平面向量常見題型匯編7 平面向量的范圍最值問題

平面向量的范圍最值問題1.面向量數(shù)量積的范圍、最值問題rr已知兩個非零向量a和rr已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為。，把數(shù)量rs rra-b-cos0叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)rr規(guī)定a-0=0,數(shù)量積的表示一般有三種方法：（1）當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解,即當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解,即a-b=a-b-cos0；（2）當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,則a?b=x1x2+y1y2；（3）運用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個向量用基底表示后，再運算.例題1：如圖，半徑為1的扇形AOB中，ZAOB—,P是弧AB上的一點，且滿足uuuvumvOP±OB，M,N分別是線段OA,OB上的動點，則PM-PN的最大值為（）A.M A.M B.M C.1 D.\2【解析】：扇形項助的半徑為b.-.|o?|=i, =:ZAO￡=^?.-.XAOP=^J 1- 1- 1- i-'i 1- i-'i, 1-2. 1- 1- 1- 1- 1- 1-「.PM7W=（PO+0M）-（P0+例）二戶0^ON-PQ^OMPO^OMON=1+DMcos^+m7|-|0AT例題2：在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,若M,N分別在邊BC,CD上運動(包uuuuBMuuvCN括端點，且滿足FuuuuBMuuvCN括端點，且滿足F砰=-bfbuv~~CDBCuuuvumv，則AM-AN的取值范圍是[解析盼別以AB,AD方W鈾建M直角坐標(biāo)系測巡槌)，月3皿設(shè)匝3分因為廁(jc.1). (3.3TOC\o"1-5"\h\zI因為廁(jc.1). (3.3一 ，一、 . X2 V2 _變式1：已知圓C的方程(X-1)2+V2=1，P是橢圓丁+：=1上一點，過P作圓的兩4 3uuuunt條切線，切點為A，B，則PA-PB的取值范圍為()A.質(zhì),+8)BA.質(zhì),+8)B,[2很-3,+8)C.2皿-3,5656]

