計(jì)算機(jī)控制技術(shù)清華出版社第四章純滯后控制

4.4純滯后控制技術(shù)4.4.1史密斯(Smith)預(yù)估控制

4.4.2達(dá)林(Dahlin)算法

在工業(yè)過程(如熱工、化工)控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，許多被控制對象具有純滯后性質(zhì)。對象的這種純滯后性質(zhì)常引起系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)或者振蕩。純滯后：由于物料或能量的傳輸延遲引起的滯后現(xiàn)象；容量滯后：由于慣性引起的滯后。比如發(fā)酵過程，不是純滯后。1．施密斯預(yù)估控制原理

（1）原理分析：對于一個(gè)單回路系統(tǒng)若沒有純滯后，G（s）=GP（s）若有純滯后，，其中τ為純滯后時(shí)間

則，閉環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)是圖4-22帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)

那么，我們可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程

由于的存在，使得系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)很難分析得到，而且容易造成超調(diào)和振蕩。那么，如何消除分母上的？

經(jīng)典的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法一般都將純滯后環(huán)節(jié)進(jìn)行近似處理。若將對象用一階慣性環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)表示：

則可取：

當(dāng)時(shí)，采用常規(guī)的PID控制難以得到好的控制效果，對此類系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，為得到較好的控制性能，可適當(dāng)增加調(diào)節(jié)時(shí)間。解決方法：進(jìn)行純滯后補(bǔ)償。

補(bǔ)償?shù)哪康模菏沟醚a(bǔ)償后的等效對象的傳遞函數(shù)不包含純滯后特性，只含GP(S)。補(bǔ)償后，只需用常規(guī)方法針對GP(S)設(shè)計(jì)滿足性能指標(biāo)要求的控制器D(S)，無需考慮滯后環(huán)節(jié)；

（2）施密斯預(yù)估控制原理是：與D(s)并接一補(bǔ)償環(huán)節(jié)，用來補(bǔ)償被控制對象中的純滯后部分。這個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)稱為預(yù)估器，其傳遞函數(shù)為，τ為純滯后時(shí)間。

由施密斯預(yù)估器和調(diào)節(jié)器D(s)組成的補(bǔ)償回路稱為純滯后補(bǔ)償器，其傳遞函數(shù)為圖4-23帶施密斯預(yù)估器的控制系統(tǒng)

經(jīng)補(bǔ)償后的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

經(jīng)補(bǔ)償后，消除了純滯后部分對控制系統(tǒng)的影響，因?yàn)槭街械脑陂]環(huán)控制回路之外，不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，拉氏變換的位移定理說明，僅將控制作用在時(shí)間坐標(biāo)上推移了一個(gè)時(shí)間τ，控制系統(tǒng)的過渡過程及其它性能指標(biāo)都與對象特性為Gp(s)時(shí)完全相同。2．具有純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器

我們來分析一種具有純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器，該數(shù)字控制器由兩部分組成：一部分是數(shù)字PID控制器(由D(s)離散化得到)；一部分是施密斯預(yù)估器。圖4-24具有純滯后補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)u(k)是PID數(shù)字控制器的輸出，yτ(k)是施密斯預(yù)估器的輸出。從圖中可知，必須先計(jì)算傳遞函數(shù)Gp(s)的輸出m(k)后，才能計(jì)算預(yù)估器的輸出：yτ(k)=m(k)-m(k-N)。N=τ/T；式中：τ—純滯后時(shí)間；T—采樣周期；施密斯預(yù)估器的輸出可按下圖的順序計(jì)算。(1)施密斯預(yù)估器(1)施密斯預(yù)估器

滯后環(huán)節(jié)使信號延遲，為此，在內(nèi)存中專門設(shè)定N個(gè)單元作為存放信號m(k)的歷史數(shù)據(jù)，存貯單元的個(gè)數(shù)由N決定。每采樣一次，把m(k)記入0單元，同時(shí)把0單元原來存放數(shù)據(jù)移到1單元，1單元原來存放數(shù)據(jù)移到2單元…，依此類推。從單元N輸出的信號，就是滯后N個(gè)采樣周期的m(k-N)信號。

許多工業(yè)對象可近似用一階慣性環(huán)節(jié)和純滯后環(huán)節(jié)的串聯(lián)來表示：式中Kf——被控對象的放大系數(shù)；

Tf——被控對象的時(shí)間常數(shù)；

τ—純滯后時(shí)間。預(yù)估器的傳遞函數(shù)為(2)純滯后補(bǔ)償控制算法步驟①計(jì)算反饋回路的偏差e1(k):e1(k)=r(k)-y(k)②計(jì)算純滯后補(bǔ)償器的輸出yτ(k)③計(jì)算偏差e2(k)e2(k)=e1(k)-yτ(k)④計(jì)算控制器的輸出u(k)4.4.2達(dá)林(Dahlin)算法

對于具有純滯后的控制系統(tǒng)，比如熱工或化工過程，由于滯后的存在，容易引起系統(tǒng)超調(diào)和持續(xù)震蕩。對這些系統(tǒng)的調(diào)節(jié)，快速性是次要的，而對穩(wěn)定性、不產(chǎn)生超調(diào)的要求卻是主要的。本節(jié)介紹能滿足這些性能指標(biāo)的一種直接設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的方法—達(dá)林算法。4.4.2達(dá)林(Dahlin)算法

達(dá)林算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)是使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)所期望的傳遞函數(shù)Ф(s)相當(dāng)于一個(gè)延遲環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)相串聯(lián)(滿足準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，且適應(yīng)性強(qiáng))，即

