習(xí)題課振動(dòng)與波動(dòng)

大學(xué)物理習(xí)題課

——振動(dòng)與波動(dòng)

習(xí)題課內(nèi)容振動(dòng)波動(dòng)內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答內(nèi)容總結(jié)習(xí)題解答振動(dòng)內(nèi)容總結(jié)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義與判據(jù)定義：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移按余弦（或正弦）函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)。判據(jù)動(dòng)力學(xué)判據(jù):受到與對(duì)平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。能量判據(jù)：動(dòng)能與勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)化，總能量不變。運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)：位置隨時(shí)間變化符合正弦或余弦形式。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述數(shù)學(xué)形式x=Acos(t+)基本特征量角頻率振幅A初相能量動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成同方向的兩個(gè)同頻率振動(dòng)合振動(dòng)振幅決定于兩個(gè)振動(dòng)振幅和相差同方向不同頻率振動(dòng)頻率差很小時(shí)存在拍現(xiàn)象，拍頻為分振動(dòng)頻率差相互垂直的兩個(gè)同頻率振動(dòng)圓、橢圓或線段相互垂直的兩個(gè)不同頻率的振動(dòng)利薩如圖簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程阻尼運(yùn)動(dòng)受到與運(yùn)動(dòng)速度相反的阻力作用，不斷克服阻力做功，運(yùn)動(dòng)能量不斷被消耗而減少，振幅不斷減小。三種情況欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼受迫振動(dòng)在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率；驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率時(shí)發(fā)生共振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)可以最大限度地從外界吸收能量。重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)概念——相位初相、相差、同相、反相重點(diǎn)公式——x=Acos(t+)振幅、相位、頻率、初相重點(diǎn)方法——旋轉(zhuǎn)矢量法簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系波動(dòng)內(nèi)容總結(jié)行波簡(jiǎn)諧波波動(dòng)的微分方程與波的傳播速度波的能量惠更斯原理波的疊加與駐波多普勒效應(yīng)行波波函數(shù)的一般形式：波形曲線：某一時(shí)刻的y－x曲線。波的傳播表現(xiàn)為波形曲線以波速u(mài)的平移。xy簡(jiǎn)諧波波函數(shù)形式：注意簡(jiǎn)諧波形曲線與簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線的區(qū)別?！▌?dòng)的微分方程與波的傳播速度波動(dòng)方程：棒中波速：拉緊繩中波速：各向同性介質(zhì)中橫波波速：液體、氣體中縱波波速：波的能量簡(jiǎn)諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平均能量密度：波動(dòng)在傳播振動(dòng)形式的同時(shí)傳播能量。平均能流：平均能流密度（波的強(qiáng)度）：在均勻媒質(zhì)中，平面波的強(qiáng)度不變，球面波強(qiáng)度與半徑的平方成反比?；莞乖砘莞乖恚航橘|(zhì)中任一波陣面上的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時(shí)刻，這些子波的包跡就是新的波振面。應(yīng)用該原理可以解釋波的衍射、反射及折射現(xiàn)象。波的疊加與駐波波的疊加原理：幾列波可以保持各自特點(diǎn)通過(guò)同一介質(zhì)，在波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的位移，為各波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生位移的合成。波的干涉－加強(qiáng)和減弱條件兩列頻率、振動(dòng)方向和振幅都相同而傳播方向相反的簡(jiǎn)諧波疊加形成駐波。表達(dá)式為：其實(shí)質(zhì)是穩(wěn)定的分段振動(dòng)，有波節(jié)和波腹。注意：波從波疏介質(zhì)到波密介質(zhì)的界面反射時(shí)存在半波損失，此點(diǎn)只能是波節(jié)。多普勒效應(yīng)接收器接收到的頻率依賴于波源或觀察者運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。相向運(yùn)動(dòng)相背運(yùn)動(dòng)機(jī)械波一般情況例1.兩個(gè)諧振子作同頻率同振幅的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第一個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式為x1=Acos(t+)，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)振子從振動(dòng)的正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。(1)求第二個(gè)振子的振動(dòng)表達(dá)式和二者的相差；(2)若t=0時(shí)，x1=–A/2，并向x

負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出二者的x-t

曲線及相量圖。解：(1)由已知條件畫(huà)出相量圖，可見(jiàn)第二個(gè)振子比第一個(gè)振子相位落后/2，故=2

–1=–/2，第二個(gè)振子的振動(dòng)函數(shù)為

x2=Acos(t++)=Acos(t+–/2)

