平面向量概述

平面向量概述一.本章內(nèi)容本章共分兩大節(jié)。第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。第二大節(jié)是“解斜三角形”。這一大節(jié)可以看成是向量知識(shí)的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)等。為擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，本章中還安排了兩個(gè)閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們?cè)缙谠鯓訙y(cè)量地球的半徑”。本章重點(diǎn)是：（1） 向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2） 向量的代數(shù)運(yùn)算法則，向量的數(shù)量積；（3） 線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)公式、平移公式；（4） 解斜三角形.本章難點(diǎn)是：（1） 熟練運(yùn)用向量的概念、向量的幾何表示和坐標(biāo)表示；（2） 理解和運(yùn)用向量的運(yùn)算法則；（3） 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形.5.1向量教學(xué)目標(biāo)理解向量、零向量、單位向量、向量的模的意義；理解向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；了解平行向量、共線向量和相等向量的意義，并會(huì)判斷向量間平行（共線）、相等的關(guān)系；知識(shí)結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示.難點(diǎn)是向量概念的理解.教法建議：.采取實(shí)際問(wèn)題的方式引入課題，通過(guò)具體實(shí)例使學(xué)生了解生活中除了表示大小的數(shù)量外，有時(shí)還要標(biāo)出方向，從而引出向量的概念.在講解實(shí)例時(shí)最好結(jié)合相應(yīng)幾何圖象配合，并充分發(fā)揮幾何圖形的直觀的特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立概念，并理解向量概念的實(shí)質(zhì).讓學(xué)生列舉實(shí)際生活中向量還有哪些，如速度、力、加速度等.向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來(lái)，而成為平面內(nèi)的一自由向量，因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。引入向量概念之后，隨之帶來(lái)一系列相關(guān)概念是比較多的，如零向量，單位向量，相等向量，平行向量，共線向量.對(duì)于它們要抓住本質(zhì)特征，讓學(xué)生分析比較這些概念的區(qū)別與聯(lián)系.由于向量同時(shí)具有幾何圖象的特征，在學(xué)習(xí)時(shí)還要辯清它們?cè)趫D形中表現(xiàn)相等、平行的意義.對(duì)于單位向量與以前的單位長(zhǎng)度的區(qū)別要給學(xué)生講解清楚，單位向量不止一個(gè)，因?yàn)橐硎静煌姆较?講清基本概念后，可讓學(xué)生歸納數(shù)量和向量的區(qū)別和聯(lián)系.對(duì)向量的位置不確定性的認(rèn)識(shí)，即向量是自由向量，可以通過(guò)把向量放在簡(jiǎn)單幾何圖形中，體現(xiàn)共線與平行的關(guān)系，準(zhǔn)確理解相等向量的含義，在圖形中幫助學(xué)生體會(huì)向量的幾何特征和數(shù)量特征的統(tǒng)一.相等向量的定義也可以通過(guò)師生共同討論得到，如數(shù)量相等，是指大小相等的兩個(gè)數(shù)量，那模相等的兩個(gè)向量是否相等？單位向量是否相等？讓學(xué)生思考總結(jié)得到定義.5.2向量的加法與減法教學(xué)目標(biāo)掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量;?掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算；明確相反向量的意義，掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的差向量；在正確掌握向量加法減法運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計(jì)算， 將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能利用向量運(yùn)算完成簡(jiǎn)單的幾何證明；知識(shí)結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是向量的加法和向量的減法的定義、運(yùn)算、幾何表示.難點(diǎn)是對(duì)向量加減法定義的理解及向量加法，減法運(yùn)算時(shí)方向的確定.教法建議：向量的加法可以從實(shí)際問(wèn)題引入，例如可以從物理上的位移入手，位移也是向量的一種，那么向量和的定義也是一致的.從而使學(xué)生有物理上的位移直觀理解向量和的定義，然后再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度定義向量的三角形法則.給學(xué)生說(shuō)明三角形法則對(duì)于一切向量都適合，但物理習(xí)慣用的平行四邊形法則對(duì)于共線向量不適合，要讓學(xué)生特別注意.向量的減法引入之前，要給學(xué)生講清相反向量的意義和表示方法.掌握向量的加法和減法法則時(shí)，一方面要用形來(lái)幫助理解，另一方面還可以從特殊位置到一般位置去認(rèn)識(shí)，如共線的，共起點(diǎn)的，共終點(diǎn)的等特殊關(guān)系的運(yùn)算熟悉法則的使用.