【2021】高中數(shù)學(xué)《1.2.2 組合》公開課優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計教案_第1頁
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文檔簡介

精品資源:名師優(yōu)品店鋪1.2.2合課要:知識與技能:理解組合的意義,能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū),能判斷一個問題是排列問題還是組合問題。過程與方法:了解組合數(shù)的意義,理解排列數(shù)合數(shù)公式進行計算。

與組合C之間的聯(lián)系,掌握組合數(shù)公式,能運用組n情感、態(tài)度與價值觀:能運用組合要領(lǐng)分析簡單的實際問題,提高分析問題的能力。教重:合的概念和組合數(shù)公式教難:合的概念和組合數(shù)公式授類:授課課安:課教

具多媒體、實物投影儀內(nèi)分:排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一組,并求有多少種不同法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問是否與順序有與順序有關(guān)的是排列問題,與順序無關(guān)是組合問題,順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要排列與組合的區(qū)別,從定義上來說是簡單的,但在具體求解程中學(xué)生往往感到困惑,分不清到底與順序有無關(guān).指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教秘訣在于度,學(xué)的真諦在于悟,只有學(xué)生真正理解了,才能舉一反三、融會貫.能列舉出某種方法時,讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒.學(xué)生易于辨別組合、全排列問題,而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時,引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后,按以下兩步思考:首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來,出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊,即第一步僅從組合的角度考慮,第二步則考慮元素是否需全列,如果不需要,是組合問題;否則是排列問.排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景,解題思路通常是依據(jù)具體做事的程,用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、具體情的出發(fā),正確領(lǐng)會問題的實質(zhì),抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)筆觀察,有些同學(xué)之所學(xué)習(xí)中感到抽象,不知如何思考,并不是因為數(shù)學(xué)知識跟不上,而是因為平時做事、考慮問題就缺乏理性,或解題思路是自己主觀想象的做法(很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法).要決這個問題,需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況,怎么做事就怎么分析,若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ撸M做事的過程則更能說精品資源:名師優(yōu)品店鋪

...........精品資源:名師優(yōu)品店鋪...........明問題久久之,學(xué)生的邏輯思維能力將會大大提.教過:一復(fù)引:1分類法計數(shù)原理:做一件事情,完成它可以有類辦,在第一類辦法中有

1

種不同的方法,在第二類辦法中有種同的方法,……,在第n辦法中有種同的方那完成這件事共有2Nm種不同的方法1n2.分步乘法計數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個驟,做第一步有

種不同的方法,做第二步有種同的方法,……,做第有種同的方法,那么完成這件事有2

N12

n種不同的方法3.排列的概念:從n個同元素中,任取m(m)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序成一列,叫做從n個同素中取出m個素的一個排列4.排列數(shù)的定義:從n不同元素中,任?。▊€元素的所有排列的個數(shù)叫做從n元素中取出m元素的排列數(shù),用符號m表5.排列數(shù)公式:

mn

n(n2)(

m,nN

,

)6階:n!表示正整數(shù)1到n連乘積,叫做n的乘規(guī)0!.7.排列數(shù)的另一個計算公式:

A

=

n!()!8.提出問題:示例1:從甲、乙、丙名學(xué)選出去參加某天的一項活動,其中1名同參加上午的活動1名同學(xué)參加下午的活動,有多少種不同的選法?示例2:從甲、乙、丙3名學(xué)選出2名去加一項活動,有多少種不同的選法?引導(dǎo)觀察:示例1中但要求選出2名學(xué),而且還要按照一定的順序“排列例2只要選出2名同學(xué),是與順序無關(guān)的引出題:組合.二講新:1組的概念般地個同元素中取出

個元素并成一組做從個同元素中取出

個元素的一個組合說明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——無序性;⑶相同組合:元素相同例.判斷下列問題是組合還是排列精品資源:名師優(yōu)品店鋪

........................m(1)在北京、上海、廣州三個航站之間的直達航線上,有多少種不同的飛機票?有多少種不同的飛機票價?(2)高中部11個進行籃球單環(huán)比賽,需要進行多少場比賽?(3)從全班23人選出3人別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù),有多少種不同的選法選出三人參加某項勞動,有多少種不同的選法?(4)10個人互相通信一次,共了多少封信?(5)10個人互通電話一次,共少個電話?問題)1、2和3、1、2相同的組合嗎?(2)什么樣的兩個組合就叫相的組合2.組合數(shù)的概念:從個同元素中取出

