微積分A2(第七章第1、2、3節(jié))

第七章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、n維空間與多元函數(shù)R—實(shí)數(shù)的全體(集合)—數(shù)軸上點(diǎn)(實(shí)數(shù))的集合

—二元有序數(shù)組(x,y)的集合—三元有序數(shù)組

(x,y,z)的集合—n元有序數(shù)組 的集合上點(diǎn)的坐標(biāo)

x上點(diǎn)的坐標(biāo)

(x,y)上點(diǎn)的坐標(biāo)

(x,y,z)上點(diǎn)的坐標(biāo)

——

一維空間——

二維空間——三維空間——n維空間§1.

多元函數(shù)的基本概念……一元函數(shù)二元函數(shù)三元函數(shù)n元函數(shù)二元與二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。二元函數(shù)的定義回憶點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.定義1

設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)

變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z

是變量x，y

的二元函數(shù)，記為或記為類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數(shù)的兩個(gè)要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則.定義1

設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)

變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱z

是變量x，y

的二元函數(shù)，記為或記為x二、多元函數(shù)的定義域在一維空間上，1．鄰域在二維空間上，(.)x0y0x0xyP02．區(qū)域（內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界、連通集、開集、閉集、有界點(diǎn)集）設(shè)

E

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，對(duì)點(diǎn)

P，若存在則稱

P

為

E

的內(nèi)點(diǎn)。若

E

中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，.

PE0xy2則稱

E

為開集。若點(diǎn)集

E

的余集Ec

為開集，則稱

E

為閉集。開集

若點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)，既含有屬于

E

的點(diǎn),又含有不屬于

E

的點(diǎn),則稱

P為

E

的邊界點(diǎn)。滿足

x2+y2=4的點(diǎn)

(x,y)02xyE·P都為邊界點(diǎn)。邊界點(diǎn)的全體稱為

E

的邊界。E

的邊界點(diǎn)可能屬于E，也可能不屬于E。若點(diǎn)P

的任一去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)，則稱

P

是

E

的聚點(diǎn)。滿足

x2+

y2

=4的點(diǎn)

(x,y)02xy都是

E1聚點(diǎn)。點(diǎn)集E

的聚點(diǎn)P可以

屬于E,也可以不屬于E.

若開集

E

中任意兩點(diǎn)都可用全落在

E

中的折線連接起來，則稱

E

為連通集。P1P2P1P2（單連通）（多連通）連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。如區(qū)域

+邊界

稱為閉區(qū)域。如EE

上述的所有概念可以類似推廣到

n

維空間上。區(qū)域則稱

E

為有界點(diǎn)集，否則稱為無界點(diǎn)集。有界區(qū)域：即區(qū)域

E

能被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心，r為半徑的圓內(nèi)。Er二元函數(shù)的定義域

D2

是平面上的一個(gè)區(qū)域；三元函數(shù)的定義域

D3是(三維)空間的一個(gè)區(qū)域；n元函數(shù)的定義域

Dn

是

n

維空間的一個(gè)區(qū)域。有界點(diǎn)集：否則稱為無界區(qū)域。與一元函數(shù)相類似，對(duì)于定義域約定：

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)的集合。例1

求的定義域．解所求定義域?yàn)槔?:求下列函數(shù)的定義域

解：xy0解：x+y≥0x+y=0x+y>0xy0無界練習(xí):（1）求下列函數(shù)的定義域:圓錐面（2）上半球面全平面xyzoxyzo

二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，對(duì)于任意取定的對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為z=f(x,y)。

以x為橫坐標(biāo)、y

為縱坐標(biāo)、z

為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)M(x,y,z),當(dāng)(x,y)取遍D

上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如,圖形如右.例如,球面.單值分支:例1：例2：解：解：則可解得所以三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性定義1 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)