讓學(xué)生結(jié)合圖形，歸納總結(jié)向量和的性質(zhì)，如向量的方向，模等與兩向量間的關(guān)系.對(duì)于加法的結(jié)合律讓學(xué)生通過(guò)圖形自己檢驗(yàn)，一方面可以熟悉向量的加法，還可以理解結(jié)合律.由于向量的加法滿足結(jié)合律，和交換律，所以向量的加法中向量的個(gè)數(shù)可以推廣到n個(gè)即n個(gè)向量 且按向量加法的三角形法則可以得到n個(gè)向量相加的法則是：以前一個(gè)向量的終點(diǎn)作為下一個(gè)向量的起點(diǎn)，相繼作出向量 ’?，再以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，這個(gè)向量就是所求的這 n個(gè)向量的和.5.3實(shí)數(shù)與向量的積教學(xué)目標(biāo)掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義以及實(shí)數(shù)與向量的積的三條運(yùn)算律， 會(huì)利用實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算；理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個(gè)向量是否共線；了解平面向量基本定理，能作出由一組基底表示的向量， 能用給定圖形上的一組基底表示指定的向量；知識(shí)結(jié)構(gòu)：重點(diǎn)是實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，向量共線的充要條件，平面向量基本定理難點(diǎn)是共線向量充要條件及平面向量基本定理的理解.教法建議：可以通過(guò)物理中力與加速度的關(guān)系f=na,位移與速度的關(guān)系s=vt等實(shí)際問(wèn)題引入實(shí)數(shù)與向量的積.從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引入新課，不但展示了教學(xué)的主要內(nèi)容，而且還激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.實(shí)數(shù)與向量的三個(gè)運(yùn)算律，為了降低難度課本上沒(méi)有證明，可以結(jié)合圖形給學(xué)生直觀解釋，程度好的學(xué)生可以適當(dāng)指導(dǎo)給出證明，證明的關(guān)鍵是向量的兩要素：方向和大小.由于學(xué)生已理解共線向量，因此可以讓學(xué)生觀察共線向量間的關(guān)系，可以提示從方向和大小兩個(gè)方面來(lái)考慮.然后指出向量共線的充要條件實(shí)質(zhì)上是由實(shí)數(shù)與向量的積得到的.給學(xué)生說(shuō)明定理的作用，通常用來(lái)判斷三點(diǎn)在同一條直線上或兩直線平行，要指出與平面中直線間的平行的區(qū)別.平面向量本定理可以從物理上力的分解來(lái)引入， 學(xué)生對(duì)于力的分解比較熟悉，使學(xué)生首先對(duì)定理的應(yīng)用有所了解.定理是向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，因此要學(xué)生理解基底的意義.由于不要求證明該定理，只要學(xué)生會(huì)用即可，所以教學(xué)中要側(cè)重于它的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1.理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會(huì)寫出給定向量的坐標(biāo)，會(huì)作出已知坐標(biāo)表示的向量；2.掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則，并能進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力；.會(huì)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是理解平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示.難點(diǎn)是對(duì)平面向量坐標(biāo)表示的理解.教法建議1.為了便于學(xué)生接受向量的坐標(biāo)表示，正確理解這一概念，在教學(xué)過(guò)程中可采用類比的教學(xué)方法.一開始從平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系入手，在復(fù)習(xí)平面向量基本定理之后，引出向量的坐標(biāo)問(wèn)題.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中采用指導(dǎo)閱讀、講解相結(jié)合，以達(dá)到提高學(xué)生閱讀理解能力.向量是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范.學(xué)好向量坐標(biāo)表示這一內(nèi)容，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)代數(shù)幾何關(guān)系的理解，運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法從多角度思維，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀有著重要的作用.