大一第二學(xué)期-微積分9.2一階微分方程

9.2一階微分方程1.可分離變量的微分方程2.齊次微分方程3.一階線性微分方程00:01:12（1）分離變量;（2）兩端積分------隱式通解.1、可分離變量的微分方程:分離變量法復(fù)習(xí)一階微分方程求解方法（初等積分法）00:01:129.2一階微分方程1.可分離變量的微分方程2.齊次微分方程3.一階線性微分方程00:01:12二、齊次微分方程形如微分方程的右端為齊次函數(shù).若這里t為任意則稱為齊次函數(shù)）．例下列方程為齊次微分方程.定義稱為齊次微分方程.實(shí)數(shù)，（齊次函數(shù)是指：齊次微分方程的特點(diǎn)：的微分方程，9.2一階微分方程

00:01:12可分離變量的方程(化為可分離變量的微分方程)（4）齊次微分方程的解法對齊次微分方程即作變量代換兩邊求導(dǎo)得將其代入原方程，得(替換分離法)求出積分后，即得原方程的解。分離變量得它的通解為

二、齊次微分方程00:01:12例1求微分方程的通解．作變量代換即分離變量取積分，得

求不定積分，得

即將回代，解即則得到原方程的通解為二、齊次微分方程（替換分離法）00:01:12例2

求微分方程的通解.解即分離變量取積分，得

求不定積分，得

即將回代，作變量代換即則得到原方程的通解為

原方程可寫為00:01:12二、齊次微分方程（替換分離法）解原方程可改寫成代入原方程得分離變量得兩邊積分得則原方程的通解為例300:01:12二、齊次微分方程（替換分離法）例4Solution.00:01:12二、齊次微分方程（替換分離法）00:01:12二、齊次微分方程（替換分離法）例4三、一階線性微分方程形如一階線性微分方程.

的微分方程,也稱為與方程相對應(yīng)的一階線性齊次微分方程。定義或稱線性齊次方程為線性非齊次方程的特殊情況。稱為上方程稱為一階線性齊次方程.上方程稱為一階線性非齊次方程.特點(diǎn)“一階”：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一階.“線性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.00:01:12非齊次項(xiàng)或右端項(xiàng)例一階線性齊次方程一階線性非齊次方程三、一階線性微分方程（一）一階線性齊次微分方程的求解00:01:12（一）一階線性齊次微分方程的求解求線性齊次方程的通解.（C為任意常數(shù)）(使用分離變量法)（通解公式）三、一階線性微分方程00:01:12解2將方程兩邊同除以x，得這是一個(gè)線性齊次方程，代入通解公式得例1（用分離變量法）解1（公式法）（通解公式）例2三、一階線性微分方程00:01:12例2解這是一個(gè)線性齊次方程，代入通解公式得三、一階線性微分方程例3（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:12求線性非齊次方程的通解.（二）一階線性非齊次微分方程的求解由于線性齊次方程是線性非齊次方程的特殊情況，我們可設(shè)想將齊次線性方程通解式中的常數(shù)C換成待定函數(shù)有可能是線性非齊次方程即的解。

下面我們研究這種方法的可行性。三、一階線性微分方程00:01:12將上式變形為兩邊積分為非齊次方程通解形式與線性齊次方程通解相比:求線性非齊次方程的通解.則

由此，引入求解一階線性非齊次方程的常數(shù)變易法。（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:12求非齊次線性方程的通解.設(shè)將其對x求導(dǎo),得是非齊次方程的解,將上式積分，得其中C(x)為待定.（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:12

