第三章 線性系統(tǒng)的時域分析

1自動控制原理第3章線性系統(tǒng)的時域分析12第3章線性系統(tǒng)的時域分析3.1引言3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3.3一階系統(tǒng)的時域分析3.4二階系統(tǒng)的時域分析3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.7控制系統(tǒng)穩(wěn)定誤差的分析及計(jì)算3.8MATLAB在本章中的應(yīng)用233.1引言經(jīng)典控制理論中常用的工程分析方法有3種：時域分析法（timedomainanalysis）根軌跡法（rootlocusmethod）頻率響應(yīng)法（frequencyresponsemethod）時域分析法的特點(diǎn)：1).直觀、精確。2).比較煩瑣。時域分析法的物理概念清晰，準(zhǔn)確度較高，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后，使用時域分析法比較方便。但若用它來設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，卻存在一定的困難。分析內(nèi)容：瞬態(tài)性能；穩(wěn)態(tài)性能；穩(wěn)定性34Controlsystemsarerequiredtohavesatisfactorytransientandsteadystateresponses.Thesearecontradictoryrequirements,andthefinaldesignisoftenacompromisebetweenthetwo.Quantitativeperformancemeasuresarerequiredtocarryforwardthedesignprocessandtomakecomparisonsbetweencompetingdesigns.Quantitativeperformancemeasuresoffeedbackcontrolsystemswillenablequantificationofdesignobjectivessothatdesigncanbecarriedoutlogicallyandsystematically(removefuzzinessassociatedwithcustomerrequirements)andenablemeaningfulcomparisonstobemadebetweencompetingdesigns.3.1引言45Thecriteriaforselectionofperformancemeasuresinclude:(1)designobjectivestranslateintosimpledesignrules;(2)easytoanalyse;(3)experimentallymeasurable.Designspecificationsforcontrolsystemsnormallyincludeseveraltimeresponseindicesforaspecified(test)referenceinputaswellasadesiredsteady-stateaccuracy.Thistopicintroducesyoutothetimedomainperformancemeasuresthatarewidelyusedbycontrolpractitioners.3.1引言56Inthefollowingactivities,youwillexploretherelationshipsbetweenthecommonlyusedquantitativeperformancemeasuresoffeedbackcontrolsystemsandthelocationofthesystemtransferfunctionpolesandzerosinthes-plane.Youwilllearnthatasecondordertransferfunctionwithdampingratioξ≈0.7hastheoptimumtransientresponse,whileitsnaturalfrequencyωn

determinesthedurationofthetransients.Itisthereforeverydesirabletoaccomplishsuchatransferfunctionforfeedbackcontrolsystems.3.1引言6103.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)時域分析法——在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，其輸出響應(yīng)隨時間變化規(guī)律的方法。根據(jù)時域分析法研究系統(tǒng)性能，可以定量描述包括穩(wěn)定性（Stability）、快速性（Speed）和準(zhǔn)確性（Accuracy）等各項(xiàng)性能指標(biāo)。時域分析法的物理概念清晰，準(zhǔn)確度較高，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后，使用時域分析法比較方便，從而它也成為控制系統(tǒng)研究中直觀而有效的方法之一。10113.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)『TermsandConcepts』（1）Timedomain——Themathematicaldomainthatincorporatesthetimeresponseandthedescriptionofasystemintermsoftime.（2）Time-varyingsystem——Asystemforwhichoneormoreparametersmayvarywithtime.11123.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)1、典型的輸入信號控制系統(tǒng)的響應(yīng)是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)和輸入信號的形式所決定的。為了便于分析和設(shè)計(jì)，我們提出兩個假定，第一個假定，在輸入信號作用于系統(tǒng)的初始t=0時，系統(tǒng)相對靜止，即為零初始狀態(tài)；第二個假定，需要假定一些典型的輸入信號，作為系統(tǒng)的試驗(yàn)信號。12133.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)選取這些實(shí)驗(yàn)信號時應(yīng)考慮以下三個方面：（1）選取的輸入信號的典型性應(yīng)反映系統(tǒng)工作的大部分情況；（2）選取的輸入信號具有一定代表性，且其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，以便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究；

（3）應(yīng)選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型的實(shí)驗(yàn)輸入信號。選取常用的典型輸入信號有：階躍信號、斜坡（速度）信號、加速度（拋物線）信號、脈沖信號和正弦信號。13143.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)①階躍信號階躍信號是評價系統(tǒng)動態(tài)性能時應(yīng)用較多的一種典型外作用，例如最經(jīng)常采用的實(shí)驗(yàn)信號，它可以表示指令的突然轉(zhuǎn)換、電源的突然接通、設(shè)備故障和負(fù)荷的突變等。由于階躍信號的頻譜具有很寬的頻帶，通常也作為測試信號，等價于應(yīng)用無數(shù)個頻率范圍很寬的正弦信號。14153.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)②斜坡信號斜坡信號可以看作是階躍信號的積分，有時又稱為速度信號。斜坡信號的變化要比階躍信號快一個等級，它具有測試系統(tǒng)將如何對隨時間變化的信號做出響應(yīng)的能力。大型船閘的勻速升降、列車的勻速前進(jìn)、主拖動系統(tǒng)發(fā)出的位置信號等都可以看成斜坡信號。15163.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)③加速度（拋物線）信號加速度信號可以看作是斜坡信號的積分，有時又稱為拋物線信號。加速度信號的變化要比斜坡快一個等級，在實(shí)際中很少發(fā)現(xiàn)有必要使用變化比加速度信號更快的測試信號。16173.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)④脈沖信號（理想）脈沖信號所描述的脈沖信號實(shí)際上是無法獲得的，在現(xiàn)實(shí)中不存在，只有數(shù)學(xué)意義，但是它卻是一個重要的數(shù)學(xué)工具。在工程實(shí)踐中，當(dāng)遠(yuǎn)小于被控對象的時間常數(shù)時，這種窄脈沖信號就可近似地當(dāng)成(t)信號。脈沖電壓信號、沖擊力等都可以近似為脈沖信號。17183.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)⑤正弦信號正弦信號可以求得系統(tǒng)對不同頻率的正弦函數(shù)輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在實(shí)際過程中，交流電源、電磁波和機(jī)車設(shè)備受到的振動、電源和機(jī)械振動的噪聲等都可以近似為正弦信號。18193.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)（a）（b）（c）（d）（e）（f）

