2022-2023學年江蘇省鎮(zhèn)江市兩校高一下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市兩校2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知復數(shù)z滿足；(為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，得到，所以.故選：C.2.設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面內的一個基底，故不共線，根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，，故和共線，不能作為平面的基底，D錯誤，故選：D3.ABC中，，，ABC的面積為，則=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故選：．4.在△中，為邊上的中線，為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.5.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，故向量在向量方向上的投影向量為.故選：A6.已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，且測得點B對點A和點C的張角為120°，則點B到AC的距離為（）km．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理可得：，即，所以，解得.故選：B7.已知平面向量，，均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均為單位向量，所以，又所以，平方得，則.故選：A.8.已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點是線段的中點，所以，所以.故選：C二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.)9.在復平面內有一個，點為坐標原點，點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，則下列結論正確的是（）A.點C位于虛軸上 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，故，，又因為是平行四邊形，設，則，，由，得到，故，所以選項A正確，選項B，因為，所以，故選項B正確；選項C，，故選項C正確；選項D，，故選項D錯誤.故選：ABC.10.若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論中正確的是（）A.若，則B.若，則為直角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗在中，正弦定理，對于A，，A正確；對于B，由射影定理得，又，即，而，則，，為直角三角形，B正確；對于C，由正弦定理可得，即，而，則有或，即或，為等腰三角形或直角三角形，C不正確；對于D，，由射影定理得，即，而，則，，為直角三角形，D正確.故選：ABD11.tan75°＝（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正確；由正切的半角公式知，故B錯誤；，故C正確；∵，令，得，可得D正確.故選：ACD.12.如圖，設，且，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系，在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則下列結論中正確的是（）A.設，，若，則，B.設，則C.設，，若，則D.設，，若與的夾角為，則〖答案〗AC〖解析〗，對于A：即，則，，A正確；對于B：即，B錯誤；對于C：若，當即時，顯然滿足：；當即或時，則，使得，即則可得，消去得：；C正確；對于D：結合可A、B知：若，則，，根據(jù)題意得：即，可得：即，D不正確；故選：AC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知，復數(shù)為純虛數(shù)，則_____________．〖答案〗6〖解析〗因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故〖答案〗為：6.14.已知為第二象限角，且，則___________.〖答案〗〖解析〗為第二象限角，，，又，，，，，又為第二象限角，，.故〖答案〗為：.15.在中，點滿足:，，若，則=_________.〖答案〗3〖解析〗因為，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.故〖答案〗為：3.16.如圖所示，在等腰直角中，，O為中點，E，F(xiàn)分別是線段，上的動點，且．當時，則的值為______；的最大值為______．〖答案〗①.②.〖解析〗①因為是等腰直角三角形，又，所以，所以.因為，所以,在△中，由正弦定理得,△中，由余弦定理得.②設所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因為，所以當即時，取最小值.所以,所以的最大值為.故〖答案〗為：；.四、解答題(本大題共6小題，共計70分.)17.已知向量．（1）若向量與垂直，求實數(shù)k的值；（2）若向量，且與向量平行，求實數(shù)k的值．解：（1）因為，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因為，，因為，又與向量平行，所以，即，解得，所以.18.設是虛數(shù)，是實數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的實部的取值范圍．解：（1）設，則∵z2是實數(shù)，且，∴，得，∴.（2）由（1）知，則，即，∴z1的實部取值范圍為.19.已知向量，，.（1）求的值.（2）若，，且，求的值.解：（1）由題意，，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，又∵，，∴，20.在①，其中為角的平分線的長（與交于點），②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.在中，內角，，的對邊分別為，，，___________.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.解：（1）方案一：選條件①，由題意可得，.為的平分線，，，即又，，即，，方案二：選條件②由已知結合正弦定理得，由余弦定理得方案三：選條件③由正弦定理得，又，，，易知，；（2），又，，所以.21.扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內接矩形CDEF．（1）矩形CDEF的頂點C、D在扇形的半徑OB上，頂點E在圓弧AB上，頂點F在半徑OA上，設；（2）點M是圓弧AB的中點，矩形CDEF的頂點D、E在圓弧AB上，且關于直線OM對稱，頂點C、F分別在半徑OB、OA上，設；試研究（1）（2）兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？