【2021】高中數(shù)學(xué)《1.2.2 組合》公開課優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)教案

精品資源：名師優(yōu)品店鋪1．2．2合課要：知識與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)，能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題。過程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù)合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。

與組合C之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組n情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力。教重：合的概念和組合數(shù)公式教難：合的概念和組合數(shù)公式授類：授課課安：課教

具多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)分：排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問是否與順序有與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān).指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會貫.能列舉出某種方法時(shí)，讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒.學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，出元素后再去考慮是否要對元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問.排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識經(jīng)驗(yàn)、具體情的出發(fā)，正確領(lǐng)會問題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)筆觀察，有些同學(xué)之所學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問題就缺乏理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要決這個(gè)問題，需要師生一道在分析問題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程則更能說精品資源：名師優(yōu)品店鋪

．．．．．．．．．．．精品資源：名師優(yōu)品店鋪．．．．．．．．．．．明問題久久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會大大提.教過：一復(fù)引：1分類法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有類辦，在第一類辦法中有

1

種不同的方法，在第二類辦法中有種同的方法，……，在第n辦法中有種同的方那完成這件事共有2Nm種不同的方法1n2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)驟，做第一步有

種不同的方法，做第二步有種同的方法，……，做第有種同的方法，那么完成這件事有2

N12

n種不同的方法3．排列的概念：從n個(gè)同元素中，任取m（m）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序成一列，叫做從n個(gè)同素中取出m個(gè)素的一個(gè)排列4．排列數(shù)的定義：從n不同元素中，任?。▊€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號m表5．排列數(shù)公式：

mn

n(n2)(

（

m,nN

,

）6階：n!表示正整數(shù)1到n連乘積，叫做n的乘規(guī)0!．7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：

A

=

n!()!8.提出問題：示例1：從甲、乙、丙名學(xué)選出去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同參加上午的活動(dòng)1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名學(xué)選出2名去加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中但要求選出2名學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列例2只要選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的引出題：組合．二講新：1組的概念般地個(gè)同元素中取出

個(gè)元素并成一組做從個(gè)同元素中取出

個(gè)元素的一個(gè)組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；⑶相同組合：元素相同例．判斷下列問題是組合還是排列精品資源：名師優(yōu)品店鋪

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．m（1）在北京、上海、廣州三個(gè)航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？（2）高中部11個(gè)進(jìn)行籃球單環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場比賽？（3）從全班23人選出3人別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？（4）10個(gè)人互相通信一次，共了多少封信？（5）10個(gè)人互通電話一次，共少個(gè)電話？問題）1、2和3、1、2相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相的組合2．組合數(shù)的概念：從個(gè)同元素中取出

個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號C表示．3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不元素

a,c,d

中取出3個(gè)素的組合數(shù)

C

是多少呢？啟發(fā)：由于排列先組合再排，而從個(gè)同元素中取出3個(gè)素的排列數(shù)可以考察一下C3和3的系，如下：組合排列

3

可以求得，故我們abcabdacdbcd

abc,abdbad,acdbcdcbd

cab,dabdac,dbc,

acbbca,adbbdaadc,cdabdc由此可知每一個(gè)組合都對應(yīng)著6個(gè)不同的排列個(gè)不同元素中取出3個(gè)素的排列數(shù)

3

，可以分如下兩步：①考從個(gè)同元素中取出個(gè)素的組合，共有

C

個(gè)；②對每個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有

A3

種方法．由分步計(jì)數(shù)原理得：

3

＝

334

，所以，

C

33

．（2）推廣：一般地，求從n個(gè)同元素中取出個(gè)素的排列數(shù)①先從個(gè)同元素中取出m個(gè)元素的組合C；

A

，可以分如下兩步：②求一個(gè)組合中m個(gè)元全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：A＝Cn（3）組合數(shù)的公式：

．精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪Amn(nn(nCmAmm!或

mn

n!m!(n)!

n

n)規(guī)定:

.三講范：例．用計(jì)算器計(jì)算

．解：由計(jì)算器可得例．計(jì)算C；）7；10（1）解：

C7

74!

＝35（2）解法：

C10

7!

＝120．解法：

C10

10!7!3!3!

