動力學建模方法與解法總結(jié)

目錄剛體系統(tǒng) 1彈性系統(tǒng)動力學 6高速旋轉(zhuǎn)體動力學 10PAGEPAGE13剛體系統(tǒng)體和仿生學中關于動物運動規(guī)律的研究都提出了多剛體系統(tǒng)的一系列理論模型（包含有閉鏈；按其同外界的聯(lián)系情況，則有有根和無根之別。利用圖論的工具可以對于精確地掌握這些對象的運動規(guī)律是很有價值的。自由物體的變分運動方程任意一個剛體構(gòu)件i，質(zhì)量為mi

，對質(zhì)心的極轉(zhuǎn)動慣量為J，設作用于i剛體的所有外力向質(zhì)心簡化后得到外力矢量 F和力矩ni i

，若定義剛體連體坐標系xoy的原點o位于剛體質(zhì)心，則可根據(jù)牛頓定理導出該剛體帶質(zhì)心坐標的變分運動方程：

rT[mF][Jn]0 (1-1)i ii i i i i i其中，ri

為固定于剛體質(zhì)心的連體坐標系原點o的代數(shù)矢量，i

為連體坐標系相對于全局坐標系的轉(zhuǎn)角，ri

與i

r與i

的變分。定義廣義坐標：廣義：

q [rT,i i

]T (1-2)及質(zhì)量矩陣：

Q [FT,ni i

]T (1-3)M diag(m,mi i i

,J) (1-4)i體坐標系原點固定于剛體質(zhì)心時用廣義力表示的剛體變分運動方程：qT(Mi束多體系統(tǒng)的運動方程

Qi i

)0 (1-5)考慮由nb個構(gòu)件組成的機械系統(tǒng)，對每個構(gòu)件運用式 (1-5)，組合后可得系統(tǒng)的變分運動方程為：nbi1

qT[Mi

Qi i

]0 (1-6)若組合所有構(gòu)件的廣義坐標矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量，構(gòu)造系統(tǒng)的廣義坐標矢量、質(zhì)量矩陣及廣義力矢量為：q[qT,qT,...,qT]T

(1-7)1 2 nbMdiag(M,M ,...,M ) (1-8)1 2 nbQ[QT,QT,...,QT]T

(1-9)1 2 nb系統(tǒng)的變分運動方程則可緊湊地寫為：qTQ]0 (1-10)對于單個構(gòu)件，運動方程中的廣義力同時包含作用力和約束力，但在一個系統(tǒng)中，若只考慮理想運動副約束，根據(jù)牛頓第三定律，可知作用在QA[QAT,QAT,...,QAT]T (1-11)其中：

2 nbQA[FAT,nA]T，inb (1-12)i i則理想約束情況下的系統(tǒng)變分運動方程為：qTQA]0 (1-13)式中虛位移q與作用在系統(tǒng)上的約束是一致的。系統(tǒng)運動學約束和驅(qū)動約束的組合如式(1-10)，為：(q,t)0 (1-14)對其微分得到其變分形式為：

q0 (1-15)q式(1-13)和(1-15)組成受約束的機械系統(tǒng)的變分運動方程。為導出約束機械系統(tǒng)變分運動方程易于應用的形式，運用拉格朗日乘子定理對式(1-13)和(1-15)進行處理。拉格朗日乘子定理：設矢量bRnxRnARmn為常數(shù)矩陣，如果有：

bTx0 (1-16)對于所有滿足式（1-84）的x條件都成立。Ax0 (1-17)則存在滿足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量Rm。x

bTxTAx0 (1-18)在式(1-13)和(1-15)中，qRn，MRnn，QARn， Rmn，運用q拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，則存在拉格朗日乘子矢量Rm，對于任意的q應滿足：QA

