平面向量線性運算C

精銳教育學科教師輔導講義年級：初三 科目數(shù)學 課時數(shù)：3課題平面向量的線性運算教學目的理解實數(shù)與向量乘積的意義，掌握實數(shù)與向量相乘滿足的運算律；能夠利用實數(shù)與向量相乘的意義解決集合中兩直線平行及線段長度的問題。教學內容【知識梳理】(一)實數(shù)與向量相乘設k是一個實數(shù)，a是向量，那么k與a相乘，所得的積是一個向量，記作ka【說明】如果k，0，且a豐0，那么ka的長度ka=k\^；i — —ka的方向：當k>0時，ka與a同向；——當k<0時，ka與a反向.如果k=0，且a=0，ka=0.實數(shù)與向量相乘滿足下列運算律：設m、n為實數(shù)，則m(n^^=(mn)方；(m+n)a=ma+na；一("—m^a+*=ma+mb平行向量定理：如果向量b與非零向量a平行，那么存在唯一的實數(shù)m，使b-ma長度為1的向量稱為單位向量，用e表示.【說明】單位向量有無數(shù)多個；不同的單位向量是指它們的方向不同.對于任意非零向量a，與它同方向的單位向量記作a0,則有：a=aa0,-‘ 1一ao=aa-(二)向量的線性運算：向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算如果是兩個不平行的向量，x、y是實數(shù)，那么場+yb叫做的線性組合.【典型例題分析】【例1】用單位向量e表示下列向量：———a與e方向相同，且長度為3,a=.b與e方向相反，且長度為'克,b=..c與e方向相反，c=2e，c=.【答案】(1)3e；(2)-<2e；(3)-2e【方法總結】根據(jù)方向是否相同確定正負號，根據(jù)長度關系確定倍數(shù).【借題發(fā)揮】1.向量2a與向量-3a方向.1丁向量-b與向量一5b方向.【答案】相反；相同—?用單位向量e表示下列向量：b與e方向相同，且長度為0.5，b=.c與e方向相同，長度相等，C=.a3-a與e方向相同，有=7；，a= .|e| 2【答案】0.5e；e；3e【例2】計算:(1)(3)a+a+(-a)；(2)(-b)+(-b)+(-b)；

b+(-b)+0；(4)(5)2(3a)；(6)(7)3(a+5b)；(8)+2b-3c)-(2a-3b+C)--b.3【答案】略【借題發(fā)揮】(6-、5a--b .k573(3a-b)+4(2a-b)；3.5(3.5(za-b+c)一a+2b一【答案】略一一一一一一一一 a-【例3】如果a+b=3c,a-b=-c，那么a與b是平行向量嗎？如果是，求甬.b【提示】兩個等式相加得到“=C，然后代入其中一個等式即可【答案】是；1【例4】如圖，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點.(1)用向量AB、AC表示向量EF,用向量DB、DC表示向量HG;(2)由AC-AB=BC,DC-DB=BC，可推出向量EF與HG相等嗎？四邊形EFGH是平行四邊形嗎?【答案】(1)ef=—AC-—AB；HG=—DC-—DB；(2)向量EF與HG相等；四邊形EFGH是平行四邊【借題發(fā)揮】

如果2a+b=3c,a+2b=c，那么a與b是平行向量嗎？如果是，求=.b【答案】是；5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD邊的中點，用向量的方法證明四邊形EFGH是菱形.【答案】略【例5】已知非零向量a，求作-2a，寸2a.【例6】如圖，已知向量a、b，求作向量-2(a+b)【答案】略【例7】如圖，已知向量oA、OB和a、b，求作:(1)向量a分別在OA、OB方向上的分向量;(2)向量b分別在OA、OB方向上的分向量.BB【答案】略【借題發(fā)揮】如圖，已知兩個不平行的向量a、b.求作：2a+3b,2a-3b.一丁 一5了一5二2.已知兩個不平行的向量a、b，求作：3a+-b,3a--b.【例8】如果向量a、b滿足關系式5a+6G-元）=0，試用a、b表示向量￡.【例9】如圖，已知口ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD交于點^,設AD=a,:AB=b，分別求向量AE、AF、BF、DF關于a、b的分解式?B￡C【答案】AE=1a+b；AF=1a+b2 3【借題發(fā)揮】1.如果向量【借題發(fā)揮】1.如果向量a、b滿足關系式8（a-3￡）=7G-4￡），試用a、b表示向量￡.量量BC表示向量DE.【答案】略2.如圖，點D、E分別在△ABC的邊BA、CA的延長線上，DE〃BC,AD=2，試用向AB3