個元素的所有組合的個數(shù),叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)用符號C表示.3.組合數(shù)公式的推導(dǎo):(1)從4個不元素

a,c,d

中取出3個素的組合數(shù)

C

是多少呢?啟發(fā):由于排列先組合再排,而從個同元素中取出3個素的排列數(shù)可以考察一下C3和3的系,如下:組合排列

3

可以求得,故我們abcabdacdbcd

abc,abdbad,acdbcdcbd

cab,dabdac,dbc,

acbbca,adbbdaadc,cdabdc由此可知每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列個不同元素中取出3個素的排列數(shù)

3

,可以分如下兩步:①考從個同元素中取出個素的組合,共有

C

個;②對每個組合的3個不同元素進行全排列,各有

A3

種方法.由分步計數(shù)原理得:

3

334

,所以,

C

33

.(2)推廣:一般地,求從n個同元素中取出個素的排列數(shù)①先從個同元素中取出m個元素的組合C;

A

,可以分如下兩步:②求一個組合中m個元全排列數(shù),根據(jù)分步計數(shù)原理得:A=Cn(3)組合數(shù)的公式:

.精品資源:名師優(yōu)品店鋪

精品資源:名師優(yōu)品店鋪Amn(nn(nCmAmm!或

mn

n!m!(n)!

n

n)規(guī)定:

.三講范:例.用計算器計算

.解:由計算器可得例.計算C;)7;10(1)解:

C7

74!

=35(2)解法:

C10

7!

=120.解法:

C10

10!7!3!3!

=120.例.證:

Cmn

n

mn

.證明:∵

mn

n!m!(n)!mn

n

mn!n(m1)!(n==

mn!((n1)!n!!(n)!∴

Cmn

n

mn例.

N求C

xx

xx

的值解:由題意可得:

2xx2x

,解得

24

,∵

xN

,∴

2

4

,精品資源:名師優(yōu)品店鋪

精品資源:名師優(yōu)品店鋪當(dāng)x2時式值為7;當(dāng)x時式為7當(dāng)4原式值為11∴所求值為4或7或11.例.一教練的足球隊共有17名級學(xué)員們以前沒一人參加過比賽照球比賽規(guī)則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人問:(l)位教練從這17名員中可以形成多少種學(xué)員上場方案?(2)如果在選出11名場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情?分:對于1),根據(jù)題意17名學(xué)沒有角色差異,地位完全一樣,因此這是一個從17個同素中選出11個素的組合問題;對于(2守門員的位置是特殊的,其余上場學(xué)員的地位沒有差異,因此這是一個分步完成的組合問題.解(1)由于上場學(xué)員沒有角色差異,所以可以形成的學(xué)員上方案有C}=12376(種)(2)教練員可以分兩步完成這件情:第1步,從17名學(xué)中選出n人組成上場小組,共有

種選法;第2步,從選出的人中出1名門員,共有

種選法.所以教練員做這件事情的方法數(shù)有

=136136(種)例)平面內(nèi)有10個點,以其中每2個為端點的線段共有多少條?(2)平面內(nèi)有個點以其中個點為端點的有向線段共有多少條?解(1以平面內(nèi)10個點中每2個點端點的線段的條數(shù),是從10個不同的元素中取出2個素的組合數(shù),即線段共有

210

1

45

(條)(2)由于有向線段的兩個端點中個是起點、另一個是終點,以平面內(nèi)0個中每2個為端點的有向線段的條數(shù),就是從10個同元素中取出2個元的排列數(shù),即有向線段共有A

10

(條)例.件產(chǎn)中,有98件格品,件次.從這100產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中好有1件次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中少有1件次品的抽法有多少種?解(1所求的不同抽法的種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù),所以共有

3100

1001

=161700()精品資源:名師優(yōu)品店鋪

221+C+221+C+(2從2件品中抽出1件品的抽法有種98件合格品中出件合品的抽法有C98種,因此抽出的3件恰好有1件品的抽法有2

=9506(.(3解1從100件品抽出的件中至少有1件次品包括有1件品和有件品兩種情況題已求得其中1件次品的抽法有

98

種此據(jù)分類加法計數(shù)原理的

3件中至少有一件是次品的抽法有+2

=9604(種).解2抽出的3件品中至少有1件次品的抽法的種數(shù)是件中抽出3件抽法種數(shù)減去件都是合格品的抽法的種數(shù),即

=161700-152096=9604()說明:“至少”“至多”的問題,通常用分類法或間接法求解。變:按下列條件,從12人中出5人,多少種不同選法?(1)甲、乙、丙三人必須當(dāng)選(2甲、乙、丙三人不能當(dāng)選;(3)甲必須當(dāng)選,乙、丙不能選;(4)甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選;(5)甲、乙、丙三人至多2人選;(6甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選;例(1)6本不的書分給甲、乙、丙3同,每人各得本有多少種不同的分法?解:

.(2)男生和4個女中選出4名學(xué)參一次會議,要求至少有名男生和1名女生參加,有多少種選法?解:問題可以分成2類:第一類2名男和2名生參加,有

25

24

中選法;第二類3名男和1名生參加,有

40

中選法依據(jù)分類計數(shù)原理,共有種法錯解:

2C46

種選法引學(xué)生用直接法檢驗,知重復(fù)的很多例10.名生和6名女生組成至少1個生參加的三人社會實踐活動小組法共有多少種?解法一法小組構(gòu)成有種情形32男1女1女分別有C3

,

,所以,一共有

C

21

=100種法.精品資源:名師優(yōu)品店鋪

....m精品資源:名師優(yōu)品店鋪....m解法二接)

100組合數(shù)的性質(zhì)1:

C

.一般地,從n個同元素中取出個素后,剩下n個素.因為從n個同元素中取出m個元素的每一個組合,與剩下的nm個元素的每一個組合一一對,以從n個同元素中取出m個元素的組合數(shù),等于從這n個素中取出m個元的組合數(shù),即:

C

.在這里,主要體現(xiàn)法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想證明:∵C

!n!(n)]!m!(n)!又

n!m)!

,∴

C

mn說明:①規(guī)定:

;②等式特點:等式兩邊下標(biāo)同,上標(biāo)之和等于下標(biāo);③此性質(zhì)作用:當(dāng)

時,計算C可為計算,能夠使運算簡.n例如C2001=C20012002

=C

=2002;④

xyxy

x

.2.組合數(shù)的性質(zhì)2:

=Cm+C

.一般地,從

a,a1

n

這+1個同元素中取出m個元素的組合數(shù)是

,這些組合可以分為兩類:一類含有元素

1

,一類不含有

1

.含有

1

的組合是從

a,,,2

n

這個素中取出m個元素與

1

組成的,共有

個;不含有

1

的組合是從

aa,2

n

這n個元素中取出個元組成的,共有個根據(jù)分計數(shù)原理,可以得到組合數(shù)的另一個性質(zhì).在這里,主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想與含其元素”的分思想.證明:

n!n!m!!()!(mnm1)]!m!(m1)!

()n!(!(n1)!

=Cm+Cn

.說明:①公式特征:下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個組合數(shù)之和,等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大相同的一個組合數(shù);②此性質(zhì)的作用:恒等變形,簡化運算精品資源:名師優(yōu)品店鋪

xxx精品資源:名師優(yōu)品店鋪xxx例11.一個口袋內(nèi)裝有大小不同的個白和個黑球,(1)從口袋內(nèi)取出3個,共有多少種取法?(2)從口袋內(nèi)取出3個,使其中含有1個球,有多少種取法?(3)從口袋內(nèi)取出3個,使其中不含黑球,有多少種取法?解)

,或C

C

21

.例12)計算:

C

C

;(2)求證:

=n+Cn+Cnmmm

.解)原式

C462108891010

;證明)邊

nm

nm

)C

nm

nm

)

n

n

C

n

左邊例13.解方程

)解方程:

xx

xx

110

x

.解)由原方程得

x或x,∴x4或x,又由x得且x,∴原方程的解為4或xN上述求解過程中的不等式組可以不,接把

x4

x

代入檢驗這樣運算量小得多.(2)原方程可化為

xx

1,C1010

,∴

((x3)!5!(x2)!10

,∴

1120(x2)!10x

,∴

x

,得x4x

,經(jīng)檢驗:4是方的解例14.證明:

npmmm

。證:式左端可看成一個班有

m

個同學(xué),從中選出

n

個同學(xué)組成興趣小組,在選出的

n

個同學(xué)中,

個同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組余下

個同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)式右端可看成直接在

個同學(xué)中選出

個同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組,在余下的

m

個同學(xué)中選出

個同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然,兩種選法是一致的,故左=邊,等式成立。例15.證明:

C

m

(其中

證:某班有個同學(xué)、女同學(xué),從中選出m個同學(xué)組成興趣小組,可分為m類男精品資源:名師優(yōu)品店鋪

精品資源:名師優(yōu)品店鋪同學(xué)個個m個女同學(xué)分別為m個m個個有法數(shù)為

。又由組合定義知選法數(shù)為

m

,故等式成立。例16.證明:

12n

n

。證:邊

C

C

=

C

,其中

iin

可表示先在元素里選i個再從i元素里選一個的組合數(shù)。設(shè)某班有n個學(xué),選出若干人(至少1人組興趣小組,并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)i

分類(

i

,n

則選法總數(shù)即為原式左邊。現(xiàn)換一種選法,先選組長,n種法,再決定剩下的人否參加,每人都有兩種可能,所以組員的選法有

種,所以選法總數(shù)為

n

n

種。顯然,兩種選法是一致的,故左右邊,等式成立。例17.證明:

122

1)2

。證:于

iiCC1Ciiin

可表示先在

n

個元素里選

i

個,再從

i

個元素里選兩個(可重復(fù))的組合數(shù),所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上,再指定一人為副組長(可兼職)的組合數(shù)。對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個人兩種情況。若組長和副組長是同一個人,則有

n

n

種選法組和副組長不是同一個有

n(n

n

種選法共

2

+

n(n

n

(n

種選法。顯然,兩種選法是一致的,故左=右,等式成立。例18第17屆界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有2支球隊有幸參加,他們先分成8個組循環(huán)賽,決出16強每隊均與本組其他隊賽一場,各組一、二名晉級16強支球隊按確定的程序進行淘汰賽,最后決出冠亞軍,此外還要決出第三、四名,問這次世界杯總共將行多少場比賽?答案是:

8264

,這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解:可分為如下幾類比賽:⑴小組循環(huán)賽:每組有6場,個組共有48場⑵八分之一淘汰賽8個組的第一、二名組成16強,據(jù)抽簽規(guī)則,每兩個隊比賽一場,可以出8強,共有8場⑶四分之一淘汰賽:根據(jù)抽簽規(guī)則8中每兩個隊比賽一場,可以決出4強共有4場⑷半決賽:根據(jù)抽簽規(guī)則4強每兩個隊比賽一場,可以決出2強共有2場⑸決賽:強比1場定冠亞,中的另兩隊比賽1決出第三、四名共2場精品資源:名師優(yōu)品店鋪

精品資源:名師優(yōu)品店鋪綜上,共有64四課練:

場1.判斷下列問題哪個是排列問,哪個是組合問題:(1從4個景點中選出2個排游覽,有多少種不同的方法?(2從4個景點中選出2個并確定這2個風(fēng)景點的游覽順序,有多少種不同的方法?2.

名同學(xué)進行乒乓球擂臺賽,決出新的擂主,則共需進行的比賽場數(shù)為()A

B

.7

D.63.如果把兩條異面直線看作“對五棱錐的棱所在的直線中,異面直線有()A

B

25

30

D

20

對4.設(shè)全集

U

A

B

的子集,若

A

3

個元素,

B

個元素,且

求集合A、,本題的解的個數(shù)為()A.

B.21

.7

D.35.從

位候選人中選出

2

人分別擔(dān)任班長和團支部書記,有種不同的選法6.從

位同學(xué)中選出

2

人去參加座談會,有種同的選法7.圓上有10個點:(1過每2個畫一條弦,一共可畫

條弦;(2過每3個畫一個圓內(nèi)接三角形,一共可畫

個圓內(nèi)接三角形8)五邊形有

條對角線)

五邊形有

條對角線9.計算)

15

36

48

.10.

,B,C,5

個足球隊進行單循環(huán)比賽比賽多少場若隊的得分互不相同則冠、亞軍的可能情況共有多少種?11.空間有10個,其中任何4點不面過每3個作一個平面,一共可作多少個平面?)以每4個為頂點作一個四面體,一共可作多少個四面體?12.壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的民幣各一張,一共可以組成多少種幣值?13.寫出從

,bcde這5個素中每次取出個所有不同的組合答案:(1組合(2)排列

B3.A4.D

306.15(1)45(2120

)5(2)

(/2精品資源:名師優(yōu)品店鋪

精品資源:名師優(yōu)品店鋪⑴455;⑵

27

10.⑴10⑵2011.⑴

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