百」解析：P(x,v)設(shè)ZCPA=ZCPB=Q,C(1,0),PA|2=|PC|2-1=(X-1》+V21-1=一X2一2x+44——x2—2x+2ncos20=1-2sin20=-4 x2—2x+44nsin0=—-PCI1，X2—2X+44設(shè)t=—x2—2x+4=上(x—4)244uuuuuu (t_2) 2一—uuruu又PA?PB=IPAI2cos20=(t—1)-——)=t+——3>2<2—3,t=如2,(PA?PB)mint tmin— uuluuuu 血^血^f-3,56，故選C2^2—3,t=9,(PA?PB)max=-96nPA-PBf-3,56，故選Cuuu mum變式2：已知△ABC中，AB=4,AC=2，|XAB+(2—2X)ACI(XeR)的最小值— umuir為2^3，若P為邊AB上任意一點，則PB-PC的最小值是解析：令f(k)=|人A+(2—2人)AC|2=人2lAB2+(2—2人)2AC2+2X(2—2人)A-AC=16k2+4(2—2X)2+2X(2—2X)-8cosA=16[(2—2cosA)X2+(2cosA—2)X+1],當(dāng)cosA=0時，f(X)=16(2X2—2X+1)=16[2(X—2-)2+2]>8,因為2君>2^2，所以A=f，則建立直角坐標(biāo)系，A(0,0),B(4,0),C(0,2),uuu uuu設(shè)P(x,0)(0vXv4)，則PB=(4—x,0),PC=(—x,2),mmuuu所以PB-PC=—x(4—X)=(x—2)2—4；當(dāng)cosA豐0時，f(X)=16[(2—2cosA)(X—2)2+1+；sA]>8+8cosA=12,TOC\o"1-5"\h\z,1 ,兀解得cosA=—，所以A=—，則建立直角坐標(biāo)系，A(0,0),B(4,0),C(1,、：3),uuu mm -設(shè)P(x,0)(0vXv4)，則PB=(4—x,0),PC=(1—x,、3),UUKUUl 5 9所以PB-PC=(4—x)(1—x)=(x——)2—.45uuuuuu 9綜上所述，當(dāng)x=5時，PB-PC取得最小值—云.2.平面向量模的取值范圍、最值問題2=（X2+y2，向量的模可以利用坐標(biāo)表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向線段的長度，過可結(jié)合平面幾何知識求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以將向量用基底向量表示再求.rr—b=2，則c范圍為—rr—b=2，則c范圍為—例題3：已知a,b為單位向量，且a1b,向量c滿足c—ammrruuaruuarrr解析：如圖，OA=a+b,OB=cnAB=c—(a+b)marrvu_ _r一又IOA1=1a+bI=2n2—2<1c!<2+72O254B1015變式3：.r—向量a,b,c滿足a=O254B1015變式3：.r—向量a,b,c滿足a=4,b=V^,兀的夾角為一，4的最大值為（）分析：根據(jù)已知條件可建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)點（向量），確定變量滿足的等式和目標(biāo)函數(shù)的解析式，結(jié)合平面幾何知識求最值或范圍.解析：設(shè)OA=a,OB=b,OC=c；以O(shè)A所在直線為x,O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系r?/arr 兀a與b的夾角為—，則a(4,0),B(2,2)，設(shè)C(x，y)4rrrr(c—a)-(c—b)=—1,.，.x2+y2-6x-2y+9=0，即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)為圓rr心，以1為半徑的圓，c—a表示點A,C的距離即圓上的點與點A（4,0）的距離.?.,圓心到B的距離為p(3—4)2+(1—0)2=,, 兀變式4：已知向量a,b夾角為一，3bl=2,對任意xeR, 兀變式4：已知向量a,b夾角為一，3\tb—a\+tb—a(teR)的最小值是2—17"-u . — — _ 向營反。豈甬為一M=2,利任建有&十京"0—兩邊平充整理可得3那護+ 況可室。，貝忸一2—17"-u . — — _ 向營反。豈甬為一M=2,利任建有&十京"0—兩邊平充整理可得3那護+ 況可室。，貝忸一4|萬一礦+狎（尋一&一5）蜀，即可何科一點一研＜口,即占*項）=u,則何項）」礦由叵]萱萬方夾角WA(1,0),Ba=(-1,0),b=Ci,、3).“va?.tb—a+tbA(1,0),Ba=(-1,0),b=Ci,、3).“va?.tb—a+tb——2=(4t2—2t+1+,：4t2—t+—=、2+二4J+0-斗i的距離之和的2倍，表示P(t,0)的距離之和的2倍，當(dāng)M,P,N共線時，取得最小值2\MN,即有2|MN|=2即有2|MN|=2r1112+VI487⑧+巫f=匝~T~8~2,故答案為七-r設(shè)a=(氣,y1),r rrb=r設(shè)a=(氣,y1),r rrb=(x2,y2)，且a,b夾角為0,rra-bxx+yy貝寸coso=rr= ~~』2a-b .x2+y2?:'x2+y21 1 \2 2rr例題4：已知非零向量a,b滿足rra=2b,若函數(shù)f(x)=-x3+—ax2+a.bx+1在r上3 2rr存在極值，則a和b夾角的取值范圍為 解析:rr設(shè)a和b夾角為0,因為f（x）有極值，所以-4a-b-cos0>0,即cos0<上，所以0e2T^'3 T^'3T^'3 T^ '3 T^'3變式5：非零向量a,b滿足2a-b=a2b2，IaI+Ib1=2，則a與b夾角最小值是rr1rr解析：由題意得a-brr1rr解析：由題意得a-b=—a2b2，2rr<1,cos；a,b、'= =-aibi2 ra-b即rra+brra.b1<2r整理得a2+b2=4一2a-b>2a-b—<-a，b；<兀，夾角的最小值為—rrr_r rrr變式6：已知向量a,b滿足IaI=2\/2IbI豐0，且關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2x3+3IaIx2+6a-bx+7在rr實數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量a,b的夾角的取值范圍是（）n n n nnA.[0,-] B,[0,-] C.[0,-]D.[-,-]6 3 4 64tlffi】4導(dǎo)數(shù)可得火日―6疽+6牛+6心則口函數(shù)低）-N+瑯『+6；長―7在文源集丑上單詢遞增，可得尸（工）=6一『十6』工十5。3土0恒成業(yè)」即疽十「工十云￡）恒成立,故判別式『二皿,再由心牧555,"3）尸0.—,故選：c.4.平面向量系數(shù)的取值范圍、最值問題例題5：已知a=?,2）,b=（-3,5）,且％與b的夾角為銳角，則人的取值范圍是 . . rr . rr分析：a與b的夾角為銳角等價于a-b>0，且a與b不共線同向，所以由a-b>0，得入v~3-，再除去a與b共線同向的情形.解析：由于a與b的夾角為銳角，a-b>0,且a與b不共線同向，由10 L「 ~一九6a,b>0n—3人+10>0，解得人v ，當(dāng)向量a與b共線時，得5人——6，得^=_—10 6因此入的取值范圍是人v—且人衛(wèi)一廳.例題6：已知G是VABC的重心，過點G作直線MN與AB，AC交于點M,N，且uuuvuuvvumv uuwAM—xAB，AN—yAC，（x,y>0人則3x+y的最小值uuu1uuvuuvuuu1uuvuuv?AG——（AB+AC），31 _17—一x —人,3 3 . 一?（3 3，解得1=人y一1人3 3令3x一1—m，3y一1—n，uuuv umv如圖QM，N，G三點共線，MG—人GN，umvuuuv umvuuiv?AG—AM=（AN—AG），G是VABC的重心，uuvuuuuuvuuuv1uuvuuuv?—（AB+AC）—xAB=（yAC—（AB+AC））TOC\o"1-5"\h\z3（3x—1）（3y—1）=1；結(jié)合圖象可知4<x<1，<y<1；2/111+m 1+n（—<m<2,—<n<2）；故mn=1，x= ，y= ；2 2 3 3當(dāng)且僅當(dāng)m=?,n等號成立故3x+y-1+m+史=4+m+口24當(dāng)且僅當(dāng)m=?,n等號成立3 33 13 3 3