解：（1）在中，設，則又當即時，（2）令與的交點為，的交點為，則，于是，又當即時，取得最大值.,∴（1）（2）兩種方式下矩形面積的最大值為方式（1）：22.已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為-1，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)，有四個不同的零點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，對稱軸為，①當即時，當時，∴舍，②當即時，當時，∴，③當即是，當時，∴舍，綜上，.（2）令，即，∴或，∵，有四個不同的零點，∴方程和在上共有四個不同的實根，∴∴∴.江蘇省鎮(zhèn)江市兩校2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知復數(shù)z滿足；(為虛數(shù)單位)，則z的共軛復數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，得到，所以.故選：C.2.設是平面內的一個基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗D〖解析〗由于是平面內的一個基底，故不共線，根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，和不共線，和不共線，故A，B，C中向量能作為平面的基底，，故和共線，不能作為平面的基底，D錯誤，故選：D3.ABC中，，，ABC的面積為，則=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以．故選：．4.在△中，為邊上的中線，為的中點，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.5.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，故向量在向量方向上的投影向量為.故選：A6.已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，且測得點B對點A和點C的張角為120°，則點B到AC的距離為（）km．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由余弦定理可得：，即，所以，解得.故選：B7.已知平面向量，，均為單位向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗平面向量，，均為單位向量，所以，又所以，平方得，則.故選：A.8.已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，令，，于是，而，并且不共線，因此，解得，令，，則，從而，解得，因此點是線段的中點，所以，所以.故選：C二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.)9.在復平面內有一個，點為坐標原點，點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，則下列結論正確的是（）A.點C位于虛軸上 B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因為點對應的復數(shù)為，點對應的復數(shù)為，故，，又因為是平行四邊形，設，則，，由，得到，故，所以選項A正確，選項B，因為，所以，故選項B正確；選項C，，故選項C正確；選項D，，故選項D錯誤.故選：ABC.10.若的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結論中正確的是（）A.若，則B.若，則為直角三角形C.若，則為等腰三角形D.若，則為直角三角形〖答案〗ABD〖解析〗在中，正弦定理，對于A，，A正確；對于B，由射影定理得，又，即，而，則，，為直角三角形，B正確；對于C，由正弦定理可得，即，而，則有或，即或，為等腰三角形或直角三角形，C不正確；對于D，，由射影定理得，即，而，則，，為直角三角形，D正確.故選：ABD11.tan75°＝（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗，故A正確；由正切的半角公式知，故B錯誤；，故C正確；∵，令，得，可得D正確.故選：ACD.12.如圖，設，且，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系，在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則下列結論中正確的是（）A.設，，若，則，B.設，則C.設，，若，則D.設，，若與的夾角為，則〖答案〗AC〖解析〗，對于A：即，則，，A正確；對于B：即，B錯誤；對于C：若，當即時，顯然滿足：；當即或時，則，使得，即則可得，消去得：；C正確；對于D：結合可A、B知：若，則，，根據(jù)題意得：即，可得：即，D不正確；故選：AC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知，復數(shù)為純虛數(shù)，則_____________．〖答案〗6〖解析〗因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故〖答案〗為：6.14.已知為第二象限角，且，則___________.〖答案〗〖解析〗為第二象限角，，，又，，，，，又為第二象限角，，.故〖答案〗為：.15.在中，點滿足:，，若，則=_________.〖答案〗3〖解析〗因為，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所以.故〖答案〗為：3.16.如圖所示，在等腰直角中，，O為中點，E，F(xiàn)分別是線段，上的動點，且．當時，則的值為______；的最大值為______．〖答案〗①.②.〖解析〗①因為是等腰直角三角形，又，所以，所以.因為，所以,在△中，由正弦定理得,△中，由余弦定理得.②設所以,在△中，由正弦定理得.同理.所以，因為，所以當即時，取最小值.所以,所以的最大值為.故〖答案〗為：；.四、解答題(本大題共6小題，共計70分.)17.已知向量．（1）若向量與垂直，求實數(shù)k的值；（2）若向量，且與向量平行，求實數(shù)k的值．解：（1）因為，所以，又與垂直，所以，即，解得，所以.（2）因為，，因為，又與向量平行，所以，即，解得，所以.18.設是虛數(shù)，是實數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的實部的取值范圍．解：（1）設，則∵z2是實數(shù)，且，∴，得，∴.（2）由（1）知，則，即，∴z1的實部取值范圍為.19.已知向量，，.（1）求的值.（2）若，，且，求的值.解：（1）由題意，，∵，∴，∴；（2）∵，且，∴，又∵，，∴，20.在①，其中為角的平分線的長（與交于點），②，③這三個條件中任選一個，補充在下面