在研究向量坐標(biāo)運(yùn)算及簡(jiǎn)單應(yīng)用時(shí)，有意滲透數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生明確任意向量都與唯一的實(shí)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，這不僅使向量的坐標(biāo)表示成為可能，也使表示向量的坐標(biāo)與向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系.充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，開展自學(xué)活動(dòng)，通過(guò)類比，聯(lián)想發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題.本節(jié)在引導(dǎo)學(xué)生理解向量坐標(biāo)表示的意義后，可以放手讓學(xué)生自己研究獲得向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法以及平行向量的坐標(biāo)表示.5.在講解向量平行的坐標(biāo)表示時(shí)，首先要掌握好向量平行的充要條件從中得到相等的向量，再根據(jù)相等向量坐標(biāo)相同得出關(guān)系式.為此可先通過(guò)復(fù)習(xí)讓學(xué)生掌握好向量平行充要條件，相等向量坐標(biāo)關(guān)系，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.5.5線段的定比分點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)?理解點(diǎn)P分有向線段所成的比入的含義，能確定入的正負(fù)號(hào)；2.掌握有向線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用這兩個(gè)公式解決實(shí)際問(wèn)題；知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用.難點(diǎn)是利用線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式解題時(shí)確定 入的值.教法建議1.本節(jié)課通過(guò)共線向量引入來(lái)介紹，一點(diǎn)分一條有向線段所成比的概念，結(jié)合圖形講清入的符號(hào)情況，讓學(xué)生理解符號(hào)正負(fù)的確定是由方向確定的，另外要注意比值的順序始點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)，入值是求解線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵.本節(jié)是運(yùn)用已有知識(shí)推導(dǎo)出新的結(jié)論，因此可以以學(xué)生推導(dǎo)、分析、總結(jié)為主，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.對(duì)“數(shù)形結(jié)合”這一數(shù)學(xué)思想的滲透貫穿于本節(jié)課的始終，作為本節(jié)課的一條主線.3?通過(guò)具體例題及練習(xí)讓學(xué)生掌握公式的應(yīng)用，尤其是 入值的確定?讓學(xué)生通過(guò)例題練習(xí)歸納總結(jié)規(guī)律.5.6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律教學(xué)目標(biāo)正確理解平面向量的數(shù)量積的概念，能夠運(yùn)用這一概念求兩個(gè)向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角；掌握平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，并能運(yùn)用這些性質(zhì)與運(yùn)算律解決有關(guān)問(wèn)題；掌握向量垂直的充要條件，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為零證明兩個(gè)向量垂直；由兩個(gè)向量垂直確定參數(shù)的值；了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積概念及其性質(zhì)、運(yùn)算律，向量垂直的條件.難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的概念，平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律，以及平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用?教學(xué)建議本節(jié)內(nèi)容分為兩課時(shí)，一是平面向量的數(shù)量積的概念及運(yùn)算性質(zhì)，二是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)用.因?yàn)閷W(xué)生在物理學(xué)科中已經(jīng)學(xué)過(guò)矢量及矢量運(yùn)算， 所以可從物理知識(shí)引入，由此也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科的聯(lián)系，引起學(xué)生的興趣，而且讓學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容在實(shí)際生活中的具體運(yùn)用.