2023屆湖南省寧鄉(xiāng)一中等部分中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B.C. D.2.關(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)一個(gè)遞增區(qū)間為C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖像3.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.4.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,5.函數(shù)的對(duì)稱軸不可能為()A. B. C. D.6.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,其中為虛部單位,則實(shí)數(shù)()A.3 B. C. D.7.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A.-23 B.17 C.20 D.638.已知拋物線C:,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(A在x軸上方),且滿足,則直線l的斜率為()A.1 B.C.2 D.39.已知是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦,是原點(diǎn),則()A.-2 B.-4 C.3 D.-310.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.11.點(diǎn)在曲線上,過(guò)作軸垂線,設(shè)與曲線交于點(diǎn),,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0,則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”,則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.312.在中,角、、的對(duì)邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在處的切線的斜率為________.14.兩光滑的曲線相切,那么它們?cè)诠颤c(diǎn)處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個(gè)外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______15.若函數(shù)滿足:①是偶函數(shù);②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.則同時(shí)滿足①②的,的一組值可以分別是__________.16.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)2019年9月26日,攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國(guó)慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》,2018年國(guó)慶假日期間,西安共接待游客1692.56萬(wàn)人次,今年國(guó)慶有望超過(guò)2000萬(wàn)人次,成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定:若公司某位導(dǎo)游接待旅客,旅游年總收人不低于40(單位:萬(wàn)元),則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明,如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高,則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名,統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入,分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下:分組頻數(shù)(1)求的值,并比較甲、乙兩家旅游公司,哪家的影響度高?(2)從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位:萬(wàn)元)的導(dǎo)游中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn),設(shè)來(lái)自甲公司的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).19.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上,滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),直線與的傾斜角互補(bǔ),且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)(介于兩點(diǎn)之間),是否存在直線,使得直線,,的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列?若能,求出的方程,若不能,請(qǐng)說(shuō)理由.21.(12分)已知橢圓:,不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過(guò)點(diǎn),點(diǎn)滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.22.(10分)已知圓的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

化簡(jiǎn)到,根據(jù)定義域排除,計(jì)算單調(diào)性知正確,得到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當(dāng),關(guān)于的對(duì)稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯(cuò)誤.平移得到的函數(shù)定義域?yàn)椋什豢赡転?,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對(duì)稱,三角函數(shù)平移,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.3、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),由于為純虛數(shù),則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.4、D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù),令,解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)的對(duì)稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.7、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,結(jié)合乘法分配律,求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出,則出,該項(xiàng)為:;②出,則出,該項(xiàng)為:;③出,則出,該項(xiàng)為:;綜上所述:合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí),考查理解能力,計(jì)算能力,分類討論和應(yīng)用意識(shí).8、B【解析】

設(shè)直線的方程為代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理可得,,由可知所以可得代入化簡(jiǎn)求得參數(shù),即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),(,).易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)為,則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得,所以,.因?yàn)椋裕茫?,即,,所?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.9、D【解析】

設(shè),,設(shè):,聯(lián)立方程得到,計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè),,故.易知直線斜率不為,設(shè):,聯(lián)立方程,得到,故,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中的向量的數(shù)量積,設(shè)直線為可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號(hào),即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí),,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).11、C【解析】

設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問(wèn)題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.12、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

第一空:將圓與聯(lián)立,利用計(jì)算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系,再將與聯(lián)立,得到,與結(jié)合可得為等差數(shù)列,進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí),圓,與聯(lián)立消去得,則,解得;由圖可知當(dāng)時(shí),①,將與聯(lián)立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題,關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系,建立遞推式,由遞推式求通項(xiàng)公式,綜合性較強(qiáng),是一道難度較大的題目.15、,【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及,可取,則,由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,得,,即,,可取.故,的一組值可以分別是,.故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,,即故答案為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),乙公司影響度高;(2)見解析,【解析】

(1)利用各小矩形的面積和等于1可得a,由導(dǎo)游人數(shù)為40人可得b,再由總收人不低于40可計(jì)算出優(yōu)秀率;(2)易得總收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,則甲公司的人數(shù)的值可能為1,2,3,再計(jì)算出相應(yīng)取值的概率即可.【詳解】(1)由直方圖知,,解得,由頻數(shù)分布表中知:,解得.所以,甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為:,由于,所以乙公司影響度高.(2)甲公司旅游總收入在中的有人,乙公司旅游總收入在中的有2人,故的可能取值為1,2,3,易知:,;.所以的分布列為:123P.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,是一道中檔題.18、(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程;(2)由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長(zhǎng).試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設(shè),求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴.綜上知,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2)不能,理由見解析【解析】

(1)設(shè),則,由此即可求出橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得,則直線斜率為,設(shè)其方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于對(duì)稱,可求得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),可得,由此可得答案.【詳解】解:(1)設(shè),則,,所以橢圓方程為;(2)設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立得,∴,因?yàn)閮芍本€的傾斜角互補(bǔ),所以直線斜率為,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得,,所以關(guān)于對(duì)稱,由正弦定理得,因?yàn)?所以,由上得,假設(shè)存在直線滿足題意,設(shè),按某種排列成等比數(shù)列,設(shè)公比為,則,所以,則此時(shí)直線與平行或重合,與題意不符,所以不存在滿足題意的直線.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查計(jì)算能力與推理能力,屬于難題.21、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)點(diǎn)差法,即可求得直線的斜率,則方程即可求得;(Ⅱ)設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,利用韋達(dá)定理,根據(jù),即可求得參數(shù)的值.【詳解】(1)設(shè),,則兩式相減,可得.(*)因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,.代入(*)式

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