第三章 電路定理

第三章電路定理①疊加定理②替代定理③戴維南定理（諾頓定理)④最大功率傳輸定理⑤特勒根定理⑥互易定理⑦對偶原理。從電阻電路的分析中，我們可以循到線性電阻電路分析的一些規(guī)律，可以將其當(dāng)做一般性定理來使用。它們分別是：第一節(jié)疊加定理一．定理陳述及其解釋性證明1．定理陳述：在線性電路中，任一支路的電流或電壓是電路中各個(gè)獨(dú)立源(激勵(lì))分別作用時(shí)在該支路中產(chǎn)生的電流或電壓的代數(shù)和。aR1R3+

US1

-

I1IS2-US3

+分析圖中Ua

、I1與各個(gè)激勵(lì)的關(guān)系疊加定理R1R3I1′＋US1－aUS1單獨(dú)作用時(shí)(IS不作用時(shí)開路，US3不作用時(shí)短路)：R1R3IS2I1″IS2單獨(dú)作用時(shí)US3單獨(dú)作用時(shí)：R1R3-

US3+I1'''顯然有疊加原理證明二．使用疊加定理的注意點(diǎn)

1、疊加定理是線性電路疊加特性的概括表征，其重要性不僅僅在于可用疊加法分析電路本身（分解為簡單電路），更重要的是在于它為線性電路的定性分析和一些具體的計(jì)算方法提供了理論依據(jù)。

2、若uS不作用，則短接之，若iS不作用，則開路之；而受控源不是激勵(lì)，即作圖分解時(shí)受控源始終保留在電路中，此外，定理中“各個(gè)獨(dú)立源”可換為“各組獨(dú)立源”(分組疊加)。Ua=K1US1+K2IS2+K3US3

3、對非線性電路不適用。6、只適用于線性電路中求解電壓與電流響應(yīng)，而不能用來計(jì)算功率。這是由于只有線性電路中的電壓或電流才是激勵(lì)的一次函數(shù)，而功率與激勵(lì)不再是一次函數(shù)關(guān)系。求“代數(shù)和”時(shí)要注意各電壓或電流的參考方向。

7、當(dāng)線性電路只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，則激勵(lì)擴(kuò)大K倍，任意支路的響應(yīng)也擴(kuò)大K倍。這稱為線性電路的齊次性。實(shí)際上：線性性質(zhì)包括疊加性(可加性)和齊次性(比例性，均勻性).5、疊加時(shí)，電路的連接以及電路中所有的元件（除不作用的獨(dú)立源）都不允許更動(dòng)。4、要注意電壓或電流的參考方向（代數(shù)和）。例1：求圖(a)中的uab

、i1．(a)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2A3Ai1ab(b)6Ω3Ω1Ω3Ai1′ab(c)6Ω3Ω1Ω-6V

++12V-2Ai1″ab解：本電路用疊加法，可以化為簡單電路的計(jì)算。又電路中的激勵(lì)獨(dú)立源數(shù)目較多，一個(gè)個(gè)地疊加較煩，為此，我們采用“分組疊加”的方法：①3A電流源單獨(dú)作用時(shí)（圖(b)）：②其它獨(dú)立源共同作用時(shí)（圖(c)）：例2．圖示電路中NS為有源線性三端口網(wǎng)絡(luò)，已知：IS1=8A、US2=10V時(shí)，UX=10V；IS1=–8A、US2=–6V時(shí)，UX=–22V；IS1=US2=0時(shí)，UX=–2V；試求：IS1=2A、US2=4V時(shí)，UX=？

＋UX

－IS1

＋US2

－NS解：可根據(jù)疊加性用“待定系數(shù)法”求解：即可設(shè)：UX=K1IS1+K2US2+K3

其中K3為NS內(nèi)部所有獨(dú)立源對UX

所產(chǎn)生的貢獻(xiàn)。于是有若為無源線性網(wǎng)絡(luò)，則不考慮內(nèi)部電源的作用第二節(jié)替代定理(置換定理)一．定理陳述：在給定的線性或非線性電路中，若已知第k條支路的電壓uK和電流iK