上式即為線性非齊次微分方程的通解.(通解公式)（二）一階線性非齊次微分方程的求解得線性非齊次方程的通解常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.00:01:12一階線性非齊次微分方程的通解可寫為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解結(jié)論：一階線性非齊次方程的通解是對應(yīng)的線性齊次方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和。以后還會(huì)看到，這個(gè)結(jié)論對于高階線性非齊次方程亦成立。（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:12一階線性非齊次微分方程的兩種求解方法方法一：常數(shù)變易法（1）求齊次方程的通解（2）將齊次方程通解中的常數(shù)變易為函數(shù)（3）變易后的函數(shù)代入非齊次方程中確定（*）（4）函數(shù)代入（*）式得非齊次通解求線性非齊次方程的通解.00:01:12方法二：公式法（1）將給定方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程形式（2）確定方程中的（3）將代入方程的通解公式中（4）積分得線性非齊次微分方程通解.一階線性非齊次微分方程的兩種求解方法00:01:12解例1第一步，求相應(yīng)的線性齊次方程的通解.的通解求方程（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:12或解第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解例1.的通解求方程（二）一階非齊次線性微分方程的求解00:01:13解2(公式法)例2解法1（常數(shù)變易法）所以（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:13故得原線性非齊次微分方程的通解為（二）一階線性非齊次微分方程的求解例200:01:13解法2公式法將其代入公式通解公式，得通解00:01:13

將方程標(biāo)準(zhǔn)化為于是由初始條件故所求特解為得例3解的特解.（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:13例4解代入通解公式得將（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:13注意:類似地，對于以x為函數(shù)的一階非齊次線性方程同時(shí)也有常數(shù)變易法.（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:13例5則方程可改寫為解對于未知函數(shù)x(y為自變量)來說，其通解公式為性非齊次方程上式方程為一階線由方程變?yōu)閯t顯然不是線性微分方程.（二）一階線性非齊次微分方程的求解00:01:13這里將其代入通解公式，得所求方程的通解為00:01:13（1）分離變量;（2）兩端積分------隱式通解.1、可分離變量的微分方程:2、齊次方程分離變量法替換分離法小結(jié)典型的一階微分方程求解方法即得原方程的解。求出它的通解后,

（初等積分法）00:01:133、一階線性微分方程（通解公式）①公式法②分離變量法②求線性非齊次方程的通解.①線性齊次方程的的通解.①公式法（通解公式）②常數(shù)變易法典型的一階微分方程求解方法（初等積分法）00:01:13小結(jié)作業(yè)

P3703（4，7）,5（2，4，5）00:01:13下次課內(nèi)容

期末總復(fù)習(xí)思考題1.求解微分方程2.方程是否為齊次方程?9.2一階微分方程00:01:13思考題解答為所求解.9.2一階微分方程1.求解微分方程解:00:01:13解:方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo):原方程是齊次方程.9.2一階微分方程2.方程是否為齊次方程?00:01:139.2一階微分方程解:00:01:13例4

求解微分方程微分方程的通解為解，則xduudxdy+=00:01:13二、齊次微分方程（替換分離法）練習(xí)題一、求下列微分方程的通解:

1.0tansectansec22=+xdyyydxx；

2.0)()(=++-++dyeedxeeyyxxyx；

3.0)1(32=++xdxdyy.

二、

求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.xdxyydyxsincossincos=,40p==xy；

2.0sin)1(cos=++-ydyeydxx,40p==xy.

00:01:13練習(xí)題00:01:13五、

求下列齊次方程的通解:

1.0)(22=-+xydydxyx；

2.0)1(2)21(=-++dyyxedxeyxyx.

六、

求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解:

1.1,02)3(022==+-=xyxydxdyxy；

2.,0)2()2(2222=-++-+dyxxyydxyxyx

11==xy.

練習(xí)題00:01:13七、求下列微分方程的通解:

1.xexyysincos-=+￠；

2.0)ln(ln=-+dyyxydxy；

3.02)6(2=+-ydxdyxy.

八、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.4,5cot2cos-==+=pxxyexydxdy；

2..0,132132==-+=xyyxxdxdy

練習(xí)題00:01:13練習(xí)題00:01:13十、

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程,然后求出通解:

1.11+-=yxdxdy；

2.1cossin2sin)1(sin222+--+-+=￠xxxyxyy；

3.xyx