圖3-2-1

典型輸入信號19203.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)名

稱時域表達(dá)式復(fù)域表達(dá)式單位階躍信號(unitstepsignal)單位斜坡信號(unitrampsignal)單位加速度信號(unitparabolicsignal)單位脈沖信號(unitimpulsesignal)正弦信號(sinusoidalsignal)20213.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)輸入信號是按時間變化規(guī)律來劃分的，也可以是任何不同的物理量，如溫度、電壓、電流、轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)速、壓力等。同時這些測試信號都具有在數(shù)學(xué)上描述簡單和實(shí)驗(yàn)室容易實(shí)現(xiàn)的共同特點(diǎn)。采用哪種典型輸入信號分析系統(tǒng)特性，取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號形式。如果系統(tǒng)的輸入信號是突變的量，則應(yīng)選取階躍信號；如果系統(tǒng)的輸入信號是瞬時沖擊的函數(shù)，則選取脈沖信號最為合適；如果系統(tǒng)的輸入信號是隨時間逐漸變化的函數(shù)，則應(yīng)選取斜坡信號。21223.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號時，除應(yīng)盡可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實(shí)驗(yàn)信號。一般來說，在實(shí)際信號的作用下，系統(tǒng)響應(yīng)特性都能滿足要求。本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、脈沖函數(shù)等輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。22233.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)『ReadingMaterial』Inpractice,actualinputsignaltothecontrolsystemisquitevariedandunpredictable,and/ortoocomplextoanalyse.Whencarryingoutmathematicalanalysisoflinearsystems,wecanconsidertheinputmagnitudetobeunitywithoutanylossofgenerality.Inexperimentalinvestigationofpracticalsystems,however,themagnitudeoftheinputtestsignalshouldbecarefullyselected(dependsontheparticularsystembeingtested).243.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)『ReadingMaterial』Otherwiseoneormorecomponentsofthesystemmaybeforcedtooperateoutsidetheirlinearrange.Thelinearmodelwillnotbeapplicablethen，andtheoutputofthesystemwilldiffersignificantlyfromthatpredictedbythetransferfunctionanalysis.253.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)2、單位沖激響應(yīng)在零初始條件下，當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號是單位沖激函數(shù)時，系統(tǒng)的輸出信號稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。25263.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3、系統(tǒng)的時間響應(yīng)根據(jù)拉氏反變換中的部分分式法可知，有理分式C(s)的每一個極點(diǎn)（分母多項(xiàng)式的根）都對應(yīng)于c(t)中一個時間響應(yīng)項(xiàng)，即運(yùn)動模態(tài)，而c(t)就是由C(s)的所有極點(diǎn)所對應(yīng)的時間響應(yīng)項(xiàng)（運(yùn)動模態(tài)）的線性組合。極點(diǎn)運(yùn)動模態(tài)實(shí)數(shù)單極點(diǎn)

m重實(shí)數(shù)極點(diǎn)

一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)

m重復(fù)數(shù)極點(diǎn)