，且該支路不含有受控源或受控源的控制量，則該支路可以用下列任何一種元件來替代：

⑴

uS

=uK的電壓源；

⑵

iS

=iK的電流源；

⑶

若pK吸

＞0，則可替代為RK=|uK／iK

|的電阻。若替代前后電路均具有唯一解，則替代后電路中各支路的電壓與電流均保持為原值。2）替代前后電路均具有唯一解，因此替代后①uK

不變；②其它各支路的電壓、電流不變1）設(shè)第K條支路用iS

=iK

來替代，則替代前后①iK

不變；②其它支路VAR未變；③KCL、KVL未變；二．定理的證明：這相當(dāng)于數(shù)學(xué)上將具有唯一解的一組方程中的某一未知量用其解答代替，不會(huì)引起方程中其它任何未知量的解答在量值上有所改變。三．定理的應(yīng)用：說明：1、實(shí)際上，某一支路的電壓和電流不一定全要知道，才能用替代定理，而是知道其中之一，就可用相應(yīng)的元件去替代。如：已知uk，則可用電壓為uk的獨(dú)立源來置換該支路的元件。2、電壓源的極性和電流源的方向必須和原網(wǎng)絡(luò)中的被替代量一致。替代定理應(yīng)用①大網(wǎng)絡(luò)的“撕裂”：

i2BCAi1Ai2i1Bi1i2C

①替代定理推廣用于二端網(wǎng)絡(luò)時(shí)，要求該二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部某部分電壓或電流不能是外部受控源的控制量。②

某些線性電路問題的解決(如定理的證明);③

具有唯一解非線性電路問題的簡化分析。i+u-Ni+u-N④是測試或試驗(yàn)中采用假負(fù)載的理論依據(jù)。一．戴維南定理

1．定理陳述：任何一個(gè)含獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS

，對于外電路來說都可以等效成為有伴電壓源(uOC

與Ri的串聯(lián)組合)，其中：

uOC

──NS端口的開路電壓，

Ri

──NS的“除源電阻”；是指將NS內(nèi)所有的獨(dú)立源令為零(將uS短路，將iS開路)時(shí)的入端電阻(除源后的一端口用N0表示)。NSi+u-外電路(a)i+u-外電路(b)Ri+Uoc–abR一端口網(wǎng)絡(luò)——兩個(gè)端鈕電流相等的二端網(wǎng)絡(luò)無源一端口網(wǎng)絡(luò)（無源二端網(wǎng)絡(luò)）第三節(jié)戴維南定理與諾頓定理

含源一端口網(wǎng)絡(luò)（有源二端網(wǎng)絡(luò)）？2．定理證明：開路NS

+u'=uOC

-NOi+u"-

iNSi+u-i替代定理Rii

+u"=－Rii-

i因此u=u‘+u“=uOC

-Ri

i

如圖（b），定理證畢。兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)若在端口處的VCR相同，則兩者對外電路而言是等效的。i+u-外電路(b)Ri+Uoc–NSi+u-外電路(a)二．諾頓定理

1．定理陳述：任何一個(gè)含獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源的一端口網(wǎng)絡(luò)NS，對于外電路來說都可以等效成為有伴電流源(iSC