【答案】略3.如圖，點B、B、B在AB上，C、C、C在AC上，BB=BB=BB=BA,CC=CC=CC1 2 3 1 2 3 1 12 23 3 1 12 23試用向量AB表示向量B]C]、Bq、BC3.【提示】結合三角形一邊平行線性質解決【隨堂練習】填空題:1.已知m、n是實數(shù)，a、b是向量，對于命題:①m(a-b)=ma-mb②(m-n)a=ma-na———③若ma=mb，則a=b④若ma=na，則m=n其中正確命題為-【答案】①②5一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-25一-c=2-3-(2)—a-2b+。4—Ea+b-23【答案】略3.已知菱形ABCD的邊長為1，ZABC=60°，AB=a，AC=C，【答案】24.已知向量a,b，且3(x+a)+2(x—2a)—4(x—a+b)=0，則x=【答案】］=4b-3aTOC\o"1-5"\h\z5.若向量x、y滿足2x+3:y=a,3x—2亍=b,a、b為已知向量，則x4 6. 32.【答案】 a+—b；—a—b13 13；13 13選擇題：1將—［2（2a+8b）—4（4a—2b）］化簡成最簡式為（ ）12A?2a—b； B?b—a； C?a—b； D?2b—a?下列說法正確的是（ ）A.向量AB與BA是兩平行向量； B.若a、b都是單位向量，則a=b；C.若AB=DC，則A、B、C、D四點構成平行四邊形；D.兩向量相等，那么它們的始點、終點相同.設四邊形ABCD中，有DC=1AB且|AD|=|BC|,則這個四邊形是（）2A.平行四邊形； B.矩形； C.等腰梯形； D.菱形已知0是乙人'。所在平面內一點，D為BC邊中點，且2OA+OB+OC=0，那么（ ）A?aO=0D； B?AO=20D； C?AO=30D； D.2~AO=OD解答題：1.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點0,設OA=a,OB=b，分別求向量OC、OD、、BC關于a、b的分解式.—?—?試用a、b表示向量X=—?A.a//C，b//C；已知兩個不平行的向量a,b.7-求作：(a+b)—(^a—2b).【課后作業(yè)】一、基礎鞏固訓練填空題：1.在四邊形ABCD中，AB=DC，且|AB|=|AD|，則四邊形ABCD是.2.若a=3力與。的方向相反，且b—5，則a3.E,F在平行四邊形ABCD的對角線BD上，且有EB=DF中，設EC=a,EA=b,1AD=C，則：a+b=作出a+c—__— —已知AD、BE分別是△ABC的邊BC、AC上的中線，AD=a,BE=b，則BC=—? —? —?5.如果向量a、b滿足關系式4a+5（b—2X）=0，選擇題:—?1.下列條件中，不能判定a//b的是（-1CB.a-—2C，b——C；2—?D.|a|=3|b|.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中錯誤的是（ ）A?^aB=DC； B,aD+AB=A?^aB=DC； B,aD+AB=京；c,AB-aD=bD；D,AD+CB=6.3.若0、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是( )A.EF=OF+OE；B.EF=OF-OE；c.EF=-OF+OE；D.EF=-OF-OE4.已知a、b是兩個非零向量，e是一個單位向量，下列等式中正確的是aab-=e； B.—二—aabA.5.已知G是^ABC的重心，如圖1所示，則GA+GB-GC=( )B.4GE；C.4GD；解答題:1.已知向量a,b,c；求作：(1)5a—2b+3c(2)a-—b-2c52.如圖，AM=1AB，AN=1AC.求證：MN=1bC.如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設AB=a，:AD=b分別求向量MN、B關于a、b的分解式.?N4.如圖，△ABC中，F(xiàn)為AC的中點，D、E分別在BA.CA的延長線上，且DE//BC,AE=1AC，設FB=a，AC=b，試用a、b的線性組合表示.5.如圖，D是^ABC的邊AC上的一點，AD=1DC，E、F、G分別是AD、BD、BC的中點，設AB=a，Ac=b，試用a、b的線性組合表示6.在梯形ABCD中，AB//DC，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線與點F，已知AB=a， (■ — 1- —DC=2a，AD=b，求向量AF、AE、DE關于a、b的分解式. A