＝120．例．證：

Cmn

n

mn

．證明：∵

mn

n!m!(n)!mn

n

mn!n(m1)!(n＝＝

mn!((n1)!n!!(n)!∴

Cmn

n

mn例．

N求C

xx

xx

的值解：由題意可得：

2xx2x

，解得

24

，∵

xN

，∴

2

或

或

4

，精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪當(dāng)x2時(shí)式值為7；當(dāng)x時(shí)式為7當(dāng)4原式值為11∴所求值為4或7或11．例．一教練的足球隊(duì)共有17名級學(xué)員們以前沒一人參加過比賽照球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是11人問：(l)位教練從這17名員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？(2)如果在選出11名場隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分：對于1)，根據(jù)題意17名學(xué)沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從17個(gè)同素中選出11個(gè)素的組合問題；對于（2守門員的位置是特殊的，其余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題．解(1）由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上方案有C｝＝12376（種）(2）教練員可以分兩步完成這件情：第1步，從17名學(xué)中選出n人組成上場小組，共有

種選法；第2步，從選出的人中出1名門員，共有

種選法．所以教練員做這件事情的方法數(shù)有

=136136（種）例）平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2）平面內(nèi)有個(gè)點(diǎn)以其中個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解(1以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)端點(diǎn)的線段的條數(shù)，是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)素的組合數(shù)，即線段共有

210

1

45

（條）(2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)0個(gè)中每2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)同元素中取出2個(gè)元的排列數(shù)，即有向線段共有A

10

（條）例．件產(chǎn)中，有98件格品，件次．從這100產(chǎn)品中任意抽出3件.(1）有多少種不同的抽法？(2）抽出的3件中好有1件次品的抽法有多少種？(3）抽出的3件中少有1件次品的抽法有多少種？解(1所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有

3100

1001

=161700（）精品資源：名師優(yōu)品店鋪

221+C+221+C+(2從2件品中抽出1件品的抽法有種98件合格品中出件合品的抽法有C98種，因此抽出的3件恰好有1件品的抽法有2

=9506(.(3解1從100件品抽出的件中至少有1件次品包括有1件品和有件品兩種情況題已求得其中1件次品的抽法有

98

種此據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理的

3件中至少有一件是次品的抽法有+2

=9604（種）.解2抽出的3件品中至少有1件次品的抽法的種數(shù)是件中抽出3件抽法種數(shù)減去件都是合格品的抽法的種數(shù)，即

=161700-152096=9604（）說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。變：按下列條件，從12人中出5人，多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選（2甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能選；（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人選；（6甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例（1）6本不的書分給甲、乙、丙3同，每人各得本有多少種不同的分法？解：

．（2）男生和4個(gè)女中選出4名學(xué)參一次會議，要求至少有名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：問題可以分成2類：第一類2名男和2名生參加，有

25

24

中選法；第二類3名男和1名生參加，有

40

中選法依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種法錯(cuò)解：

2C46

種選法引學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，知重復(fù)的很多例10．名生和6名女生組成至少1個(gè)生參加的三人社會實(shí)踐活動(dòng)小組法共有多少種？解法一法小組構(gòu)成有種情形32男1女1女分別有C3

，

，所以，一共有

C

21

＝100種法．精品資源：名師優(yōu)品店鋪

．．．．m精品資源：名師優(yōu)品店鋪．．．．m解法二接）

100組合數(shù)的性質(zhì)1：

C

．一般地，從n個(gè)同元素中取出個(gè)素后，剩下n個(gè)素．因?yàn)閺膎個(gè)同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的nm個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對，以從n個(gè)同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)素中取出m個(gè)元的組合數(shù)，即：

C

．在這里，主要體現(xiàn)法”與“剩法”是“一一對應(yīng)”的思想證明：∵C

!n!(n)]!m!(n)!又

n!m)!

，∴

C

mn說明：①規(guī)定：

；②等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；③此性質(zhì)作用：當(dāng)

時(shí)，計(jì)算C可為計(jì)算，能夠使運(yùn)算簡.n例如C2001＝C20012002

＝C

=2002；④

xyxy

或

x

．2．組合數(shù)的性質(zhì)2：

＝Cm+C

．一般地，從

a,a1

n

這+1個(gè)同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是

，這些組合可以分為兩類：一類含有元素

1

，一類不含有

1

．含有

1

的組合是從

a,,,2

n

這個(gè)素中取出m個(gè)元素與

1

組成的，共有

個(gè)；不含有

1

的組合是從

aa,2

n

這n個(gè)元素中取出個(gè)元組成的，共有個(gè)根據(jù)分計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)．在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想與含其元素”的分思想．證明：

n!n!m!!()!(mnm1)]!m!(m1)!

()n!(!(n1)!