與Gi

的并聯(lián)組合)，其中：iSC

──NS端口的短路電流；iSC

方向由u的“+極”沿外電路至“-極”！

Gi

=1／Ri

──NS的“除源電導(dǎo)”；2．定理證明：先將NS等效為戴維南等效電路，再用有伴電源等效變換即證。由等效關(guān)系可知：iSC

=i|u=0=uOC／Ri

.NSi+u-外電路(a)三．戴維南等效電路或諾頓等效電路的求法方法一(若除源后N0為簡單純電阻電路)：①求uOC

、iSC

二者之一，其中：uOC

─令端口i=0(開路)，對電路用已知方法計(jì)算之；iSC

──令端口u=0(短路)，對電路用已知方法計(jì)算之；②對除源網(wǎng)絡(luò)N0(簡單純電阻電路)用串、并聯(lián)的方法求出Ri

．iiSC外電路(b)+u

–Gi方法二：同時(shí)求出uOC

、iSC，

則：

Ri

=uOC

／iSC

但當(dāng)uOC

=0時(shí)，iSC

也為零，此時(shí)就不能用上式求Ri

方法三：若除源后N0為含受控源電阻電路①求出uOC

、iSC

二者之一；②對除源網(wǎng)絡(luò)N0用外施電源法求Ri

方法四(一步法或激勵(lì)－響應(yīng)法)：直接對NS求解端口的VAR，若求得為u’=A+Bi’則由戴維南等效電路知：uOC

=A，Ri=B．（當(dāng)求uOC

或iSC

的電路仍然較復(fù)雜時(shí)用此法的計(jì)算量最少）

NSi'+u'-

+uS

-

方法六：實(shí)驗(yàn)測量法（限于直流電路）：+U

R-

+UOC

-

RiI①測開路電壓UOC

；②允許短路時(shí)測ISC，則Ri

=UOC／ISC;否則用一R作為外電路并測其U、I，此時(shí)，例1．試分別求當(dāng)負(fù)載電阻RL為7Ω和17Ω時(shí)電流I之值

解：此題特點(diǎn)：求解量均在RL支路(a圖)。最好選用戴維南定理（或諾頓定理）求解,可用方法一求解：①求UOC:其最簡單的解法是用回路法(b圖)：②對除源后的簡單電阻電路用串并聯(lián)的方法求Ri

：③由戴維南等效電路求I

：

IRL＋4V－9Ω此題若用獨(dú)立變量法，則對RL的兩個(gè)值將求解兩次方程，可見上述解法簡化了計(jì)算。3Ω20Ω4Ω8ΩRL-16V+1AIaba32I1-20×1=16，得I1=9／8A,UOC=–8I1+16–3×1=4Vabb3Ω20Ω4Ω8Ω-16V+1A1AI1

+UOC

-3Ω20Ω4Ω8ΩabRic例2．求右邊電路的最簡等效電路。

②除源（受控源不得除去）求Ri

（圖b）消去非端口變量I1得：Ri

=15Ω；+20V-15Ωa+U-bI解法一：求UOC、Ri①I=0求UOC.（圖a）5Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-baI1I15Ω10Ω5Ω1Ω2I1I1Ia+U-bb解法二：一步法（直接求端口VAR）得：U=20+15I

I1=(-5I+U)／10=0.1U-0.5I（KVL）I2=I1+I

=0.1U+

0.5I（KCL）I3=2I1–I2=0.1U-1.5I（KCL）U=5I＋5I2–I3+12（KVL）U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+125Ω10Ω5Ω1Ω+12V-2I1I1Ia+U-bI2I3Example3.8FindtheThéveninequivalentforthecircuitcontainingdependentsourcesshowninFig3.37.Solution:(1)Findtheopen-circuitvoltagevabFig.3.37Solution:(2)Findtheshort-circuitcurrentisc(3)getRTh(4)drawing圖3.37的戴維南等效電路注意點(diǎn)：1、對端鈕處等效，即對外電路等效。2、含源一端口網(wǎng)絡(luò)一定是線性網(wǎng)絡(luò)。3、開路電壓uoc與端電壓u不同，要注意等效電壓源uoc的參考極性。4、外電路為任意（線性、非線性、有源、無源、支路或部分網(wǎng)絡(luò)均可）。5、若含源一端口網(wǎng)絡(luò)Ns內(nèi)具有受控源時(shí)，這些受控源只能受Ns內(nèi)部（包括端口）有關(guān)電壓或電流控制，而Ns內(nèi)部的電壓或電流也不能作為外電路中受控源的控制量。即Ns與外電路之間一般應(yīng)沒有耦合關(guān)系。作業(yè)：習(xí)題卡3-1，3-3，3-5第四節(jié)最大功率傳輸定理一．最大功率傳輸定理的結(jié)論與證明Ia+U－