變式7：如右圖所示，已知點G是AABC的重心，過點G作直線與AB,AC兩邊分別交于uuuuuuuuuuuuuM,N兩點，且AM=xAB,AN=yAC，則x+2y的最小值為uuuc1(uuuumr\因為G是AABC重心，所以AG=3^AB+AC/1(uuuuur、uuu(uur1(uuuuuuY-MB+A^—xAB=XIyAC-—MB+A^3 I3 )化簡得(3x—1)(3y—1)=1，解得題目所給圖像可知1<x<1,1<y<1.2 2由基本不等式得2=（3x—1）（6y—2）V即3即3(x+2y)—3>2?克,x+2y>3+2克——3——.當(dāng)且僅當(dāng)3x—1=6y—2，<2+1 <2+2 3+2、互即x=—-—,y=—-—時，等號成立，故最小值為—-—.3 6 3

變式8：直角梯形ABCD中CB±CD變式8：直角梯形ABCD中CB±CD,ADPBC,VABD是邊長為2的正三角形，P是平面上的動點，uuvCP=1uuuuuuuuu設(shè)aP=XaD+日aB（人，peR），則入+日的最大值為uuuuuuuuv以C為原點，CD為%軸，BC所在直線為j軸，建立直角坐標(biāo)系，QCP=1uuv uuu( —Iuuu uuu( |?.?可設(shè)CP=(cos以,sina),AD=V1^.'3,AB=(—2,0),,AC=妃2,\.'3,所以uuvuuivuuuAP=AC+CP=—2,sin^所以uuvuuivuuuAP=AC+CP=—2,sin^+uuvuuuuuv因為AP=XAD+pAB，—2,sin^+—2d—入—入一2u=cosa—2{應(yīng)=sina+&n{、＜3.人=—sina+13、吾.1旦=——cosa一——sina+—6婦卜-1cosa+空sina+3=吏(a—甲)+32 6 2 3 2. 9+2<§ 9+2<3即X+^的最大值為一-一，故答案為一-—66

共線定理的應(yīng)用例題7：已知。,b是不共線的向量，uuv uuivAB=Xa+2b,AC=a+偵一Db，且A,B,C三點共線，則X=（ ）共線定理的應(yīng)用例題7：已知。,b是不共線的向量，uuv uuivAB=Xa+2b,AC=a+偵一Db，且A,B,C三點共線，則X=（ ）A.-1 B.-2C.-2或1 D.-1或2解析：由于A,B,C三點共線，uur uuur故AB=rAC,即人?（人一1）—2-1=0,解得人=-1或2.本題選擇D選項.例題8：在AABC中，M為邊BC上的任意一點uuu1uuuruuuuuu uuurAN=3NM，若AN=XAB+pAC（人,peR）mar1uuuruuu1uuuu點N在線段AM上，且滿足解析：因為AN=3NMnAN=1uuuu uuuruuuuuuAM，又因為