A1A2xOA1A2xO(2)由t=0時(shí)，x1=A/2且v<0，可知=2/3，所以

x1=Acos(t+2/3)，x2=Acos(t+/6)

xA-AOtx1x2例題2：如圖所示：一塊均勻的長(zhǎng)木板質(zhì)量為m，對(duì)稱地平放在相距l(xiāng)=20cm的兩個(gè)滾軸上。滾軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖所示，滾軸表面與木板間的摩擦系數(shù)為=0.5。今使木板沿水平方向移動(dòng)一段距離后釋放。證明此后木板將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。l＝20cm解：首先進(jìn)行受力分析木板在豎直方向受重力G和支持力NA和NB作用，處于力矩平衡。木板在水平方向上受相反方向的摩擦力f1和f2作用。xNANBf2f1G=mg0xl/2-xl/2+xAB右輪B上的支持力NB：得左輪A上的支持力NA：設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在l/2處：以右輪B為支點(diǎn)力矩平衡：以左輪A為支點(diǎn)力矩平衡：左輪上的摩擦力f1：右輪上的摩擦力f2：木板在水平方向所受的合外力f：木板在水平方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：整理得：具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，所以木板將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。例題3一橫波沿繩傳播，其波函數(shù)為（1）求此橫波的波長(zhǎng)、頻率、波速和傳播方向；（2）求繩上質(zhì)元振動(dòng)的最大速度并與波速比較。解：（1）對(duì)比簡(jiǎn)諧波函數(shù)的公式得波長(zhǎng):周期T：波速u(mài)：符號(hào)為負(fù)，所以向x正方向傳播。傳播方向：（2）質(zhì)元振動(dòng)的最大速度vmax與波速對(duì)比：是波速的1/4。例題4：一平面簡(jiǎn)諧波沿x正向傳播，如圖所示；振幅為A，頻率為，傳播速度為u。（1）t=0時(shí)，在原點(diǎn)O處的質(zhì)元由平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出波的波函數(shù)；（2）若經(jīng)分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，試寫(xiě)出反射波的波函數(shù)，并求在x軸上因入射波和反射波疊加而靜止的各點(diǎn)位置。OxPux波疏波密解：已知A、、u及＝u/。（1）波在O點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式：由初始條件：

y0＝Acos0=0

，0=/2或-/2v0=-2Asin0

>0，則sin0

<00=-/2故振動(dòng)表達(dá)式為：波函數(shù)為：入射波函數(shù)為：即入射波到達(dá)界面P點(diǎn)的振動(dòng)為由于從波疏到波密介質(zhì)界面發(fā)生半波損失，P點(diǎn)反射的振動(dòng)為反射波的波函數(shù)：合成駐波:

波節(jié)的位置為在OP區(qū)間在處為入射波、反射波干涉相消的靜止點(diǎn)。例題5飛機(jī)在上空以速度v=200m/s作水平飛行，發(fā)出頻率為0＝2000Hz的聲波，靜止在地面的觀察者測(cè)定飛機(jī)發(fā)出的聲波頻率，當(dāng)飛機(jī)越過(guò)觀察者上空時(shí)，觀察者在4s內(nèi)測(cè)出的頻率從1＝2400Hz降為2＝1600Hz，已知聲波在空氣中的速度為u=340m/s。試求飛機(jī)的飛行高度h。AMB在M點(diǎn)接收到飛機(jī)在A點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察者的速度為按照多普勒效應(yīng)公式解出在M點(diǎn)接收到飛機(jī)在B點(diǎn)發(fā)出的聲波，飛機(jī)相對(duì)觀察者的速度為解出AMB由幾何關(guān)系故AMB例6：已知t=2s時(shí)一列簡(jiǎn)諧波的波形如圖，求波函數(shù)及

O點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)方程已知A=0.5m，=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函數(shù)為O點(diǎn)的振動(dòng)函數(shù)為

例7

如圖,一列沿x軸正向傳播的簡(jiǎn)諧波方程為(m)（1）在1，2兩種介質(zhì)分界面上點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O相距L=2.25m.已知介質(zhì)2的波阻大于介質(zhì)1的波阻,假設(shè)反射波與入射波的振幅相等,求：（a）反射波方程;（b）駐波方程;（c）在OA之間波節(jié)和波腹的位置坐標(biāo).yLOAx12yLOAx12解（a）設(shè)反射波方程為（2）由式（1）得A點(diǎn)的反射振動(dòng)方程（3）(m)(m)