P(x,y)∈D,都有則稱常數(shù)A為

f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)的極限成立，（又稱二重極限），記作定義2

設(shè)函數(shù)

f(x,y)的定義域?yàn)?/p>

D，則稱函數(shù)

f(x,y)在

P0(x0,y0)點(diǎn)連續(xù)。即P0(x0,y0)∈D

且是

D

的聚點(diǎn)，如果

若

f(x,y)在

D

內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，則稱

f(x,y)在

D

內(nèi)連續(xù)，或稱

f(x,y)是

D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。問題1.二元函數(shù)與一元函數(shù)的極限定義是否一樣？不同在何處？2.二元函數(shù)與一元函數(shù)的連續(xù)概念是否一樣？它們的間斷點(diǎn)有何不同？當(dāng)P→P0時(shí)，函數(shù)值與極限值的距離可以對(duì)一元：對(duì)二元：1、極限定義的相同之處：無限接近于零。即

二元和一元函數(shù)一樣，在某點(diǎn)是否有極限，與在該點(diǎn)是否有定義無關(guān)；

二元和一元函數(shù)的極限運(yùn)算法則完全類似，可以照搬。不同之處：一元：當(dāng)

x→x0時(shí),只在

x

軸上變化，二元：PP0正是這，導(dǎo)致了多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的不同。必須特別注意！xy特殊的有P

有無數(shù)條路徑通往P0，xx0

只有當(dāng)

P(x,y)無論以何種方式→P0(x0,y0)時(shí)，稱A為

z=f(x,y)當(dāng)(x,y)→(x0,y0)時(shí)的二重極限。稱

A為

z=f(x,y)的二次極限。

一般地，二重極限

≠二次極限f(x,y)都趨向于A，才能說當(dāng)

P→P0時(shí)，f(x,y)以A為極限，記為

一般地，二重極限

≠二次極限僅知其中一個(gè)存在,推不出其它二者存在.二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由后面的例2知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.

確定極限不存在的方法(1)如P(x,y)以某種特殊方式→P0(x0,y0)時(shí)，

f(x,y)的極限不存在，此時(shí)可斷言f(x,y)

在P0(x0,y0)處的極限不存在；例1

求證

證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．例2在點(diǎn)(0,0)處的極限。(即(x,y)=(0,0)時(shí))若(x,y)沿x軸趨向(0,0)解:

考察函數(shù)即考察若(x,y)沿y軸趨向(0,0)(即(x,y)=(0,0)時(shí))選路徑

y=kx,

顯然,極限值隨

k

的不同而不同,即D內(nèi)任一點(diǎn)

(x,y)沿直線

y=kx→

(0,0)xy.(x,y).(x,y)D例3.求解:例4.求解一:解二:例5.

解：2、連續(xù)概念的相同之處：不同之處：f(x)的圖形是一條連綿不斷的曲線，f(x,y)的圖形是一個(gè)無孔隙、無裂縫，如不連續(xù)，其間斷點(diǎn)是一些孤立的點(diǎn)。如不連續(xù)其間斷點(diǎn)可以是一些孤立的點(diǎn)，也完整無缺的曲面。一元：二元：極限值等于函數(shù)值?？梢赃B成一條曲線（間斷線）。如:(1)前例1中∴(0,0)是其一個(gè)間斷點(diǎn),即

f(x,y)在(0,0)處不連續(xù)。(2)(3)多元初等函數(shù)：由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法”：例6求極限

解是多元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上定義的多元連續(xù)函數(shù)，在在有界閉區(qū)域D上定義的多元連續(xù)函數(shù)，如（1）最大值和最小值定理（2）介值定理D上至少取得它的最大值和最小值各一次．果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．課外作業(yè)

習(xí)題7—1(A)5(3,4,6)—要求作圖,6(3,5),7(2)

習(xí)題7—1(B)2§2 偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算表示函數(shù)

y

對(duì)自變量

x的變化率。多元(二元)函數(shù)

z=f(x,y),一元函數(shù)

y=f(x)的導(dǎo)數(shù)若固定一個(gè)變量(如

y)，函數(shù)

z

對(duì)另一變量(如

x)的變化率:

回憶定義：設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)

y

固定在

y0，而

x在

x0處有增量△x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量（偏增量）：如果存在則稱此極限為函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)

x

的偏導(dǎo)數(shù)，記作同理，若固定

x=x0,

則稱此極限為函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)