26273.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)通常把傳遞函數(shù)極點(diǎn)所對應(yīng)的運(yùn)動模態(tài)稱為該系統(tǒng)的自由運(yùn)動模態(tài)或振型，或稱為該傳遞函數(shù)或微分方程的模態(tài)或振型。系統(tǒng)的自由運(yùn)動模態(tài)與輸入信號無關(guān)，也與輸出信號的選擇無關(guān)。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不形成運(yùn)動模態(tài)，但它們卻影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，因而也影響時間響應(yīng)及其曲線形狀。27283.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)時域分析法在時間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，其輸出響應(yīng)隨時間變化規(guī)律的方法。對于任何一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響應(yīng)含有：瞬（暫）態(tài)分量——由輸入和初始條件引起的，隨時間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分，它提供了系統(tǒng)在過渡過程中的各項(xiàng)動態(tài)性能的信息。與傳遞函數(shù)極點(diǎn)對應(yīng)的時間響應(yīng)分量穩(wěn)態(tài)分量——過渡過程結(jié)束后,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差。與輸入信號極點(diǎn)對應(yīng)的時間響應(yīng)分量28293.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)根據(jù)數(shù)學(xué)中拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和積分性質(zhì)可以推導(dǎo)出線性定常系統(tǒng)的重要特性：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，積分常數(shù)由零輸出的初始條件確定?？梢?，一個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位沖激響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)中，只要知道一個，就可通過微分或積分運(yùn)算求出另外兩個。29303.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)Polesarethesetofvaluesofsthatmakethevalueofthetransferfunctioninfinity.Zerosarethesetofvaluesofsthatmakethevalueofthetransferfunctionzero.Thecharacteristicsofpolesandzerosofatransferfunctioncanbedescribedasthefollowing:(1)Polesarethosevaluesofsthatmakethetransferfunctioninfinity.(2)Theequationobtainedbyequatingdenominatorofthetransferfunctiontozeroisreferredtoasthecharacteristicequation.30313.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)(3)Polesaretherootsofthecharacteristicequation.(4)Zerosarethosevaluesofsthatmakethetransferfunctionzero.(5)Zerosaretherootsoftheequationobtainedbyequatingthenumeratorofthetransferfunctiontozero.(6)Polesplaymuchmoreimportantrolethanzerosindeterminingthesystemdynamics.31323.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)例題一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求（1）輸入量r(t)=t時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)；（2）輸入量r(t)=(t)時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。32333.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)4、動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時間響應(yīng)——系統(tǒng)在輸入信號的作用下，其輸出隨時間變化的過程。對于任何一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，輸出響應(yīng)含有瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。瞬態(tài)響應(yīng)（過渡過程或動態(tài)響應(yīng)）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)過程）33343.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)(1)瞬態(tài)過程——指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程，由于實(shí)際系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其它原因，系統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅震蕩形式。一個可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，動態(tài)響應(yīng)提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應(yīng)速度及阻尼情況等信息。這些信息用動態(tài)性能描述。34353.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)(2)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)——指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度（跟蹤），提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。從理論上講，只有時間趨于無窮大時才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，但這在工程應(yīng)用中是無法實(shí)現(xiàn)的，因此在工程中只討論典型輸入信號加入后一段時間里的動態(tài)過程，在這段時間里反映了系統(tǒng)主要的動態(tài)性能指標(biāo)。而在這段時間之后，認(rèn)為系統(tǒng)進(jìn)入了穩(wěn)態(tài)過程。35363.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)Thetimeresponseofacontrolsystemisusuallydividedintotwoparts:transientresponseandsteady-stateresponse.Ifatimeresponseisdenotedbyc(t),thenthetransientresponseandsteady-stateresponsemaybedenotedbyct(t)andcss(t).Thesteady-stateresponseissimplythefixedresponsewhentimereachesinfinity,i.e.,Therefore,asinewaveisconsideredassteady-stateresponsebecauseitsbehaviorisfixedastimeapproachesinfinity.36373.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)Transientresponseisdefinedasthepartoftheresponsethatgoestozerosastimebecomeslarge.Therefore,hasthepropertyofThetransientresponseofacontrolsystemisofimportance,sinceitisapartofthedynamicbehaviorofthesystem;andthedifferencebetweentheresponseandtheinputorthedesiredresponse,beforethesteadystateisreached,mustbecloselywatched.Ifthesteady-stateresponseoftheoutputdoesnotagreewiththesteadystateofthereferenceexactly,thesystemissaidtohaveasteady-stateerror.37385、瞬態(tài)性能指標(biāo)與穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)（1）瞬態(tài)性能指標(biāo)——穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍信號作用下，瞬態(tài)過程隨時間的變化狀況的指標(biāo)。a）上升時間；b）峰值時間；c）最大超調(diào)（量）

d）調(diào)節(jié)時間e）振蕩次數(shù)N3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3839例題：設(shè)某高階系統(tǒng)可用一階微分方程近似描述：試求系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3940這些指標(biāo)描述了瞬態(tài)響應(yīng)過程，反映了系統(tǒng)的動態(tài)性能。其中，上升時間、峰值時間均表征系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快速性；調(diào)節(jié)時間表示系統(tǒng)過渡過程的持續(xù)時間，從總體上反映了系統(tǒng)的快速性；最大超調(diào)量反映了系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性，即用超調(diào)量表示實(shí)際響應(yīng)與期望響應(yīng)的接近程度。由控制系統(tǒng)本身的特性決定，這些要素通常是相互矛盾的，因而必須做出折中的選擇。3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)40413.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)『TermsandConcepts』

Testinputsignal:Aninputsignalusedasastandardtestofasystem’sabilitytorespondadequately.Performanceindex:Aquantitativemeasureoftheperformanceofasystem.Overshoot:Theamountbywhichthesystemoutputresponseprocessedbeyondthedesiredresponse.Peaktime:Thetimeforasystemtorespondtoastepinputandrisetoapeakresponse.

inputamplitude.423.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)『TermsandConcepts』

Risetime:Thetimeforasystemtorespondtoastepinputandattainaresponseequaltoapercentageofthemagnitudeoftheinput.Settingtime:Thetimerequiredforthesystemoutputtosettlewithinacertainpercentageoftheinputamplitude.43（2）穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)——當(dāng)響應(yīng)時間大于調(diào)節(jié)時間時，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)。穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)精度和抗干擾能力的一種度量，反映控制系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)或跟蹤輸入信號的能力。3.2系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)43443.3一階系統(tǒng)的時域分析用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)在控制工程中應(yīng)用廣泛，一些控制部件及簡單系統(tǒng)，如RC網(wǎng)絡(luò)、發(fā)電機(jī)、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都可用一階系統(tǒng)來描述。有些高階系統(tǒng)的特征，常可用一階系統(tǒng)的特征來近似表征。Theorderofasystemisdefinedasthedegreeofitscharacteristicpolynomial.Afirst-ordersystemisrepresentedbyafirst-orderdifferentialequation.44453.3一階系統(tǒng)的時域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)圖用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。有些高階系統(tǒng)的特征，?？捎靡浑A系統(tǒng)的特征來近似表征。T表征系統(tǒng)慣性重要的特征參數(shù)，反映了系統(tǒng)過渡過程的品質(zhì)。T越小，則系統(tǒng)響應(yīng)越快。45463.3一階系統(tǒng)的時域分析2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(a)輸出量的初始值為零，而終值將變?yōu)?。(b)Css成為穩(wěn)態(tài)分量，它的變化規(guī)律由輸入信號的形式?jīng)Q定。

