué)三年級隨機(jī)抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28，32，36，22，34，30，33，25，31，33，29，26。試估計(jì)該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。解：12名學(xué)生閱讀能力的得分假定是從正態(tài)總體中抽出的隨機(jī)樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，樣本的容量較?。ǎ?12<30），在此條件下，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計(jì)量服從呈t分布。于是需用t分布來估計(jì)該校三年級學(xué)生閱讀能力總體平均數(shù)95％和99％的置信區(qū)間。由原始數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)Ｐ＝0.95時(shí)，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分95％的置信區(qū)間為：當(dāng)Ｐ＝0.99時(shí)，因此，該校三年級學(xué)生閱讀能力得分99％的置信區(qū)間為：第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的區(qū)間估計(jì)在一次測試中，得知某校150名學(xué)生的成績是,如果證實(shí)測驗(yàn)與預(yù)試的題目相同，被估計(jì)證實(shí)測驗(yàn)的平均成績是多少?1.平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差2.標(biāo)準(zhǔn)誤（）3.確定置信區(qū)間置信區(qū)間95%和99%，顯著性水平0.05,和0.014.根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計(jì)表總體方差未知，n=150＞30，接近正態(tài)分布，為t分布5.計(jì)算置信區(qū)間（1）95%或0.0578-1.96×0.7349＜μ＜78+1.96×0.734976.56＜μ＜79.44（2）99%或0.0178-2.576×0.7349＜μ＜78+2.576×0.734978-1.89＜μ＜78+1.8976.11＜μ＜79.896.解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間（1）被估計(jì)證實(shí)測驗(yàn)的平均成績在76.56-79.44之間，估計(jì)正確的概率為0.95（95%），錯(cuò)誤的概率0.05（5%）。（2）被估計(jì)證實(shí)測驗(yàn)的平均成績在76.11-79.89之間，估計(jì)正確的概率為0.99（99%），錯(cuò)誤的概率0.01（1%）。一、標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)間估計(jì)二、方差的區(qū)間估計(jì)1.

已知時(shí)，2的置信區(qū)間2.

未知時(shí)，2的置信區(qū)間例：已知某樣本的分散程度，樣本容量40，問該樣本之總體的分散程度如何。（用標(biāo)準(zhǔn)差與方差分別計(jì)算）。解1（標(biāo)準(zhǔn)差）：，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的分布接近正態(tài)分布，用Z分布。（1）0.95或0.0510-1.96×1.12＜σ＜10+1.96×1.127.8＜σ＜12.2（2）0.99或0.0110-2.58×1.12＜σ＜10+2.58×1.127.11＜σ＜12.89（1）樣本總體的分散程度，標(biāo)準(zhǔn)差在7.8-12.2之間，估計(jì)正確的概率為0.95（95%），錯(cuò)誤的概率0.05（5%）。（2）樣本總體的分散程度，標(biāo)準(zhǔn)差在7.11-12.89之間，估計(jì)正確的概率為0.99（99%），錯(cuò)誤的概率0.01（1%）。解1（方差）：卡方分布0.95或0.05三、二總體方差之比的區(qū)間估計(jì)第四節(jié)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、積差相關(guān)系數(shù)的抽樣分布（一）總體相關(guān)系數(shù)ρ﹥0，正偏態(tài)ρ﹤0，負(fù)偏態(tài)ρ

≠0，且n﹥500，接近正態(tài)（二）ρ=0，樣本r分布，服從df=n-2的t分布二、積差相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)（一）ρ=0時(shí)，df=n-2（二）ρ≠01.n﹥500，2.利用費(fèi)舍爾Z函數(shù)分布計(jì)算第五節(jié)比率及比率差異的區(qū)間估計(jì)?影響置信區(qū)間的因素，以總體平均數(shù)為例。Z，σ

和n1.置信區(qū)間的寬度受標(biāo)準(zhǔn)分Z的影響。（1）Z值由置信水平?jīng)Q定95%(±1.96),99%(±2.58)。置信水平越高，Z值越大，置信