(x0,y0)處若

fx,fy

在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處都存在，則對(duì)

y

的偏導(dǎo)數(shù),記作稱其為

z=f(x,y)對(duì)

x或

y的偏導(dǎo)(函)數(shù)。記作說明：3、偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的法則相仿。2、上述定義可以推廣到二元以上的函數(shù)，如有：f(x,y,z)在D內(nèi)任一點(diǎn)(x,y,z)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)1、例1.解一：例1.解二：例2.解：例3.解：證例4：已知理想氣體的狀態(tài)方程pV=RT(R為常數(shù))，求證：解于是，考慮點(diǎn)(0,0)對(duì)x

的偏導(dǎo)數(shù)，于是，xz

y0由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z=f(x,y)L：L=tan偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義y=y0同理可解釋MTx固定

y=y0得曲線Mz=f(x,y)Lx=x0固定

x=x0Tx偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xz

y0M由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z=f(x,y)L=tanx=x0固定

x=x0TxTy偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xz

y0得曲線即在M

處的切線對(duì)

x軸的斜率。即在M

處的切線對(duì)

y軸的斜率。例：曲線在點(diǎn)處的切線與y軸正向所成的夾角是多少？解：偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別(1)是函數(shù)沿平行

x

軸方向上的變化率。是函數(shù)沿平行

y

軸方向上的變化率。(2)可理解為

dy

與

dx

之“微商”；是一個(gè)整體，不可拆開，更不是微商。是函數(shù)對(duì)自變量

x

的整體變化率。（可參見前面的例題4–理想氣體的狀態(tài)方程）(3)一元函數(shù)：連續(xù)

可導(dǎo)多元函數(shù)：

連續(xù)

可偏導(dǎo)例：但不存在例:在點(diǎn)(0,0)處的極限不存在，則也不連續(xù)。函數(shù)但在點(diǎn)(0,0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為同理課外作業(yè)

習(xí)題7—2(A)1(3),2,3(3,4,8),6

習(xí)題7—2(B)2

二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

z=f(x,y)在區(qū)域

D

內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)它們?nèi)允莤,y

它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。二階偏導(dǎo)數(shù)有四種：的函數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例題

例1:解：例如,可求得二者不等。

如果在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)函數(shù)f(x,y)的混合偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y)

與

fyx(x,y)

都存在，且它們?cè)邳c(diǎn)(x,y)處連續(xù)，那么n元函數(shù)的連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)與

fxy(x,y)=fyx(x,y)

求導(dǎo)次序無關(guān)。定理：

如果在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)函數(shù)f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)，fy(x,y)與

fxy(x,y)

都存在，且fxy(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)，那么混合偏導(dǎo)數(shù)fyx(x,y)也存在，且有

fyx(x,y)=fxy(x,y)

定理：前一定理的條件可以減弱，有例2：

注:此方程又稱為拉普拉斯方程,記成△u=0

證：同理，例2：課外作業(yè)

習(xí)題7—2(A)8(2,4)

習(xí)題7—2(B)3(2),4§3.

全微分一元函數(shù)y=f(x),增量△y=f(x+△x)-f(x)

若△y=A△x+o(△x)，則稱

y

是可微的。其中A△x稱為函數(shù)的微分,記為dy。在可微的情況下，且有回憶二元函數(shù)：z

對(duì)

x

的偏增量△xz=f(x+△x,y)–f(x,y)≈fx(x,y)△x右式稱為

z

對(duì)

x

的偏微分；△yz=f(x,y+△y)–f(x,y)△z=f(x+△x,y+△y)–f(x,y)≈fy(x,y)△y右式稱為

z

對(duì)

y

的偏微分。當(dāng)

x,y

都有增量時(shí)，

稱為

z

對(duì)應(yīng)于自變量增量△x,△y的全增量。z對(duì)

y的偏增量

一.全微分的概念定義:如果函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)

(x,y)的全增量△z=f(x+△x,y+△y)–f(x,y)△z=A△x+B△y+o(ρ

)，且

A,B

不依賴于△x,△y而僅與

x,y

有關(guān)，

則稱

z=f(x,y)在點(diǎn)

(x,y)可微分。

稱為函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)

(x,y)的全微分，記作

dz,dz=A△x+B△y

若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，則稱函數(shù)在D內(nèi)可微?？杀硎境葾△x+B△y

定理1.(可微的必要條件)∵z

可微，∴△z=A△x+B△