Ctt稱為暫態(tài)分量。穩(wěn)定的，無振蕩。(c)該響應(yīng)曲線的一個重要特征是當(dāng)t=T時，c(t)的數(shù)值等于0.632，即響應(yīng)達(dá)到了其總變化的63.2%。(d)該響應(yīng)曲線時間常數(shù)T越小，系統(tǒng)的響應(yīng)越快。46473.3一階系統(tǒng)的時域分析(1)調(diào)整時間時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過程的快速性也越好。經(jīng)過時間3T～4T，響應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%～98％，可以認(rèn)為其調(diào)整時間已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時間ts=(3～4)T。用實(shí)驗(yàn)的方法測出響應(yīng)曲線達(dá)到63.2%高度點(diǎn)所用的時間，就是系統(tǒng)的時間常數(shù)T。47483.3一階系統(tǒng)的時域分析(2)調(diào)整時間%一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為非周期響應(yīng)，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，%=0（3）穩(wěn)態(tài)誤差ess終值為1，因而系統(tǒng)在階躍輸入時穩(wěn)態(tài)誤差為零。48493.3一階系統(tǒng)的時域分析3、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)在t=0時等于

1/T，它與單位階躍響應(yīng)在t=0時的變化率相等。單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，而單位階躍響應(yīng)就是單位脈沖響應(yīng)的積分。這個結(jié)果進(jìn)一步說明了單位階躍信號作為典型輸入信號的重要性和代表性。49503.3一階系統(tǒng)的時域分析4、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)從提高斜坡響應(yīng)的精度來看，時間常數(shù)T越小，響應(yīng)速度越快，跟蹤誤差越小，輸出信號滯后于輸入信號的時間也越短。同樣，單位斜坡響應(yīng)就是單位階躍響應(yīng)的積分。50513.3一階系統(tǒng)的時域分析5、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)對于一階系統(tǒng)來說，不能實(shí)現(xiàn)對加速度輸入信號的跟蹤。51523.3一階系統(tǒng)的時域分析比較上述，脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對應(yīng)關(guān)系。這表明，系統(tǒng)對某種輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。反之，系統(tǒng)對某種輸入信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特征，它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，也適用于高階線性定常系統(tǒng)。例題3-3-152533.3一階系統(tǒng)的時域分析例題已知某單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為求(1)單位脈沖響應(yīng)；(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)；(3)開環(huán)傳遞函數(shù)。53543.4二階系統(tǒng)的時域分析如果運(yùn)動方程為二階微分方程，或者特征方程s的最高階次為2次，則該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。例如RLC網(wǎng)絡(luò)、機(jī)械平移系統(tǒng)和位置隨動系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間交換，從而引起系統(tǒng)具有往復(fù)的振蕩趨勢。當(dāng)阻尼不夠充分大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，這樣的二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。Thesecond-ordersystemisdescribedbysecond-orderdifferentialequations.Second-ordersystemsareimportantbecausetheirbehaviorisverydifferentfromfirst-ordersystemsandmayexhibitfeaturesuchasoscillatoryresponse,orovershoot.Moreover,theiranalysisgenerallyishelpfultoformbasisfortheunderstandingofanalysisanddesigntechniques.

