計算方法 第四章

計算方法2月24日1第2章插值法引言拉格朗日插值牛頓插值（差分形式）埃爾米特插值分段低次插值三次樣條插值2插值節(jié)點特性已知兩種多項式插值方法拉格朗日插值法牛頓插值法他們對節(jié)點位置沒有要求（任意）如果插值節(jié)點等間距（實際中常見），則牛頓插值法可有所簡化3等距節(jié)點插值問題

給定(x0,y0),(x1,y1),……(xn,yn),

給定x，確定y=?給定的節(jié)點的橫坐標(biāo)還滿足等步長：xi=x0+i*h,其中h>0，稱為步長.從而xi

－xi-1

＝h．此時有更有效的方法嗎？4復(fù)習(xí)：牛頓均差插值多項式牛頓插值公式余項（與拉格朗日插值余項等價）5差分定義6不變算子和移位算子I：不變算子E：移位算子7差分性質(zhì)18差分性質(zhì)1推導(dǎo)（以向前差分為例）9……差分性質(zhì)210差分性質(zhì)3（與均差的關(guān)系）11向前差分計算表格12

向后差分計算表格13

向前/后差分表格14

用差分取代均差的牛頓插值公式15

等距點牛頓插值公式（向前）16等距點牛頓插值公式（向后）17例5x0=0，給出f(x)=cos(x)在xk=kh，k=0,1,…,6，h=0.1處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點插值公式計算f(0.048)及f(0.566)的近似值并估計誤差。x=0.048接近x0，采用牛頓前插，t=0.48x=0.566接近x6，采用牛頓后插，t=-0.34example20318例519埃爾米特(Hermite)插值重點：除了函數(shù)值約束還有導(dǎo)數(shù)值要求求解方法：重節(jié)點均差待定系數(shù)典型——函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)相同20函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)不相同P36兩個典型的埃爾米特插值？重節(jié)點均差21帶重節(jié)點的牛頓插值法(不要求)例：給定x0=0，x1=1，x2=2，試求f(x)的四次埃爾米特插值多項式P(x)，使它滿足P(x0)=0，

P(x1)=1，

P(x2)=1，

P’

(x0)=0，

P’(x1)=1f[x0,x0]f[x1,x1]22沒有重節(jié)點的牛頓插值法23重節(jié)點均差24特例：泰勒展開只有一個插值節(jié)點：x0將這個節(jié)點看作是一個n重節(jié)點25待定系數(shù)法（函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個數(shù)不同）先用一般牛頓插值法獲得符合函數(shù)值要求的多項式追加一項不影響之前約束的項，求解系數(shù)26典型埃爾米特插值還是多項式插值，還是n+1個插值節(jié)點條件增加到2n+2個n+1個插值節(jié)點的函數(shù)值n+1個插值節(jié)點的導(dǎo)數(shù)值可以確定的多項式次數(shù)增加到2n+1次

H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+127基本思想類似拉格朗日法用插值基函數(shù)的線性組合表示每個插值基函數(shù)都是2n+1次的多項式每個插值點對應(yīng)2個插值基函數(shù)一個插值基函數(shù)用來滿足函數(shù)值要求一個插值基函數(shù)用來滿足導(dǎo)數(shù)值要求28埃爾米特插值的構(gòu)成如果獲得了滿足上述條件的插值基函數(shù)，則可構(gòu)成插值多項式其中的線性系數(shù)為29如何求插值基函數(shù)？利用已有的拉格朗日基函數(shù)lj(x)是n次的，而且已經(jīng)滿足了特定條件，所以以此為基礎(chǔ)構(gòu)造所需的兩種基函數(shù)問題一：已經(jīng)滿足什么約束？問題二：還需要滿足什么約束？依據(jù)它們各自需要達(dá)到的條件來解出待定系數(shù)a和b。30