∴

＝Cm+Cn

．說明：①公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大相同的一個(gè)組合數(shù)；②此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算精品資源：名師優(yōu)品店鋪

xxx精品資源：名師優(yōu)品店鋪xxx例11．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的個(gè)白和個(gè)黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)，使其中含有1個(gè)球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)，使其中不含黑球，有多少種取法？解）

,或C

C

21

）

．例12）計(jì)算：

C

C

；（2）求證：

＝n+Cn+Cnmmm

．解）原式

C462108891010

；證明）邊

nm

nm

)C

nm

nm

)

n

n

C

n

左邊例13．解方程

）解方程：

xx

xx

110

x

．解）由原方程得

x或x，∴x4或x，又由x得且x，∴原方程的解為4或xN上述求解過程中的不等式組可以不,接把

x4

和

x

代入檢驗(yàn)這樣運(yùn)算量小得多.（2）原方程可化為

xx

1，C1010

，∴

((x3)!5!(x2)!10

，∴

1120(x2)!10x

，∴

x

，得x4x

，經(jīng)檢驗(yàn)：4是方的解例14．證明：

npmmm

。證：式左端可看成一個(gè)班有

m

個(gè)同學(xué)，從中選出

n

個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的

n

個(gè)同學(xué)中，

個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組余下

個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)式右端可看成直接在

個(gè)同學(xué)中選出

個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的

m

個(gè)同學(xué)中選出

個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左=邊，等式成立。例15．證明：

…

C

m

（其中

證：某班有個(gè)同學(xué)、女同學(xué)，從中選出m個(gè)同學(xué)組成興趣小組，可分為m類男精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪同學(xué)個(gè)個(gè)m個(gè)女同學(xué)分別為m個(gè)m個(gè)個(gè)有法數(shù)為

…

。又由組合定義知選法數(shù)為

m

，故等式成立。例16．證明：

12n

…

n

。證：邊

C

C

=

C

，其中

iin

可表示先在元素里選i個(gè)再從i元素里選一個(gè)的組合數(shù)。設(shè)某班有n個(gè)學(xué)，選出若干人（至少1人組興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)i

分類（

i

，n

則選法總數(shù)即為原式左邊?，F(xiàn)換一種選法，先選組長，n種法，再?zèng)Q定剩下的人否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有

種，所以選法總數(shù)為

n

n

種。顯然，兩種選法是一致的，故左右邊，等式成立。例17．證明：

122

…

1)2

。證：于

iiCC1Ciiin

可表示先在

n

個(gè)元素里選

i

個(gè)，再從

i

個(gè)元素里選兩個(gè)（可重復(fù)）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長（可兼職）的組合數(shù)。對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個(gè)人兩種情況。若組長和副組長是同一個(gè)人，則有

n

n

種選法組和副組長不是同一個(gè)有

n(n

n

種選法共

2

+

n(n

n

(n

種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左=右，等式成立。例18第17屆界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有2支球隊(duì)有幸參加，他們先分成8個(gè)組循環(huán)賽，決出16強(qiáng)每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場，各組一、二名晉級16強(qiáng)支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將行多少場比賽？答案是：

8264

，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解：可分為如下幾類比賽：⑴小組循環(huán)賽：每組有6場，個(gè)組共有48場⑵八分之一淘汰賽8個(gè)組的第一、二名組成16強(qiáng)，據(jù)抽簽規(guī)則，每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以出8強(qiáng)，共有8場⑶四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)則8中每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出4強(qiáng)共有4場⑷半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)則4強(qiáng)每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出2強(qiáng)共有2場⑸決賽：強(qiáng)比1場定冠亞，中的另兩隊(duì)比賽1決出第三、四名共2場精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪綜上，共有64四課練：

場1．判斷下列問題哪個(gè)是排列問，哪個(gè)是組合問題：（1從4個(gè)景點(diǎn)中選出2個(gè)排游覽，有多少種不同的方法？（2從4個(gè)景點(diǎn)中選出2個(gè)并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2．

名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為（）A

．

B

．

．7

D．63．如果把兩條異面直線看作“對五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（）A

．

對

B

．

25

對

．

30

對

D

．

20

對4．設(shè)全集

U

A

、

B

是

的子集，若

A

有

3

個(gè)元素，

B

有

個(gè)元素，且

求集合A、，本題的解的個(gè)數(shù)為（）A．

B．21

．7

D．35．從

位候選人中選出

2

人分別擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記，有種不同的選法6．從

位同學(xué)中選出

2

人去參加座談會，有種同的選法7．圓上有10個(gè)點(diǎn)：（1過每2個(gè)畫一條弦，一共可畫

條弦；（2過每3個(gè)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫

個(gè)圓內(nèi)接三角形8）五邊形有

條對角線）

五邊形有

條對角線9．計(jì)算）

15

）

36

48

．10．

,B,C,5

個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽比賽多少場若隊(duì)的得分互不相同則冠、亞軍的可能情況共有多少種？11．空間有10個(gè)，其中任何4點(diǎn)不面過每3個(gè)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè)平面？）以每4個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？12．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13．寫出從

,bcde這5個(gè)素中每次取出個(gè)所有不同的組合答案：（1組合（2）排列

B3.A4.D

306.15（1）45（2120

）5（2）

(/2精品資源：名師優(yōu)品店鋪

精品資源：名師優(yōu)品店鋪⑴455；⑵

27

10.⑴10⑵2011.⑴