電大 社會統(tǒng)計(jì)學(xué) 第七章 統(tǒng)計(jì)推斷

社會統(tǒng)計(jì)學(xué)任課教師：徐依婷578012689@教材：中央廣播電視大學(xué)出版社，陳衛(wèi)

第七章統(tǒng)計(jì)推斷學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解統(tǒng)計(jì)推斷的原理和隨機(jī)現(xiàn)象、概率分布

2、掌握樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布

3、掌握中心極限定理、總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

4、掌握虛無假設(shè)和替換假設(shè)第一節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷中的相關(guān)概念一、隨機(jī)性1、統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布和概率理論，由樣本統(tǒng)計(jì)量來推斷總體參數(shù)的過程，包括參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩部分內(nèi)容。例如，我們知道某班級一部分同學(xué)的期末成績，以此推測這個班同學(xué)的平均成績。2、隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象就是在同一組條件下，每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)某一結(jié)果，也可能不出現(xiàn)，也就偶然現(xiàn)象。二、概率模型（一）隨機(jī)變量：如果某現(xiàn)象的出現(xiàn)是一個隨機(jī)現(xiàn)象，那么變量X就是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量分為兩類：離散型隨機(jī)變量：變量的值可以逐個列舉出來。連續(xù)性隨機(jī)變量：變量的值不能一一列舉出來，而是數(shù)軸上某一區(qū)間的任意一點(diǎn)。（二）概率分布概率分布就是隨機(jī)變量的取值與其概率構(gòu)成的分布。通常用P(X)表示隨機(jī)變量X的概率，概率分布就是X的取值與P(X)的關(guān)系分布。根據(jù)隨機(jī)變量的不同，也分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布兩種。離散型概率分布連續(xù)型概率分布采用函數(shù)的形式來表示連續(xù)型概率分布。連續(xù)型隨機(jī)變量取任何一個特定的值的概率為0。因而不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率，通常是研究它取某一區(qū)間值的概率。例如，研究a﹤x﹤b的概率，即求P(a﹤x﹤b)是有意義的。三、統(tǒng)計(jì)量1、總體與樣本：總體：由所研究的全體元素組成的集合稱為總體，而把組成總體的每個元素稱為個體。例如，在考察某一批燈泡的質(zhì)量時，該批燈泡的全體就組成一個總體，而其中每個燈泡就是個體。樣本：為了解總體X的分布規(guī)律或某些特征，我們必須對總體進(jìn)行抽樣觀察，即從總體X中隨機(jī)抽取n個個體，并稱為來自總體X的容量為n的樣本。（二）參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量參數(shù)是研究者想要了解的總體的某種特征值，主要有總體平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、比例等。總體參數(shù)往往是一個未知數(shù)，這也正是抽樣的意義所在，人們利用抽樣調(diào)查的方法根據(jù)樣本信息推斷總體參數(shù)值。統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的一個量，關(guān)心的樣本統(tǒng)計(jì)量主要有樣本平均數(shù)、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本比例等。樣本統(tǒng)計(jì)量通常選用英文大寫字母來表示。與參數(shù)不同，統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的，有關(guān)樣本的特征值，因而統(tǒng)計(jì)量是已知的，可以計(jì)算的，是估計(jì)總體參數(shù)的依據(jù)。第二節(jié)抽樣分布樣本分布是樣本中所有元素各個觀察值形成的分布。我們可以得知樣本中所有元素的觀察值的，樣本的分布是可以通過統(tǒng)計(jì)圖表示的。樣本是從總體中抽取的，必然包含總體的一些信息和特征，有時我們也稱為樣本分布或經(jīng)驗(yàn)分布。當(dāng)抽取的樣本容量n足夠大時，樣本的分布就接近總體的分布。同樣，當(dāng)總體很大，而樣本量很小時，樣本對總體的代表性就相對較差。抽樣分布抽樣分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，它是在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由每個樣本計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的相對頻數(shù)分布。樣本均值的抽樣分布對于每一個樣本我們都可以計(jì)算均值，抽取的樣本不同，計(jì)算的均值就不同，因而我們說樣本均值是隨機(jī)變量。