第八章-彈性散射

散射的描述方法微分散射截面第八章彈性散射彈性散射---散射過程中粒子間僅動能交換,其內(nèi)部狀態(tài)不變.(8.1)

---散射中心,假定不動.

---散射角,入射與散射方向夾角.單位時間散射到方向立體角內(nèi)的粒子數(shù):

---入射粒子流強(qiáng)度,即單位時間、單位面積入射的粒子數(shù).

---微分散射截面,即散射到方向上單位立體角中的概率,是散射理論需要求解的核心問題.散射振幅(8.2)

散射粒子波函數(shù)滿足的薛定諤方程:設(shè)觀察點(diǎn)離散射中心足夠遠(yuǎn),脫離了的作用,則:(8.3)其中:入射平面波(8.4)散射球面波(8.5)

---散射振幅,可求解(8.2)得到.可導(dǎo)得(見下頁):(8.6)因此,散射問題歸結(jié)為求出散射振幅.(8.7)

推導(dǎo)如下:由于:(8.8)(8.9)則:(8.10)其中為入射(散射)粒子概率流密度(大小):以上兩式代入(8.8)便得:(8.11)波恩近似---高能粒子散射

把薛定諤方程(8.2)改寫為:(8.12)其中為入射粒子波數(shù),定義格林函數(shù):(8.13)則:(8.14)(8.14)稱Lippman-Schwinger積分方程,將之代入(8.12),利用(8.13)并注意到為齊次方程:(8.15)(8.16)的通解,從而可以得到驗證.

可求解方程(8.13)得(待下面證明):(8.17)(8.18)代入(8.14)得:上述積分方程可用迭代法近似求解,并取到一級近似(即波恩近似)得:(8.19)即:(8.20)

(8.17)證明如下:(8.21)(8.22)(8.23)將格林函數(shù)做付里葉積分變換:(8.24)代入(8.13)并注意到:得:從而:

(8.24)積分如下:(8.25)其中:(8.26)

(8.25)被積函數(shù)中當(dāng)時實(shí)軸上出現(xiàn)一階奇點(diǎn),需引進(jìn)虛數(shù):(8.27)此時位于上半復(fù)平面的兩個極點(diǎn)為:(8.28)取上半平面的積分回路,利用留數(shù)定理得:代入(8.27)便得(8.17),即:(8.29)證畢此外,波恩一級近似結(jié)果(8.20),即:(8.30)(8.31)在遠(yuǎn)場處:,則:(8.32)得:(8.33)即:其中:(8.34)把(8.33)與球面波:(8.35)(8.36)(8.37)比較得:(8.38)由于與大小相等,夾角為,則:對于有心力勢,(8.36)可進(jìn)一步簡化為:(8.39)最后得波恩近似下的微分散射截面為:(8.40)例8.1:求屏蔽庫侖場:(8.41)中粒子的微分散射截面.(8.42)解:高能入射粒子且散射角較大時:則:為經(jīng)典的Rutherford散射公式.分波法---低能粒子散射在有心力場且關(guān)于軸對稱下,可把入射平面波用球面波(每個球面波即為一個分波,故稱分波法)展開為:(8.43)其中為球Bessel函數(shù),其漸近行為:(8.44)(8.45)另一方面,薛定鄂方程:其解也展開為:(8.46)接下來的任務(wù)是求出徑向波函數(shù).(8.47)(8.48)(8.49)徑向波函數(shù)滿足的薛定鄂方程:(8.50)當(dāng)時,,令,則得:上式通解:因此:上式為接下來與入射波比較方便,已換用新的常數(shù).代入(8.46)得:(8.51)(8.52)另一方面:(8.53)令(8.51)和(8.52)相等并把三角函數(shù)寫成指數(shù)形式得:上式成立的條件為:(8.54)(8.55)(8.56)由(8.55)得:(8.57)(8.58)(8.59)代入(8.54)得散射振幅:微分散射截面:總散射截面(對積分):可見,分波法最終需要算出各分波的相移

.討論:(8.60)(8.61)之前的幾個分波,其中為散射勢有效半徑.1.計算相移時,僅需計算到:因為,當(dāng):可視為不發(fā)生散射:即發(fā)生散射的條件為:(8.62)(8.63)2.對排斥勢(吸引勢),有:(8.64)因為,對給定角度的散射:(8.65)

對排斥勢(吸引勢),

可保證所需要的

較大(較小).(8.66)3.光學(xué)定理:其中為總散射(包括非彈性散射)截面;

因為:為彈性散射的朝前()散射振幅.(8.67)(8.68)(8.69)例8.2:求以下球?qū)ΨQ勢井的微分散射截面:

解:若入射粒子能量很低:,則可只算項.(8.70)(8.71)

得徑向波函數(shù)滿足的薛定鄂方程:

其中:(8.72)(8.70)的通解為:(8.73)(8.74)

由在處有