RLbNS問題：如圖RL=?時(shí)，NS傳給RL的PRL=Pmax

=?Ia+U-

RLb+UOC-Ri得RL=Ri

，此時(shí)RL可獲得Pmax

匹配求解：戴維南等效電路如圖則有：（最大功率傳輸定理）

通常UOC發(fā)出的功率并不等于NS中原來電源所發(fā)出的功率，匹配時(shí)的效率并不高，對UOC來講，η只有50％(對NS，η≠50％)。因此，對于強(qiáng)電而言，不能工作在匹配狀態(tài)；但對弱信號的傳輸，往往就需要實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸。若用諾頓等效電路例：求RL=?時(shí)PRL吸

=Pmax=?Ri+UOC

-

RL11'

iRL

20Ω20Ω10Ω2A11'+15V-

+5V-

i解：先進(jìn)行戴維南等效：第五節(jié)特勒根定理

一、特勒根定理１對于一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，若其第k條支路的電壓uk

、電流ik取為關(guān)聯(lián)方向（k=1,2,…，b），則恒有：證明：為了簡化證明，考慮n=4、b=6的電路如圖，各支路只用線段表示，線段的方向表示電壓（或電流）的參考方向，并令0為參考節(jié)點(diǎn)，則：

4①2②3③1560原式=un1i1+(un1-un2)

i2+(un2-un3)

i3+(un1-un3)

i4+un2i5+un3i6=

un1(i1+i2+i4)+un2(-i2+i3+i5)+un3(-i3–i4+i6)=un1·0+un2·0+un3·0=0用上述類似的過程，對任何具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的集總電路，均可證明上式成立。物理意義：功率守恒二．特勒根定理２二．特勒根定理２：對于兩個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和b條支路的電路N和N^

，若它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（圖）相同，設(shè)N與N^的對應(yīng)支路編號一致，所取關(guān)聯(lián)方向相同，如支路電流與電壓分別記為(i1，i2，…，ib)、(u1，u2，…，ub)和(i^1，i^2，…，i^b)、(u^1，u^2，…，u^b)，則恒有：特勒根定理２同樣適用于任何集總參數(shù)電路，物理意義為似功率守恒例．N、N'的各支路電流均已標(biāo)出，試驗(yàn)證特勒根定理1和特勒根定理2b2b4b1b3

b5定理證明在書上P67頁，請自學(xué)！0.8A5Ω5Ω＋3V－－1V＋1A－6V＋5Ω＋4V－N0.2A+5V-2A3Ω2Ω＋5V－1A5Ω1A+2V-+10V-+3V-+15V-

b1b2b3b4b5Σ

Nu34-1-65

i-0.80.8-0.211

u

i-2.43.20.2-650^Nu'1510523

i'-22111

u'i'-30205230N與^Nu'i-128-1230ui'-68-1-650可列表（u的單位為V，i的單位為A，p的單位為W）來驗(yàn)證：

有時(shí)兩個(gè)電路結(jié)構(gòu)并不完全相同，可用開路或短路來替代或填補(bǔ)某些支路。

第六節(jié)互易定理“互易”─若線性電路只有一個(gè)激勵(lì)，則該激勵(lì)與電路中某個(gè)響應(yīng)的位置互換后，其激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系保持不變（共有三種形式）：+uS

-

i1i2+u2=0

-

NR+u1-

122'1'+uS

-

122'1'+u1=0-

+u2

-

i1i2NR一、互易定理的第一種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)：則

=

i2即恒壓源與短路電流響應(yīng)可互易)證明：設(shè)總共有b條支路，則由特勒根定理2：又因二．互易定理的第二種形式

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS

i1

i2+u2-

NR+u1-

122'1'iS證明：此時(shí)將，代入（*）式二．互易定理的第二種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，則即恒流源與開路電壓響應(yīng)可互易.二．互易定理的第二種形式證明：將；