在定義了向量的數(shù)量積的運(yùn)算后，啟發(fā)學(xué)生由實(shí)數(shù)的乘法的運(yùn)算性質(zhì)猜想向量乘法的運(yùn)算性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生自主探索研究其運(yùn)算性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生觀察平面向量的數(shù)量積公式的結(jié)構(gòu)特征， 歸納其功能——知三求一，從而發(fā)現(xiàn)其應(yīng)用類型，即求長(zhǎng)度或角度，特殊情況下就是垂直關(guān)系的證明依據(jù)了 ^兩向量的數(shù)量積是兩向量間乘法的一種，是學(xué)生以前所未接觸到的新的乘法，與以前數(shù)量間的乘法、實(shí)數(shù)與向量間的乘法有很大區(qū)別，因此運(yùn)算法則、運(yùn)算律都要重新定義，學(xué)生對(duì)于概念和運(yùn)算法則的理解和掌握有些困難.它與實(shí)數(shù)的乘法的概念，性質(zhì)及運(yùn)算律有聯(lián)系也有區(qū)別，這一區(qū)別是教學(xué)的重點(diǎn)也是學(xué)生學(xué)習(xí)研究的難點(diǎn)?平面向量的數(shù)量積是解決有關(guān)長(zhǎng)度，角度等問(wèn)題的重要工具，特別是證明垂直關(guān)系的重要依據(jù)，平面向量的數(shù)量積的作用是顯而易見(jiàn)的，但對(duì)于學(xué)生來(lái)講，接受新定義，理解新運(yùn)算，認(rèn)識(shí)新法則都需要一定的時(shí)間，應(yīng)用這一知識(shí)也就有一定的困難.5.7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)目標(biāo)掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和運(yùn)算，掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算它們的數(shù)量積，由數(shù)量積的坐標(biāo)形式求兩個(gè)向量的夾角.運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件解決有關(guān)問(wèn)題， 特別是運(yùn)用坐標(biāo)法證明兩個(gè)向量垂直.根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，及向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件.難點(diǎn)是平面向量數(shù)量積的兩種形式的內(nèi)在聯(lián)系及有關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用教法建議平面向量的數(shù)量積這個(gè)實(shí)數(shù)如何用坐標(biāo)表示，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合這種重要思想方法的很好內(nèi)容，在教學(xué)中抓住數(shù)形結(jié)合這條主線，不但推出了兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，推出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，并應(yīng)用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決問(wèn)題，這樣不但能夠提高學(xué)生的解題能力，而且培養(yǎng)學(xué)生會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合這種重要思想方法.本節(jié)課開始時(shí)應(yīng)向?qū)W生指出： 對(duì)平面向量的數(shù)量積的研究不能僅僅停留在幾何角度， 還要尋求其坐標(biāo)表示；在引入新知識(shí)之前應(yīng)復(fù)習(xí)前面的有關(guān)知識(shí)，如平面向量，兩個(gè)向量的和與差，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)表示，以及平面向量的基本定理.3?應(yīng)將平面向量數(shù)量積的兩種形式結(jié)合起來(lái)， 交待等式--14H其中八 ?.這個(gè)等式體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.平面向量數(shù)量積的兩種形式表明了向量是數(shù)與形的結(jié)合體，它們互相滲透，彼此作用，也應(yīng)是教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)；而學(xué)生對(duì)它們的聯(lián)系是陌生的，所以在理解上有一定的難度另外，根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)?shù)男问?坐標(biāo)法與向量法)解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的又一難點(diǎn).教學(xué)中注意設(shè)計(jì)綜合性問(wèn)題，加強(qiáng)與前段知識(shí)的聯(lián)系.5.8平移教學(xué)目標(biāo)了解平移的概念及平移的幾何意義；掌握平移的公式及其推導(dǎo)過(guò)程， 會(huì)用平移公式解決有關(guān)點(diǎn)的平移、 化簡(jiǎn)函數(shù)式及求平移向量等有關(guān)問(wèn)題；知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)是平移公式的推導(dǎo)過(guò)程及其應(yīng)用.平難點(diǎn)本節(jié)難點(diǎn)是平移公式在函數(shù)圖象平移中的應(yīng)用教法建議1.在學(xué)生熟悉二次函數(shù)圖像基礎(chǔ)上，不妨徑直提出問(wèn)題：拋物線y=(x—2)2+3怎樣運(yùn)動(dòng)后，它可有簡(jiǎn)單的表達(dá)式y(tǒng)=x2?經(jīng)驗(yàn)表明，多數(shù)學(xué)生能有正確答案，從而較順利引入本課的主題.類比力學(xué)中鋼體平動(dòng)引入幾何圖形上點(diǎn)的平移變換. 