第6章 參數(shù)估計(jì)

第六章參數(shù)估計(jì)一.點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)的方法矩估計(jì)法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計(jì)量法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)被估計(jì)的總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體均值比例方差兩個(gè)總體均值之差比例之差方差比第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)

（概念要點(diǎn)）從總體中抽取一個(gè)樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)例如:用樣本均值作為總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)2. 點(diǎn)估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等1. 用于估計(jì)總體某一參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量如果樣本均值x

=3，則3

就是的估計(jì)值理論基礎(chǔ)是抽樣分布估計(jì)量

（概念要點(diǎn)）估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（無偏性）無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(X)XCA無偏有偏估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（有效性）AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)有效性：一個(gè)方差較小的無偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量相比，樣本均值是一個(gè)更有效的估計(jì)量估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X第二節(jié)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)

（概念要點(diǎn)）1. 根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計(jì)范圍給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率例如:總體均值落在50~70之間，置信度為95%樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限置信區(qū)間估計(jì)

（內(nèi)容）2

已知2未知均值方差比例置信區(qū)間落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本x_XX=Zx95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率常用的顯著性水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1. 數(shù)據(jù)的離散程度，用來測(cè)度樣本容量，3. 置信水平(1-)，影響

Z的大小第三節(jié)總體均值和總體比例

的區(qū)間估計(jì)一.總體均值的區(qū)間估計(jì)二.總體比例的區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２已知)總體均值的置信區(qū)間

(２已知)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似

(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

（正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證該種零件的平均長(zhǎng)度在21.302～21.498mm之間【例】某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽?。辜?，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=0.15mm，試建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)

（非正態(tài)總體：實(shí)例）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我們可以95％的概率保證平均每天參加鍛煉的時(shí)間在24.824～27.176分鐘之間【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方差為36小時(shí)）。總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２未知)總體均值的置信區(qū)間

(２未知)1. 假定條件總體方差（２）未知總體必須服從正態(tài)分布使用t分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)

（實(shí)例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間【例】從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，n=25

，其均值`x=

50

，標(biāo)準(zhǔn)差s=8。建立總體均值m

的95%的置信區(qū)間。總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的置信區(qū)間1. 假定條件兩類結(jié)果總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例Ｐ

的置信區(qū)間為總體比例的置信區(qū)間

（實(shí)例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我們可以95％的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%~76.4%之間【例】某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選取了200人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問時(shí)，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對(duì)由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。樣本容量的確定根據(jù)均值區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定樣本容量n與總體方差2、允許誤差、可靠性系數(shù)Z之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比其中：樣本容量的確定

（實(shí)例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

應(yīng)抽取的樣本容量為【例】一家廣告公想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計(jì)處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定若總體比例P未知時(shí)，可用樣本比例來代替

p^其中：樣本容量的確定

（實(shí)例）【例】一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)比例p的估計(jì)誤差不超過0.05，要求的可靠程度為95%，應(yīng)抽多大容量的樣本（沒有可利用的p估計(jì)值）。解:

已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，當(dāng)p未知時(shí)用最大方差0.25代替^應(yīng)抽取的樣本容量為第四節(jié)兩個(gè)總體均值及兩個(gè)

總體比例之差估計(jì)一.兩個(gè)總體均值之差估計(jì)二.兩個(gè)總體比例之差估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n1計(jì)算X1抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣樣本容量n2計(jì)算X2計(jì)算每一對(duì)樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22

已知)1. 假定條件兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個(gè)獨(dú)立樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其期望值為其標(biāo)準(zhǔn)誤差為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22

已知)兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Z兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】一個(gè)銀行負(fù)責(zé)人想知道儲(chǔ)戶存入兩家銀行的錢數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個(gè)由25個(gè)儲(chǔ)戶組成的隨機(jī)樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個(gè)總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求A-B的區(qū)間估計(jì)（1）置信度為95%（2）置信度為99%BA兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）解:已知

XA~N(A,2500)

XB~N(B,3600)xA=4500，xB=3250，

A2=2500

B2=3600

nA=nB

=25(1)

A-B置信度為95%的置信區(qū)間為(2)

A-B置信度為99%的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，但相等)假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布12、12未知，但12＝12總體方差2的聯(lián)合估計(jì)量為估計(jì)量x1-x2的標(biāo)準(zhǔn)差為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，但相等)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。21兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=1012=121-2置信度為95%的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12

、22未知，且不相等)假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布12、12未知，且1212使用的統(tǒng)計(jì)量為自由度兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

(12、22未知，且不相等)

兩個(gè)總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（續(xù)前例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個(gè)人結(jié)算賬目的平均時(shí)間長(zhǎng)度，分別給兩位職員隨機(jī)安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理賬單所需的時(shí)間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時(shí)間均服從正態(tài)分布，但方差不相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時(shí)間之差的95%的區(qū)間估計(jì)。12兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）

自由度f為1-2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=101212兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)1. 假定條件兩個(gè)總體是獨(dú)立的兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似2. 兩個(gè)總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（實(shí)例）【例】某飲料公司對(duì)其所做的報(bào)紙廣告在兩個(gè)城市的效果進(jìn)行了比較，它們從兩個(gè)城市中分別隨機(jī)地調(diào)查了1000個(gè)成年人，其中看過廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。^^綠色健康飲品兩個(gè)總體比例之差的估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）P1-P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000^^我們有95%的把握估計(jì)兩城市成年人中看過該廣告的比例之差在0.79%~7.21%之間第五節(jié)正態(tài)總體方差及兩正

態(tài)總體方差比的估計(jì)一.正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)二.兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

（要點(diǎn)）1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差

2

的點(diǎn)估計(jì)量為S2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

（實(shí)例）【例】對(duì)某種金屬的10個(gè)樣品組成的一個(gè)隨機(jī)樣本作抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)。從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)算出的方差為4。試求2的95%的置信區(qū)間。正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)

（計(jì)算結(jié)果）解:已知n＝10，s2＝4，1-＝95%