代入（*）式2'1'

i1=0

i2+u2-

NR+u1-

12＋uS－三．互易定理的第三種形式：設(shè)下列兩圖中NR為同一僅含線性電阻的網(wǎng)絡(luò)，若

uS

=iS(量值上)，則(量值上)i1

i2+u2=0

-

+u1-

12'1'iS

NR2四、互易定理應(yīng)用時(shí)的幾點(diǎn)說明①式（*）是互易定理三種形式的統(tǒng)一表達(dá)式，用各種互易定理解題時(shí)，可統(tǒng)一使用它，但根據(jù)其證明中使用了特勒根定理，就要求這些端口變量取關(guān)聯(lián)參考方向（對NR以外的端口支路而言）。此外，若NR的激勵(lì)端口與響應(yīng)端口的總和超過２，則該式可作相應(yīng)的推廣。②兩網(wǎng)絡(luò)為同一純電阻網(wǎng)絡(luò)NR

，這只是網(wǎng)絡(luò)互易的充分條件。若網(wǎng)絡(luò)中還含有受控源，則不一定互易！③響應(yīng)與激勵(lì)位置互換后，NR內(nèi)部支路的電壓、電流一般會(huì)改變。例．如圖，求＋u2－2A5Ω＋u1－

i1

i2121'2'NR解法一：第二種形式解法二：直接用(*)式來解＋10V－121'2'i1i2=0

NR2A＋5V－第七節(jié)對偶原理

即系統(tǒng)中某些元素之間的關(guān)系（或方程）用對應(yīng)的另一些元素置換后，所得的新關(guān)系（或新方程）也一定對應(yīng)地成立。電路中互為對偶的元素、變量有：u、R、L、開路、有伴電壓源、磁鏈、……、uOC

、節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)、iS

……i、G、C、短路、有伴電流源、電荷、……、iSC、網(wǎng)孔、網(wǎng)孔自電阻、uS

……在電路分析中，發(fā)現(xiàn)有些關(guān)系式、物理量及電路是成對出現(xiàn)的，它們之間存在著一種明顯的類比關(guān)系。例如：歐姆定律的兩種形式：在關(guān)聯(lián)參考方向下：u=Ri

，i=Gu在這兩個(gè)關(guān)系式中，通過對應(yīng)元素（對偶元素）互換后又能彼此轉(zhuǎn)換，這種類比的性質(zhì)就稱對偶性，即對偶原理。電路中互為對偶的方程如：u=Ri

；iC

=C(duC

／dt)；ψL=LiL

；……；i=Gu

；uL=L(diL

／dt)；qC

=CuC

；…….R1R3+uS1-il1R2il2+uS3-

①②G2G1G3iS1iS3互為對偶的電路根據(jù)對偶原理，如果導(dǎo)出了電路某一個(gè)關(guān)系式或結(jié)論，就等于解決了與之對偶的另一個(gè)關(guān)系式或結(jié)論。掌握電路的這一性質(zhì)，能幫助我們掌握電路的規(guī)律，做到由此及彼，舉一反三。例如：必須注意，兩個(gè)電路互為對偶，絕非是這兩個(gè)電路等效?！皩ε肌焙汀暗刃А笔莾蓚€(gè)不同的概念，不可混淆。

3-19、3-20、3-22

作業(yè)：3-7，3-9，3-14，3-16例1、列出圖示電路的回路電流方程。解：控制關(guān)系方程，即習(xí)題課一直流電路2Ω-2i1++4V-+u2-i1u2

2Ω2ΩR3R1R2is2Aus

isu2

i例2、列出電路的節(jié)點(diǎn)電壓方程（不必求解）解：注意：1、與電流源串聯(lián)電導(dǎo)不計(jì)入自電導(dǎo)和互電導(dǎo)之中；2、無伴電壓源假設(shè)未知電流的處理方法。例3、電路如圖所示，求：Uab

?解：電壓源兩邊電阻組成的兩組電橋，均處于平衡狀態(tài)電流為0的支路可視為開路例4、書上