用位移向量導(dǎo)出平移公式.通過(guò)例題與練習(xí)的解答與分析講解，使學(xué)生掌握平移變換問(wèn)題求解的操作步驟，并逐步理解它的幾何涵義.小結(jié)時(shí)強(qiáng)調(diào)平移變換特征，點(diǎn)明典型問(wèn)題的基本形式，在最后的引申和思考中，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)拓寬點(diǎn)變換的形式.使他們?cè)诤罄m(xù)課程中對(duì)這一重要思想方法有更好的理解與掌握.在教學(xué)過(guò)程中結(jié)合圖形講解， 使學(xué)生理解平移圖象的目的，關(guān)鍵是把平移看成兩個(gè)點(diǎn)集之間的映射，要分清原象與象，對(duì)應(yīng)法則，突數(shù)與形的轉(zhuǎn)換.5.9正弦定理、余弦定理教學(xué)目標(biāo)1.了解利用向量知識(shí)推導(dǎo)正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理和余弦并會(huì)利用計(jì)算器解2.掌握正弦定理和余弦并會(huì)利用計(jì)算器解定理，能運(yùn)用正弦定理和余弦定理解斜三角形，決解斜三角形中復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題；3?會(huì)判定已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形的解時(shí)一解、兩解或無(wú)解；知識(shí)結(jié)構(gòu)運(yùn)用平面向量的數(shù)量積推導(dǎo)出三角形的正弦定理和余弦定理，連同三角形、三角函數(shù)的其它知識(shí)作為工具，比較系統(tǒng)地研究了斜三角形求解這個(gè)課題?知識(shí)結(jié)構(gòu)可用框圖表示如下：重點(diǎn)是正弦定理和余弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程，正弦定理、余弦定理的運(yùn)用.難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)是運(yùn)用正弦定理和余弦定理解斜三角形.教法建議1.復(fù)習(xí)提問(wèn)勾股定理，解直角三角形基本情況，通過(guò)直角三角形的特殊性的得到正弦定理的一般形式，然后引入新課.?可先通過(guò)直角三角形特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如要研究直角 A^B中的邊角關(guān)系，若C為直角，則有一：二二‘，i二二1，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可ab以得到 ，進(jìn)一步提問(wèn)，等式能否與邊c和 建立聯(lián)系？從而得到正弦定理.利用向量法證明正弦定理時(shí)關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生如何通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形的邊長(zhǎng)和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，由于向量中與三角函數(shù)有聯(lián)系是數(shù)量積， 而且是余弦，如何選擇輔助向量來(lái)建立聯(lián)系？教學(xué)中在關(guān)鍵處設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，使學(xué)生對(duì)正弦定理的導(dǎo)出有透徹的理解.?正弦定理的其它證明方法可讓學(xué)生課后探討：傳統(tǒng)的幾何法，可以利用三角形面積￡迪叮二一dri?sinC=-acsin3=-beAL-i-abcL-i從而得到正弦定理.2過(guò)點(diǎn)A作圓的直徑還可以通過(guò)圓內(nèi)接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在從而得到正弦定理.2過(guò)點(diǎn)A作圓的直徑還可以通過(guò)圓內(nèi)接三角形證明5RAD連接CD,則b2R各式中分別除以2在頃sin￡ADC利用向量也可采用如下方法：過(guò)，同理可得到其它邊角關(guān)系，即可證得.勺頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，':的夾角為，由于-二、［一'在」1方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知

I 所以bc二一1一.■.'1./即一匚一三一二匚(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得.4?運(yùn)用正弦定理解已知兩角和任一邊及已知兩邊和其中一邊的對(duì)角這兩個(gè)類型的問(wèn)題，在教學(xué)中緊緊抓住這一點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生得出具有什么條件的三角形能夠運(yùn)用正弓3。定理，這樣時(shí)學(xué)生能正確運(yùn)用正弦定理解題. 其中例題講A00解時(shí)，對(duì)于解的不同情況，用圖形展示出來(lái)，以幫助學(xué)生理解. D(5)余弦定理的證明也可先有直角三角形特例引入， 讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例，使學(xué)生理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，將新知識(shí)納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中去，為講解余弦定理打下基礎(chǔ).