54553.4二階系統(tǒng)的時域分析RLC網(wǎng)絡(luò)運(yùn)動方程為

稱為無阻尼振蕩頻率或自然頻率，屬于閉環(huán)系統(tǒng)的固有頻率稱為二階系統(tǒng)的阻尼比或相對阻尼系數(shù)，量綱為1。55563.4二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的特征方程二階系統(tǒng)的動態(tài)特性取決于和n這兩個參數(shù)。其中根據(jù)阻尼比取值，這兩個極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)或者一對共軛復(fù)數(shù)，即其特征根和瞬態(tài)相應(yīng)也有很大的差異。56Criticaldamping:Thecasewheredampingisontheboundarybetweenunderdampingandoverdamping.Dampratio:Ameasureofdamping.Adimensionlessnumberforthesecond-ordercharacteristicequation.573.4二階系統(tǒng)的時域分析1、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）無阻尼=0表明系統(tǒng)在無阻尼時，響應(yīng)是一個純正弦信號，電路中將發(fā)生不衰減地電磁振蕩現(xiàn)象，振蕩頻率為n。57583.4二階系統(tǒng)的時域分析（2）欠阻尼0<<15859第二項(xiàng)為瞬態(tài)響應(yīng)分量，是一個幅值按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，振蕩頻率為d，而d正好由極點(diǎn)的虛部給出，衰減速度則由常數(shù)決定，由極點(diǎn)的實(shí)部給出。3.4二階系統(tǒng)的時域分析59603.4二階系統(tǒng)的時域分析（3）臨界阻尼=16061臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量和瞬態(tài)響應(yīng)分量組成，等式右邊第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量1，第二項(xiàng)為瞬態(tài)響應(yīng)分量，是一個衰減的過程。，故稱為相對阻尼系數(shù)或阻尼比。3.4二階系統(tǒng)的時域分析61623.4二階系統(tǒng)的時域分析（4）過阻尼>16263過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量和瞬態(tài)響應(yīng)分量組成，等式右邊第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量1，第二項(xiàng)為瞬態(tài)響應(yīng)分量，是兩個指數(shù)衰減過程的疊加，因而瞬態(tài)響應(yīng)是單調(diào)的衰減過程。3.4二階系統(tǒng)的時域分析63643.4二階系統(tǒng)的時域分析2、欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能分析在實(shí)際工程控制中，除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)之外，通常希望系統(tǒng)的響應(yīng)過程在具有適當(dāng)?shù)恼袷幪匦郧闆r下，能有較短的調(diào)整時間和較高的響應(yīng)速度。在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時，一般取=0.40.8，即系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)下。?。?lt;0.4）的會造成系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的嚴(yán)重超調(diào)，而大的（>0.8）會使系統(tǒng)的響應(yīng)變得緩慢。64653.4二階系統(tǒng)的時域分析假設(shè)系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，即0<<1，此時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為為共軛復(fù)數(shù)對負(fù)實(shí)軸的張角，稱為阻尼角或滯后角，響應(yīng)特性完全由和n這兩個特征參量決定。65663.4二階系統(tǒng)的時域分析二階欠阻尼系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示：直角坐標(biāo)表示：“極”坐標(biāo)表示：66673.4二階系統(tǒng)的時域分析（1）上升時間tr根據(jù)上升時間的定義，令c(tr)=1，可得到當(dāng)阻尼比一定時，阻尼角不變，系統(tǒng)的響應(yīng)速度與n成反比。在d一定時，阻尼比越小，上升時間就越短。67683.4二階系統(tǒng)的時域分析（2）峰值時間tp根據(jù)定義對系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)，并令該導(dǎo)數(shù)為零，峰值時間tp等于阻尼振蕩周期的一半。同時峰值時間與阻尼振蕩頻率d成反比，當(dāng)阻尼比一定時，d越大，tp越短，響應(yīng)速度越快。當(dāng)n一定時，阻尼比越小，tp越短，響應(yīng)速度也越快。68693.4二階系統(tǒng)的時域分析（3）最大超調(diào)量%——在響應(yīng)過程中，輸出量c(t)

超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比。超調(diào)量發(fā)生在峰值時刻超調(diào)量%僅由阻尼比來決定，而與自然頻率n無關(guān)。阻尼比越大，超調(diào)量越小，平穩(wěn)性越好。通常=0.40.8

，則%=25.4%1.5%。在這樣的條件下，系統(tǒng)的總體性能良好。圖3-4-2和表3-4-2。69703.4二階系統(tǒng)的時域分析（4）調(diào)整時間ts——響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的5%(或2%)誤差范圍內(nèi)所需的最小時間稱為調(diào)節(jié)時間（或過渡過程時間）。70713.4二階系統(tǒng)的時域分析由公式可知，調(diào)整時間與系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率的乘積成反比。通常阻尼比是根據(jù)最大允許超調(diào)量的要求來決定的，也就是說，在不改變最大允許超調(diào)量的前提下，通常通過調(diào)整自然頻率就可以改變瞬時響應(yīng)的持續(xù)時間。71723.4二階系統(tǒng)的時域分析（5）振蕩次數(shù)N——表示在調(diào)節(jié)時間內(nèi)，系統(tǒng)響應(yīng)的振動次數(shù)，用數(shù)學(xué)公式表示為：振蕩次數(shù)N取整數(shù)，只與阻尼比有關(guān)。72733.4二階系統(tǒng)的時域分析（6）穩(wěn)態(tài)誤差欠阻尼系統(tǒng)在階躍信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差恒為零。綜上所述，阻尼比和無阻尼自振頻率n是二階系統(tǒng)兩個重要特征參數(shù)，它們對系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。73743.4二階系統(tǒng)的時域分析當(dāng)保持不變時，提高n可使tr、

tp、ts下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時保持%和N不變。當(dāng)保持n不變時，增大可使%和ts下降，但使tp和tr上升，顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。通?？筛鶕?jù)系統(tǒng)對超調(diào)量的限制要求選定，然后再根據(jù)其它要求來確定n。工程上常取=0.707作為設(shè)計(jì)依據(jù)，稱之為二階工程最佳。此時，超調(diào)量為4.3%，調(diào)節(jié)時間最短（5%的誤差標(biāo)準(zhǔn)）。74753.4二階系統(tǒng)的時域分析例題3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，試求：（1）當(dāng)k=10時系統(tǒng)的動態(tài)性能；（2）使系統(tǒng)阻尼比=0.707的k值；例題3-4-1、3-4-2（1）當(dāng)k=10時，75763.4二階系統(tǒng)的時域分析（1）當(dāng)k=10時，76773.4二階系統(tǒng)的時域分析（2）當(dāng)=0.707時，77783.4二階系統(tǒng)的時域分析例題4某典型欠阻尼二階系統(tǒng)要求試確定系統(tǒng)極點(diǎn)的允許范圍78793.4二階系統(tǒng)的時域分析例題5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖，r(t)=1(t)的響應(yīng)為c(t)，試求：K1、K2、a。79803.4二階系統(tǒng)的時域分析由題意可知，80813.4二階系統(tǒng)的時域分析81823.4二階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)極點(diǎn)分布：82833.4二階系統(tǒng)的時域分析欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能計(jì)算復(fù)習(xí)：⑴極點(diǎn)的表示方法：⑵動態(tài)性能計(jì)算公式：83843.4二階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)中負(fù)實(shí)零點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的作用具有一個負(fù)實(shí)零點(diǎn)的規(guī)范二階系統(tǒng)為84853.4二階系統(tǒng)的時域分析階躍響應(yīng)為典型二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與脈沖響應(yīng)之和。響應(yīng)曲線是單位階躍響應(yīng)曲線與脈沖響應(yīng)曲線疊加組成。負(fù)實(shí)零點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的作用：（1）僅在過渡過程開始階段有較大影響（2）負(fù)實(shí)零點(diǎn)使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快（tr和tp減?。?）系統(tǒng)的超調(diào)量略有增大（4）負(fù)實(shí)零點(diǎn)越接近虛軸，作用越強(qiáng)85863.4二階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)中極點(diǎn)對系統(tǒng)響應(yīng)的作用系統(tǒng)增加一個極點(diǎn)，將升高系統(tǒng)的階次，實(shí)質(zhì)上，就是在信號傳遞線路上增加了一個慣性環(huán)節(jié)。這是典型三階系統(tǒng)。相對典型二階系統(tǒng)而言，該極點(diǎn)對系統(tǒng)的作用：（1）使系統(tǒng)響應(yīng)速度減慢（2）減小超調(diào)量（3）越接近虛軸（T0較大），作用越強(qiáng)86873.4二階系統(tǒng)的時域分析例題已知系統(tǒng)的兩種控制方案如圖所示，其中T>0不可改變，要求說明：（1）在兩種方案中，參數(shù)K1，K2和K3如何影響系統(tǒng)的動態(tài)性能？（2）比較兩種結(jié)構(gòu)方案的特點(diǎn)。87883.4二階系統(tǒng)的時域分析88893.4二階系統(tǒng)的時域分析(1)比較兩方案的閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，有結(jié)論：