整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的純滯后時(shí)間和被控對象Gc(s)的純滯后時(shí)間τ相同。閉環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)為，純滯后時(shí)間τ與采樣周期T有整數(shù)倍關(guān)系，τ=NT。

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控制器形式的推導(dǎo)

思路是用近似方法得到系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，然后再由被控系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，反推系統(tǒng)控制器的脈沖傳遞函數(shù)。由大林控制算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)，可知整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)當(dāng)是零階保持器與理想的φ(s)串聯(lián)之后的Z變換，即φ(z)如下：

于是系統(tǒng)控制器為：

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被控對象為帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)：帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)：其與零階保持器相串聯(lián)的的脈沖傳遞函數(shù)為：于是相應(yīng)的控制器形式為：

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被控對象為帶有純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)帶有純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)：其與零階保持器相串聯(lián)的的脈沖傳遞函數(shù)為：于是相應(yīng)的控制器形式為：

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例：已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試求大林算法數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：N=τ/T=2/1=2，被控對象是一階慣性環(huán)節(jié)，則廣義對象脈沖傳遞函數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)和數(shù)字調(diào)節(jié)器脈沖傳遞函數(shù)分別如下：

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Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖為

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(a)誤差曲線(b)控制量曲線(c)輸出曲線Dalin控制算法Simulink仿真結(jié)果為：例1

被控對象 ，取T=1s，利用擴(kuò)展z變換 廣義對象為 設(shè)期望閉環(huán)傳函為可得控制器

在階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出為 相應(yīng)的控制量為★仿真結(jié)果

可見，就輸出采樣點(diǎn)而言，是逐步平穩(wěn)地進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的。 但是由于控制量的大幅波動(dòng)，使得輸出采樣點(diǎn)之間也出現(xiàn)了紋波。振鈴現(xiàn)象 這種控制量以1/2采樣頻率大幅度的衰減振蕩，稱為“振鈴”。2、振鈴現(xiàn)象的消除方法

振鈴現(xiàn)象會(huì)引起采樣點(diǎn)之間的系統(tǒng)輸出紋波，并使執(zhí)行機(jī)構(gòu)磨損，甚至?xí){到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須設(shè)法消除。（1）振鈴現(xiàn)象產(chǎn)生的原因根本原因

U(z)

中含有單位圓內(nèi)靠近z=-1

處的極點(diǎn)（稱為振鈴極點(diǎn)），且該極點(diǎn)越靠近z=-1

，振幅就越大。表達(dá)了數(shù)字控制器的輸出與輸入函數(shù)在閉環(huán)時(shí)的關(guān)系，是分析振鈴現(xiàn)象的基礎(chǔ)。對于單位階躍輸入函數(shù)R(z)=1/(1-z-1)，含有極點(diǎn)z=1，當(dāng)極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上，且與z=-1點(diǎn)相近，那么數(shù)字控制器的輸出序列u(k)中將含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項(xiàng)。①帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)

被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)

求得極點(diǎn)

顯然z永遠(yuǎn)是大于零的。故得出結(jié)論：在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，數(shù)字控制器輸出對輸入的脈沖傳遞函數(shù)不存在負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。②帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)

被控制對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，

有兩個(gè)極點(diǎn)，第一個(gè)極點(diǎn)在

不會(huì)引起振鈴現(xiàn)象

第二個(gè)極點(diǎn)在

在T→0時(shí)，有

說明可能出現(xiàn)左半平面與z=-1相近的極點(diǎn)，這一極點(diǎn)將引起振鈴現(xiàn)象。

(2)振鈴幅度RA

振鈴幅度RA用來衡量振鈴強(qiáng)烈的程度。常用單位階躍作用下數(shù)字控制器第0次輸出量與第一次輸出量的差值來衡量振鈴現(xiàn)象強(qiáng)烈的程度。對于帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)，其振鈴幅度★消除方法方法1找出D(z)中引起振鈴現(xiàn)象的因子(z=-1附近的極點(diǎn))，然后令其中的z=1，根據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值。方法2

合理選擇采樣周期T與期望閉環(huán)傳函的時(shí)間常數(shù)T0

，使振鈴極點(diǎn)盡量遠(yuǎn)離z=－1。(3)振鈴現(xiàn)象的消除:其極點(diǎn)將引起振鈴現(xiàn)象，令極點(diǎn)因子(C1+C2z-1)中的z=1，就可消除這個(gè)振鈴極點(diǎn)。

消除振鈴極點(diǎn)z=-C2/C1后，有

這種消除振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻改變了數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)特性，將影響閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。方法1：從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性出發(fā)，選擇合適的采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間常數(shù)Tτ，使得數(shù)字控制器的輸出避免產(chǎn)生強(qiáng)烈的振鈴現(xiàn)象。方法2：例2、在例1中 可見，具有振鈴極點(diǎn)z=－0.733

令D(z)中振鈴因子中的z=1，即該因子變?yōu)槌?shù)1.733，則有

相應(yīng)的閉環(huán)傳函變?yōu)?在階躍輸入時(shí)，輸出為

控制量為★仿真結(jié)果

可見，振鈴現(xiàn)象與輸出紋波均已基本消除。

【注】上述方法隱含了對閉環(huán)傳函的調(diào)整，因此，一般應(yīng)檢驗(yàn)在其改變后系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

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振鈴現(xiàn)象的消除例3：已知某控制系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)為。試用大林算法設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)使系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為。設(shè)系統(tǒng)采樣周期T=0.5s，討論系統(tǒng)是否會(huì)發(fā)生振鈴現(xiàn)象？如果存在，應(yīng)該如何消除？解：T=0.5,T1=