讓學(xué)生探討余弦定理及其變形公式的應(yīng)用條件，更好的理解定理及其應(yīng)用.5.10解斜三角形應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo).掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法， 會(huì)利用解任意三角形的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題；.能夠在解斜三角形應(yīng)用過(guò)程中，靈活地選擇正弦定和余弦定理；知識(shí)結(jié)構(gòu)重點(diǎn)利用解斜三角形解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題.解斜三角形知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，解斜三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題過(guò)程，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想.這種思想就是從實(shí)際出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)建模，然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解.強(qiáng)化上述思維過(guò)程，既是本節(jié)的重點(diǎn)，又是本節(jié)難點(diǎn).難點(diǎn)是運(yùn)算問(wèn)題，由于將正弦定理、余弦定理看成幾個(gè)“方程“，那么解三角形的應(yīng)用題實(shí)質(zhì)上就是把已知信息按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知和未知合理選擇一個(gè)“容易解”的方程，從而是解題過(guò)程簡(jiǎn)潔.同時(shí)，由于具體問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)通常是近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，必須借助于計(jì)算器計(jì)算，因此要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到“算法簡(jiǎn)煉，算式工整，計(jì)算準(zhǔn)確”的要求.教法建議1.復(fù)習(xí)提問(wèn)正弦定理、余弦定理以及分別用它們解斜三角形的基本情況，而后指明，實(shí)際問(wèn)題形式多樣，簡(jiǎn)單結(jié)論不能概括，提出新的例題引入新課.2.在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生重視分析題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景， 如何將實(shí)際問(wèn)題中的各種要素提出來(lái)，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，確定所需的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)數(shù)學(xué)模型啟發(fā)學(xué)生正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，在演算過(guò)程中，力求算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確，并且自己作出示范，嚴(yán)格要求學(xué)生.講解例題時(shí)不妨讓學(xué)生討論歸納出應(yīng)用題一般思路， 數(shù)學(xué)模型的建立，從而能使學(xué)生更好的掌握.如果有條件，最好采用多媒體演示例題中模型，幫助學(xué)理解問(wèn)題的背景，建立模型，同時(shí)要求學(xué)生要注意觀察周圍生活的事物.向量----思維的全新視角、教學(xué)的最佳契機(jī)向量是新教材增加的內(nèi)容，無(wú)論是對(duì)于教師還是學(xué)生都是新的，作為學(xué)生，接觸到新的內(nèi)容，不僅增大了知識(shí)的容量，而且由于立足于向量這一新的視角，進(jìn)一步拓寬了思維的渠道。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，修整原有的認(rèn)知，用向量的觀點(diǎn)研究以往教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用向量解決問(wèn)題的意識(shí)。向量教學(xué)是發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的極佳契機(jī)。在這一章的教學(xué)中，學(xué)生的反饋并不如教師心中之預(yù)料，一些教師認(rèn)為這一章內(nèi)容安排思路清晰并不難，只是概念多了一些。但學(xué)生卻覺(jué)得這一章內(nèi)容比較抽象，就拿向量的概念來(lái)說(shuō)就覺(jué)得不太好把握，究其原因，是因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，與以往所學(xué)的數(shù)量、長(zhǎng)度大不相同，向量的形式運(yùn)算是多次抽象的結(jié)果，如果學(xué)習(xí)的方法不當(dāng)，就會(huì)產(chǎn)生枯燥無(wú)味的感覺(jué)。筆者以為，這一章的內(nèi)容雖然概念多，但大都有其物理上的來(lái)源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應(yīng)用的優(yōu)越性也是非常明顯的。恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)，使得向量不僅生動(dòng)有趣，而且是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與能力的極佳契機(jī)。、突出概念、定理的抽象概括過(guò)程向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來(lái)，而成為平面內(nèi)的一自由向量，雖然是抽象的形式符號(hào)，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。在概念引入時(shí)，如果回避知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，生搬概念從而迅速進(jìn)入解題階段，忽略對(duì)問(wèn)題的感悟進(jìn)而導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的一知半解。例如在向量的加法教學(xué)中，如果一上來(lái)就按照課本給出加法的三角形法則，就會(huì)造成學(xué)生的生搬硬套。我的經(jīng)驗(yàn)是直接提出問(wèn)題：應(yīng)該怎樣定義兩個(gè)向量的加法？你在物理中能找到那些依據(jù)？數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合頓時(shí)使同學(xué)們產(chǎn)生一種新鮮感與一股探求的欲望，從而進(jìn)入一種緊張的思維狀態(tài)，在大腦中積極主動(dòng)的搜尋能抽象出兩個(gè)向量加法的實(shí)際背景。經(jīng)過(guò)討論很快就達(dá)成共識(shí)，有兩種物理原型：位移的求和與力的求和。這樣學(xué)生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且發(fā)現(xiàn)這兩種方法的一致性。在這樣一種學(xué)習(xí)的氛圍中，教師所要做的并沒(méi)有多少，語(yǔ)言也寥寥無(wú)幾，教師看起來(lái)似乎漫不經(jīng)心，很輕松，但就是在這樣的情景下學(xué)生之間已形成了思維共振，在“隨意”中實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的有效遷移。我經(jīng)常鼓勵(lì)同學(xué)們，以你們現(xiàn)在的知識(shí)，完全可以發(fā)現(xiàn)以往科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容，甚至能夠你獨(dú)到的發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)別人所沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的，從而極大的鼓舞了學(xué)生的士氣，激發(fā)其探求的欲望。f-V j*例如在引入數(shù)量積伍-b=Fcos8的定義后，我并沒(méi)有把教材中的五條性質(zhì)逐一注述出來(lái)，雖然這樣學(xué)生也能理解的很好，我總覺(jué)的新的內(nèi)容新的方法如果你告訴他怎么做，尚不如告訴他為什么這樣做，更不如引導(dǎo)他怎樣去想。我適時(shí)地提出問(wèn)題：從這個(gè)定義中能得到什么信息從而更好的理解這個(gè)公式呢？引導(dǎo)學(xué)生站在哲學(xué)的高度，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，一般與特殊的處理方法去探索發(fā)現(xiàn)，結(jié)果同學(xué)們不僅“發(fā)現(xiàn)”了書上的所有性質(zhì)， 而且還得到了「一二「一等結(jié)論，加深了對(duì)抽象內(nèi)容的理解。從而使學(xué)生不僅在探索中證明了諸多性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生感悟到了應(yīng)該如何去發(fā)現(xiàn)。課后經(jīng)常有同學(xué)拿著自己推導(dǎo)出的結(jié)論， 有些是自己的獨(dú)到發(fā)現(xiàn)，有些是將要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，對(duì)此我都大加贊賞，夸獎(jiǎng)他的獨(dú)立思考的精神，或贊嘆他的數(shù)學(xué)上的天賦，或贈(zèng)送其數(shù)學(xué)博士的稱號(hào)。二、突出數(shù)形結(jié)合的思想在新教材中，向量的運(yùn)算法則以及運(yùn)算律的給出容易使學(xué)生產(chǎn)生向量是屬于代數(shù)內(nèi)容，但向量實(shí)際上又是屬于幾何的范疇的，雖然有時(shí)也會(huì)脫離圖形而進(jìn)行形式運(yùn)算，但所研究的內(nèi)容大都與圖形有關(guān)，所以向量是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范。學(xué)好向量這一章的內(nèi)容，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)代數(shù)幾何關(guān)系的理解，運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法從多角度思維，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生-豪I-X正確的數(shù)學(xué)觀有著重要的作用。例如證明必±jUa+b=d，既可以從數(shù)量積的角度算出門二二?，進(jìn)而得到」【：；亦可以從矩形的角度證明該命題。而證法二有利有學(xué)生的思維rf從直觀形象向抽象過(guò)渡，更好的理解該命題。再如對(duì)任意向量 「二'都有IEIiI杉U+云彳1|甲,味三角形三邊關(guān)系上更能看出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)的