調(diào)整自然頻率，并改變響應(yīng)速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差

調(diào)整阻尼比，并改變響應(yīng)速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差采用(b)時，調(diào)整負(fù)實(shí)零點(diǎn)（2）方案(b)具有負(fù)實(shí)零點(diǎn)有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，且響應(yīng)速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差比方案(a)的誤差小89903.5高階系統(tǒng)時域分析法概述將三階及三階以上的系統(tǒng)，通常稱為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困難，同時，在過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。在工程應(yīng)用中，常抓住主要因素分析系統(tǒng)，常常將高階系統(tǒng)近似成低階系統(tǒng)處理。下面僅對高階系統(tǒng)時間響應(yīng)進(jìn)行簡單的定性分析。90913.5高階系統(tǒng)時域分析法概述高階系統(tǒng)具有的傳遞函數(shù)91923.5高階系統(tǒng)時域分析法概述一般的高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是由穩(wěn)定值、一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成的。當(dāng)所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)數(shù)時，除了常數(shù)a，其他各項(xiàng)隨著時間t而衰減為零，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。9294某些高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可用低階系統(tǒng)近似，以下兩種情況可以作為簡化的依據(jù)：(1)由上式可見，系統(tǒng)極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部愈是遠(yuǎn)離虛軸，該極點(diǎn)對應(yīng)的項(xiàng)在動態(tài)響應(yīng)中衰減得愈快；反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)對應(yīng)著動態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項(xiàng)，該極點(diǎn)對（或極點(diǎn)）對動態(tài)響應(yīng)起到主導(dǎo)作用，稱之為“主導(dǎo)極點(diǎn)”。（高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來決定）。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述9495一般工程上當(dāng)極點(diǎn)A距離虛軸的距離大于5倍的極點(diǎn)B距虛軸的距離時，分析系統(tǒng)時可忽略極點(diǎn)A。忽略作用較小的模型，高階系統(tǒng)就可以用較低階次的系統(tǒng)近似。