TQA0 (1-19)q q由此得到運動方程的拉格朗日乘子形式：TQAq

(1-20)式(1-20)還必須滿足式(1-10)、(1-12)和(1-14)束方程及加速度約束方程，如下：(q,t)0 (1-21)(,,t)q(,t)0，t(q,t) (1-22)(,,,t)q(,t)(q,,t)0，(q)q2qttt (1-23)以上三式其維數(shù)同式(1-14)。式(1-20)(1-21)(1-22)和(1-23)將式(1-20)與(1-23)聯(lián)立表示為矩陣形式：M T QA q (1-24)q0 q式(1-24)即為多體系統(tǒng)動力學中最重要的動力學運動方程，式 (1-24)還必滿足式(1-22)和(1-23)。它是一個微分——代數(shù)方程組，不同于單純的常微分方程組問題，其求解關鍵在于避免積分過程中的違約現(xiàn)象，此外，還要注意DAE問題的剛性問題。如果系統(tǒng)質(zhì)量矩陣是正定的，并且約束獨立，那么運動方程就有唯一解。實際中的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣通常是正定的，只要保證約束是獨立的，運動方程就會有解。在實際數(shù)值迭代求解過程中，需要給定初始條件，包括位置初始條件q(t和速度初始條件。此時，如果要使運動方程有解，還需要滿足初0 0值相容條件，也就是要使位置初始條件滿足位置約束方程，速度初始條件(1-24)及(1-21)(1-22)初值相容條件為：(q(t),t)0 (1-25)0 0(qt),t),t)(qt),t)t)(qt),t)0 (1-26)0 0 0 q 0 0 0 0 0正向動力學分析、逆向動力學分析與靜平衡分析對于一個確定的約束多體系統(tǒng)，其動力學分析不同于運動學分析，并不需要系統(tǒng)約束方程的維數(shù)m等于系統(tǒng)廣義坐標的維數(shù)n，mn。在給定外力的作用下，從初始的位置和速度，求解滿足位置約束式 (1-22)及速度束式(1-23)的運動方程式(1-24)，就可得到系統(tǒng)的加速度和相應的速度、位置響應，以及代表約束反力的拉格朗日乘子，這種已知外力求運動及約束反力的動力學分析，稱為正向動力學分析。如果約束多體系統(tǒng)約束方程的維數(shù) m與系統(tǒng)廣義坐標的維數(shù)n相等mn，也就是對系統(tǒng)施加與系統(tǒng)自由度相等的驅(qū)動約束，那么該系統(tǒng)在運動學上就被完全確定，由2.2.3解系統(tǒng)運動。在此情況下，雅可比矩陣是非奇異方陣，即：q(q,t)0 (1-27)展開式(1-24)的運動方程，為：TQAq

(1-28) (1-29)q由式(1-29)(1-28)，拉格朗日乘子就唯一地確定了作用在系統(tǒng)上的約束力和力矩（主要存在于運動副中）。這種由確定的運動求系統(tǒng)約束反力的動力學分析就是逆向動力學分析。如果一個系統(tǒng)在外力作用下保持靜止狀態(tài)，也就是說，如果：0 (1-30)那么，就說該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。將式 (1-30)代入運動方程式(1-20)，得平衡方程：TQAq

(1-31)由平衡方程式(1-21)及約束方程式(1-13)可求出狀態(tài)q和拉格朗日乘子。這種求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及在平衡狀態(tài)下的約束反力的動力學分析稱為（靜）平衡分析。約束反力對于約束機械系統(tǒng)中的構(gòu)件i，設其與系統(tǒng)中某構(gòu)件j存在運動學約束或驅(qū)動約束，約束編號為k。除連體坐標系xoyi為原點建立一個新的固定于構(gòu)件上的坐標系 x，稱為運動副坐標系，設從坐標系xPy到坐標系xoy的變換矩陣為Ci

，從坐標系xoy到坐標系xoy的變換矩陣為Ai

，則可導出由約束k產(chǎn)生的反作用力和力矩分別為：FkCTATkTk (1-32)i i i riTk(sPTBTkTkT)k (1-33)i i i r i i以上兩式中，k為約束k對應的拉格朗日乘子，反作用力 Fk和力矩Ti i

k均為運動副坐標系xPy中的量。彈性系統(tǒng)動力學的旋翼等工程結(jié)構(gòu)發(fā)展的需求，使運動中的彈性結(jié)構(gòu)的動力學分析得到了很大運動中彈性體的動力分析問題可分為兩類,其一是具有給定剛體運動的彈體運動與其中的彈性體的彈性變形的相互耦合的動力分析,在這類問題中,體的變形會受到系統(tǒng)剛體運動的影響，反之彈性體的變形也會影響系統(tǒng)的剛體運動。下面采用運動參考系方法并用Jourdain動力學普遍方程導出了具有空間一,接積分法。下面給出了對時變的運動彈性的動力學方程的Neumann2積分解法,該方法可以在保證計算精度的前提下很大程度地節(jié)省機時。圖2-12-1BB的剛體運動與彈性變形:靜系ox1x2x3o系;B上的o點,B上的動o o o 1系o

x2x3

系。B的剛體移動由o

點對于o點的矢量r

B的o1o o o 1 1o1 1 1 1空間轉(zhuǎn)動則用o1

系對o系的轉(zhuǎn)動來定義,BP的彈性變形則用在o系1內(nèi)的彈性變形位移矢量u來表示。B發(fā)生彈性變形后,P對o系的位置矢量可以表示為:r r rp o u1而

（2-1）r ru （2-2）u其中rBP點在o1

系中的位置矢量，u則表示P點的彈性變形位移矢量。把(2-2)式代入(2-1)式并向o系投影,且采用矩陣形式表示為:

rop

roAoo1Aoo11

roro

uouo

（2-3）A1其中ro 和ro 分別表示r 和r 向o 系的投影列陣；oo 表示A1

系向o系轉(zhuǎn)移opp o 1op1 的方向余弦矩陣。把(3-3)式中u1 的用有限元的格式，表達為:uoNuoN1

（2-4）其中 P為單元形函數(shù)矩陣， 為 點所在單元的有限元結(jié)點位移列陣把(2-4)式代入(2-3)式,并利用公式:

（2-5）11A1Aoo oo 11A1 o其中 是 系相對于o系轉(zhuǎn)動角速度在oo111由(2-3)式對時間分別求一次導數(shù)和二次導數(shù)可得P點的速度vop

和加速度aoP點的虛速度vo

于是P點鄰域之微元體的Jourdain動力p學普遍方程可以寫作:

pT

，

（2-6）vop

mao 0p p其中: m

為彈性體在P點的質(zhì)量密度；f是作用于P點微元體上的全部力在Op 1系上的投影。T

對于vop

可利用常規(guī)有限元的格式將它寫作:T

T

vo

NTFK

（2-7）p 其中:和P點的值;P點微元體上的外力在O1

系的列陣,把求得的P點的虛速度和加速度以及(2-7)式代(2-6)式,并考慮到中諸元素之獨立性,P點微元體的動力學方程為： T

TN F K

m

dvVp p

ao p

（2-8）將(2-8)式對單元積分便可得運動的彈性體的單元動力學方程:

MeCeKe

Fe （2-9） 式中:Me

NT

dvpCeT

T T

N

Ndv2m

Aoo

oo

Aoo

NdvC C1 1 1p s dKeT

T T

BA1 A1

DBdvm p

oo

oo

oo

1A1oo oo1A11

NdvK Ks dFe

TT

TT

NT

Fdvm Np

oo rodvm No p

oo

oo

oo

oo oo1

o dvAA11Ar111AA11Ar111s

Fd

1

其中分別是常規(guī)有限元法中的單元阻力陣剛度陣和外力向量,s s s而d

，Kd

d

則分別是由于剛體運動與彈性變形的耦合而產(chǎn)生的附加單元動力阻尼陣、動力剛度陣和動力力向量。而且由于它們的表達式中含有表示彈性r r 體空間運動量o和

，因此,通常這些動力附加項是時變的。當彈性體的剛o1體運動速度特別是轉(zhuǎn)動速度較大時,彈性體受到較大的慣性力作用,會產(chǎn)生變形,由于離心慣性力產(chǎn)生的軸向拉力會增大梁的抗彎剛度,即所謂的“剛化效應”。這時在(2-10)中需計入結(jié)構(gòu)s的幾何剛度陣,結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣往往是未知內(nèi)力的函數(shù),這時方程(2-9)式就是一個非線性的動力方程。但對于簡單的彈性體,如梁,由于剛體運動的慣性力產(chǎn)生的軸力容易求得,即方程(2-9)式為時變動力學方程時的數(shù)值解法。顯然,若彈性體沒有剛體運動,則方程(2-9)式退化為常規(guī)的有限單元動力學方程。把(2-9)式按常規(guī)有限元的組集方法進行組集,便可得到對于運動彈性體的具有時變特性的、通用的有限元動力學方程:MCKF

（2-10） 高速旋轉(zhuǎn)體動力學高速旋轉(zhuǎn)體通常是由是由三個剛體──外環(huán)、內(nèi)環(huán)、轉(zhuǎn)子互相約束在一起而成，對稱卡登陀螺儀和單剛體陀螺儀的理論模型沒有本質(zhì)區(qū)別，具有所謂“但實際上,理論研究和精密的實驗研究都已證明這個想法是錯誤的。平衡對稱卡登陀螺儀的空間定向大都具有里雅普諾夫意義下的不穩(wěn)定性（見運動穩(wěn)定性。能正確解釋卡登陀螺儀的動力學特征。圖3-13-1D與長度lD/l5,一般都采用矢量法來求校m、mm和m。但是這種方法所帶來問題是力多邊形不b b bb bb動平衡機的工廠無疑有一定的實用價值。3-2所示，不平衡質(zhì)量m、m、m1 2 3

分別分布在123內(nèi),各質(zhì)點距回轉(zhuǎn)軸線的矢徑分別為rr、1 2r。當轉(zhuǎn)子以等角速度?；剞D(zhuǎn)時,各質(zhì)點所產(chǎn)生的離心慣性力分別為3Pm1 1

r2 （3-1）1P m2 2

r2 （3-2）1Pm3 3

r2 （3-3）1圖3-2TA與軸線垂直的平面T過B與軸線垂直的平面作為校正平面，在TT平面內(nèi)分別加上校正質(zhì)量m、bm，矢徑為r、r，則校正質(zhì)量所產(chǎn)生的離心慣性力為Pmr2和b b b b bbPmr2PPPPP組成了空間力系。b bb

1 2 3 b bxyz軸如圖所示，并將作用在轉(zhuǎn)子上的所有力向YAZXAY3-3所示。圖3-3在圖3-3中,所有的力組成了平面平行力系,列平衡方程：m0，P

l

lPl0 （3-4） A

1z1

2z2 bzF 0，PP P P0 （3-5）解得：

z bz 1z 2z bz PlPlP 2z2bz

1z1

（3-6）PPP P

（3-7）式中：

bz 2z 1z 2zP PZ

Pcos

，N；1z 1P P2z 2

1zZPz

1 1Pcos2

，N；PPZPPcosN；bz b bz bP