樣本均值的抽樣分布是所有樣本均值形成的分布，即樣本均值的概率分布。中心極限定理樣本均值的抽樣分布與總體的分布和樣本容量n有關(guān)，當(dāng)總體為正態(tài)分布時，均值抽樣分布為正態(tài)分布，或者當(dāng)樣本容量n很大時，均值的抽樣分布接近正態(tài)分布。這就是著名的中心極限定理。中心極限定理具體內(nèi)容為：不論總體分布是否服從正態(tài)分布，從均值為μ、方差為σ2的總體中，抽取容量為n的隨機(jī)樣本，當(dāng)n充分大時（通常要求n≥30），樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布。（三）樣本均值抽樣分布的特征假設(shè)從容量N的總體中抽取容量為n的樣本，其中總體的均值為μ，方差為σ2，樣本均值的數(shù)學(xué)期望為E（），方差為σ2x三、樣本比例的抽樣分布用π表示總體比例，用P表示樣本比例。第三節(jié)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個重要部分，它是用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)的過程。參數(shù)估計(jì)可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種類型。一、點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)就是直接用估計(jì)量作為總體參數(shù)θ的估計(jì)值。用樣本均值直接作為總體均值μ的估計(jì)值，用樣本比例P直接作為總體比例π的估計(jì)值，用樣本方差直接作為總體方差的估計(jì)值等。例如，隨機(jī)樣本的均值為6分，我們用6分直接作為總體的估計(jì)值，認(rèn)為這次考試總體平均分為6分，這就是點(diǎn)估計(jì)。一個好的估計(jì)量的特征：（1）無偏性。用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時必定會有誤差，但是多個統(tǒng)計(jì)量中有的偏大、有的偏小，偏差的平均數(shù)為0，這時，這個統(tǒng)計(jì)量就是無偏估計(jì)量。或者說估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于總體參數(shù)時，就具有無偏性。（2）一致性。所謂一致性是指當(dāng)樣本容量無限增大時，估計(jì)值應(yīng)能越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)。（3）有效性。是指當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)不止一個統(tǒng)計(jì)量時，標(biāo)準(zhǔn)差小的估計(jì)量更有效，標(biāo)準(zhǔn)差大的有效性就相對差。也就是說，估計(jì)量與總體參數(shù)的離散程度也要較小。（4）充分性。是指一個容量為的樣本統(tǒng)計(jì)量，是否充分反映了全部個數(shù)據(jù)所反映總體的信息，這就是充分性。二、區(qū)間估計(jì)（一）區(qū)間估計(jì)的定義（二）置信水平和置信空間置信區(qū)間是在區(qū)間估計(jì)中，由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，它有估計(jì)量加減抽樣誤差構(gòu)成，我們將區(qū)間的最小值稱為置信下限，區(qū)間的最大值稱為置信上限。置信水平就是將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例。求置信區(qū)間的步驟（四）區(qū)間估計(jì)1、總體均值的區(qū)間估計(jì)在進(jìn)行區(qū)間估計(jì)時，我們應(yīng)首先判斷總體是否為正態(tài)分布、樣本是否為大樣本、總體方差是否已知，然后通過樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。具體包括以下步驟：總體方差的區(qū)間估計(jì)與總體比例的區(qū)間估計(jì)，只要求了解。詳見書138頁。第四節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)一、概念假設(shè)檢驗(yàn)是首先對總體參數(shù)建立一個假設(shè)，然后根據(jù)樣本信息區(qū)檢驗(yàn)這一假設(shè)是否正確。假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)都是建立在抽樣分布的基礎(chǔ)上。例如，某品牌燈泡的壽命X服從正態(tài)分布(μ，125)，廠方說它的平均工作壽命是1800小時。隨機(jī)測試16次，得到的平均工作溫度是1750度。樣本結(jié)果與廠方所說的是否有顯著差異？廠方的說法是否可以接受？這就是假設(shè)檢驗(yàn)要解決的問題。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想可以用小概率原理解釋。小概率原理，就是在一次試驗(yàn)中小概率事件是幾乎不可能發(fā)生的。也就是說，如果我們對總體的某個假設(shè)是真實(shí)的，那么極端值（不支持假設(shè)的事件）是幾乎不可能發(fā)生的。如果發(fā)生了，我們就有理由懷疑這一假設(shè)的真實(shí)性，拒絕這一假設(shè)。第四節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)二、虛無假設(shè)和替換假設(shè)一般假設(shè)檢驗(yàn)的做法是：選擇一個檢驗(yàn)，使得當(dāng)H0為真時，拒絕H0的犯