高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述9596高階系統(tǒng)能夠用不具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)近似的條件：有一對距離（d）虛軸最近的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且附近無閉環(huán)零點(diǎn)，其余的零點(diǎn)和極點(diǎn)遠(yuǎn)離（>5d）虛軸或零極點(diǎn)幾乎相消，則高階系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)可以用典型二階系統(tǒng)的計(jì)算公式近似計(jì)算。(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果負(fù)實(shí)部的零、極點(diǎn)在數(shù)值上相近，則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消掉，稱之為“偶極子相消”。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述9697(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果負(fù)實(shí)部的零、極點(diǎn)在數(shù)值上相近（靠近），則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消掉，稱之為“偶極子相消”。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述9798高階系統(tǒng)時間響應(yīng)可分為穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量，以下結(jié)論：(1)瞬態(tài)分量的各個運(yùn)動模態(tài)衰減的快慢取決于對應(yīng)的極點(diǎn)和虛軸的距離，離虛軸越遠(yuǎn)的極點(diǎn)對應(yīng)的運(yùn)動模態(tài)衰減得越快。(2)各模態(tài)所對應(yīng)的系數(shù)和初相角取決于零、極點(diǎn)的分布。（各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)）若某一極點(diǎn)越靠近零點(diǎn)，且遠(yuǎn)離其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)越小，對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述9899若一對零極點(diǎn)相距很近，該極點(diǎn)對應(yīng)的系數(shù)就非常小，這對零極點(diǎn)對系統(tǒng)過渡過程的影響也將很小。若某一極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)，它越靠近原點(diǎn)或其他極點(diǎn)，則相應(yīng)的系數(shù)越大。(3)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)響應(yīng)曲線的形狀。(4)對系統(tǒng)響應(yīng)起主要作用的極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。(5)非零初始條件時的響應(yīng)由零初始條件時的響應(yīng)和零輸入響應(yīng)組成。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述99100因?yàn)榈湫投A系統(tǒng)參數(shù)的不同取值，包含了閉環(huán)極點(diǎn)的所有可能分布，所以它可以表征任何一個高階系統(tǒng)的暫態(tài)過程和穩(wěn)定性。對于高階系統(tǒng)的分析，是以二階系統(tǒng)為基礎(chǔ)的，正確理解主導(dǎo)極點(diǎn)和偶子的概念，對高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能進(jìn)行近似分析。結(jié)論：極點(diǎn)離虛軸越近對系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)影響越大，離虛軸越遠(yuǎn)影響越??；零點(diǎn)靠近哪個極點(diǎn)，就把哪個極點(diǎn)的影響減弱。3.5高階系統(tǒng)時域分析法概述1001013.5高階系統(tǒng)時域分析法概述『ReadingMaterial』Undercertaincircumstances,ahigherordertransferfunctionmaybeapproximatedtoalowerordertransferfunction.Thisapproximationisbasedontheconceptofdominantpoles.Wewillusenumericalexamplestoillustratethisconcept.1023.5高階系統(tǒng)時域分析法概述Firstly,bymappingthepolesandzerosofthesystemtransferfunctioninthecomplex-plane,wecandrawusefulconclusionsaboutthetransientbehaviorofadynamicsystem.Eachnegativerealpoleofthetransferfunctionwillcontributeanexponentiallydecayingtransientterm.Ifanypositiverealpoleispresent,itgivesrisetoanexponentiallyincreasingtermtherebyrenderingthesystemunstable.Complexpoles,ifpresent,alwaysoccurinconjugatepairs.Eachcomplexpolepairgivesrisetoanexponentiallydecayingsinusoidalwaveformiftherealpartofthepolesisnegative.1033.5高階系統(tǒng)時域分析法概述Anexponentiallyincreasingsinusoidalwaveformwouldresultiftherealpartofthecomplexpolepairispositive(unstableresponse).Whetheraparticularhighordertransferfunctioncanbeapproximatedornotbyalowerordertransferfunctiondependsonthepole-zerodistributioninthes-plane.1043.5高階系統(tǒng)時域分析法概述Ifasinglenegativerealpoleisdistinctlyclosertotheimaginaryaxis,andallotherpolesandzerosareatleastsixtimesfurtherawayintothenegativehalfofthes-plane,thenthesystemcanbeapproximatedbya1stordertransferfunctionhavingtheabovenearestpoleasitspole.Ifinsteadofarealpole,apairofcomplexpolesaredistinctlyneartheimaginaryaxis,thenthesystemcanbeapproximatedbyasecondordertransferfunction(complextimelag)havingtheabovetwocomplexpolesasitspoles.Ifapoleofatransferfunctionisverynearazeroofthesametransferfunction,thentheycanceloneanother.Theycanbedisregardinanalysingthetransientresponse.105在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，它是保證系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件。控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，總會受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動，例如負(fù)載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等，都會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，就成了自動控制理論的基本任務(wù)之一。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析105106Whentheanalysisanddesignofcontrolsystemsareconsidered,stabilityisofutmostimportance.Formapracticalpointofviewanunstablesystemisoflittlevalue.Inpracticaloperation,almostallcontrolsystemsaresubjecttoextraneousorinherentdisturbances,suchasfluctuationofloadorpowersource,variationofsystemparametersorcircumstance.Manyphysicalsystemsareinherentlyopenloopunstable.Introducingfeedbackisusefultostabilizetheunstableplantandthenadjustthetransientperformancewithanappropriatecontroller.Foropen-loopstableplantsfeedbackisstillusedtoimprovethesystemperformance.3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析106107(1)Whenconsideringthedesignandanalysisoffeedbackcontrolsystem,stabilityisofutmostimportant.(2)Astablesystemisdefinedasasystemwithabounded(limited)systemresponse.Or:Astablesystemisadynamicsystemwithaboundedresponseandtoaboundedinput(BIBO).(3)Theconceptofstabilitycanbeillustratedbyconsideringarightcircularconeplacedonaplanehorizontalsurface.

(4)Thelocationinthes-planeofthepolesofasystemindicatestheresultingtransientresponse.3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1071081、穩(wěn)定的基本概念和穩(wěn)定的充分必要條件（1）穩(wěn)定的基本概念若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡工作點(diǎn)），則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析108109（2）線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)在外界擾動消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，也就是說系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的固有特性，即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與外界條件（輸入信號）無關(guān)。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時，輸入一個理想單位脈沖(t)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個外界擾動信號的作用下，如果t時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)c(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1091103.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析『TermsandConcepts』Inamathematicalmanner,thedefinitionofstabilitymaybestated:Ifthezero-inputofthelineartime-invariantsystem,subjecttononzeroinitialcondition,approacheszerosastimeapproachesinfinity,i.e.,thenthesystemissaidtobestable;otherwisethesystemisunstable.111設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析111112（1）當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有

，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的系統(tǒng)，單位沖激響應(yīng)及輸出信號中的瞬態(tài)分量都趨于零。（2）如果特征根中有一個或一個以上具有正實(shí)部，則該根對應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時有

，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。實(shí)際物理系統(tǒng)不穩(wěn)定時，變量往往形成大幅值的等幅振蕩，或趨于最大值。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析112113（3）如果特征根中具有一個或一個以上的零實(shí)部根，而其余的特征根具有負(fù)實(shí)部，則c(t)趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)（不屬于漸近穩(wěn)定）。對于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。在經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，否則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析113114線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為

平面的左半部分（不包括虛軸）。Anecessaryandsufficientconditionforafeedbacksystemtobestaleisthatallthepolesofthesystemtransferfunctionhavenegativerealparts.3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1141153.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1151162、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對高階系統(tǒng)的求解就很繁瑣。因此，尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接代數(shù)方法，稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，主要有勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茲判據(jù)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析116117EdwardRouthFromWikipedia,thefreeencyclopediaEdwardJohnRouth

FRS

(/ra?θ/;20January1831–7June1907),wasanEnglish

mathematician,notedastheoutstandingcoachofstudentspreparingforthe

MathematicalTripos

examinationofthe

UniversityofCambridge

initsheydayinthemiddleofthenineteenthcentury.Healsodidmuchtosystematisethemathematicaltheoryof

mechanics

andcreatedseveralideascriticaltothedevelopmentofmodern

controlsystemstheory.1183.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析『TermsandConcepts』Routh-HurwitzStabilityCriterionwillenableustofindoutwhetherafeedbackcontrolsystemisstableornotfromitsCharacteristicfunction,,withouthavingtoactuallyfactoriesthecharacteristicfunction.Routh-Hurwitzmethodisbasedonorderingthecoefficientsofthecharacteristicequationintoanarrayasfollows.1193.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析WhenweconstructRouth’sArray,fourdistinctcasesarise:Case1:NoelementsofthefirstcolumniszeroCase2:Zerointhe1stcolumnwhilesomeotherelementsoftherowcontainingthezeroarenonzero.Case3:Zerointhe1stcolumnandotherelementsoftherowcontainingthezeroarealsozero.Case4:Characteristicequationhasrepeatedrootsonthejωaxis.120（1）勞斯穩(wěn)定判據(jù)(Routh’sstabilitycriterion)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，根據(jù)必要條件，在判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于等，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的充分條件是：勞斯陣列的第一列元素均大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。方程中實(shí)部為正數(shù)的根的個數(shù)是第一列元素符號改變次數(shù)。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析120121將系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯陣表（書表3-6-1）。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析121122線性系統(tǒng)穩(wěn)定的勞斯判據(jù)可歸結(jié)為：(1)勞斯列表第一列所有系數(shù)均不為零的情況如果勞斯列表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)等于該特征方程式的根在s右半平面的個數(shù)，即不穩(wěn)定根的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。例題3-6-1、3-6-23.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析122123（2）勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況解決的辦法是用一個很小的正數(shù)代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。而勞斯陣列中第一列系數(shù)的變號次數(shù)不依賴于

。例題3-6-33.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析123124解：勞斯表變號兩次，有兩個正根，

實(shí)際上例題判定右半s平面中閉環(huán)根的個數(shù)3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析124125(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況如果勞斯表中某一行（如第K行）各項(xiàng)為零，這說明在s平面內(nèi)存在以原點(diǎn)為對稱的特征根。解決方法：(a)利用第K-1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，使輔助方程A(s)=0。(b)求輔助方程對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的第K行，繼續(xù)計(jì)算勞斯列陣。輔助方程給出了特征方程中成對根對稱分布在s平面內(nèi)的位置及數(shù)目，特征方程中以原點(diǎn)為對稱的根可由輔助方程求得。例題3-6-43.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析125126例題，試求系統(tǒng)在右半s平面的根數(shù)及虛根值。解：勞斯表3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析126127（1）右半s平面無根（2）虛根值：由輔助方程

（3）由D(s)系數(shù)看，偶次項(xiàng)系數(shù)和=奇次項(xiàng)系數(shù)和，

所以s=-1是根3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析127128運(yùn)用勞斯判據(jù)，不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。例題3-6-5。在系統(tǒng)的分析中，勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時還能確定反饋系統(tǒng)穩(wěn)定時開環(huán)增益或某些參數(shù)的取值范圍。但是，它的應(yīng)用也具有一定的局限性，通常它只能提供系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的結(jié)論，它并不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)過程，同時也不能提供改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法和途徑。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析128

例3-5-3已知系統(tǒng)的特征方程為

判斷穩(wěn)定性并根據(jù)輔助方程求特征根。

解勞思表為第一列元素符號改變一次，有一個正實(shí)部根，可根據(jù)輔助方程例題

已知系統(tǒng)框圖，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。解閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程為【例題】

如圖所示的調(diào)速系統(tǒng)方框圖中，已知Ks=40,Keφ=0.12V/(r/min),Tm=0.1s,Td=0.02s,τ0=5ms=0.005s,α=0.01V/(r/min)，比例調(diào)節(jié)器的增益Kk為待定量。求該系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。題圖具有轉(zhuǎn)速負(fù)反饋的晶閘管直流調(diào)速系統(tǒng)方框圖解

由圖可得此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為式中，K=KkKsα/(Keφ)。由式可得該系統(tǒng)的特征方程（此為三階系統(tǒng)）：TmTdτ0s3+(TmTd+Tmτ0)s2+(Tm+τ0)s+(1+K)=0上式可寫成:

a3s3+a2s2+a1s+a0=0

式中:

K為系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)134例題系統(tǒng)如右，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的，K范圍3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析解：系統(tǒng)開環(huán)增益134135例題已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)零極點(diǎn)如下圖示，問：閉環(huán)系統(tǒng)是否可以穩(wěn)定？確定K的范圍。解：依題，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為并且有列勞斯表3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析135136①系統(tǒng)穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類型、形式無關(guān)。②閉環(huán)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點(diǎn)，與閉環(huán)零點(diǎn)無關(guān)。③閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否無直接關(guān)系。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1361373.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析『TermsandConcepts』Routh-Hurwi