理論力學(xué)5-摩擦

5.1滑動(dòng)摩擦5.2摩擦角和自鎖現(xiàn)象5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題5.4滾動(dòng)摩擦第五章

摩擦滑動(dòng)摩擦——由于物體間相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦——由于物體間相對(duì)滾動(dòng)或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢(shì)引起的摩擦。當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)的力，稱(chēng)為滑動(dòng)摩擦力。5.1滑動(dòng)摩擦摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。5.1滑動(dòng)摩擦若僅有滑動(dòng)趨勢(shì)而沒(méi)有滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱(chēng)為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱(chēng)為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。5.1滑動(dòng)摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當(dāng)拉力F由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止?？梢?jiàn)支承面對(duì)物體除法向約束反力FN外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱(chēng)靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。5.1.1靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFNPFSF靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的增大而無(wú)限度地增大。當(dāng)力F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開(kāi)始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。5.1.1靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFSF這時(shí)，只要力F再增大一點(diǎn)，物塊即開(kāi)始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱(chēng)最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。這就是靜摩擦力的特點(diǎn)5.1.1靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFSF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即靜摩擦定律（庫(kù)侖摩擦定律）

由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。式中fs稱(chēng)為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)。靜摩擦定律（庫(kù)侖摩擦定律）靜摩擦定律（庫(kù)侖摩擦定律）靜摩擦系數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無(wú)關(guān)。5.1.2動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力F再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱(chēng)為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)摩擦力，以Fd表示。5.1.2動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即式中f是動(dòng)摩擦系數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。5.1.2動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒(méi)有變化范圍。一般情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，即

f<fs。5.1.2動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力F再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱(chēng)為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)摩擦力，以Fd表示。實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即式中f是動(dòng)摩擦系數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒(méi)有變化范圍。一般情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，即f<fs。5.1.2動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)。對(duì)于不同材料的物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)的速度變化規(guī)律也不同。

多數(shù)情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而稍減小，但當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似地認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。5.2.1摩擦角當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)平衡物體的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs,這兩個(gè)力的合力稱(chēng)為支承面的全約束反力，即FR=FN+Fs，它與支承面間的夾角j將隨主動(dòng)力的變化而變化，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，j角達(dá)到一最大值jf。全約束力與法線間的夾角的最大值jf稱(chēng)為摩擦角。5.2摩擦角和自鎖現(xiàn)象FNFsFRjFNFmaxFRjjf由圖可知，角jf與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f的關(guān)系為：5.2.1摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)?？梢?jiàn)，摩擦角與摩擦系數(shù)一樣，都是表示材料的表面性質(zhì)的量。FNFmaxFRjjf5.2.1摩擦角當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫(huà)出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱(chēng)為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。由圖可知，角jf與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f的關(guān)系為：5.2.1摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)?？梢?jiàn)，摩擦角與摩擦系數(shù)一樣，都是表示材料的表面性質(zhì)的量。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢(shì)方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫(huà)出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱(chēng)為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。FNFmaxFRjjf

5.2.2自鎖現(xiàn)象物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束反力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過(guò)最大值，因此全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束反力必在摩擦角之內(nèi)。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj(1)如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無(wú)論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖現(xiàn)象。

因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線間的夾角q<jf，因此，F(xiàn)R和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q=j<jf。5.2.2自鎖現(xiàn)象

5.2.2自鎖現(xiàn)象qjfjfjfFRFRAAj(2)如果全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角j之外，則無(wú)論這個(gè)力怎樣小，物塊一定會(huì)滑動(dòng)。

因?yàn)樵谶@種情況下，q>j

f，而j≤jf，支承面的全約束反力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是5.2.2自鎖現(xiàn)象5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問(wèn)題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數(shù)目；5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即Fs≤fsFN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦?xí)r平衡問(wèn)題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題

工程中有不少問(wèn)題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時(shí)靜摩擦力等于其最大值，補(bǔ)充方程只取等號(hào)。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。5.3考慮摩擦的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問(wèn)題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數(shù)目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即Fs≤fsFN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0≤Fs≤fsFN)，所以有摩擦?xí)r平衡問(wèn)題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。P129思考題5-7:分析后輪驅(qū)動(dòng)的汽車(chē)前、后輪摩擦力的方向。前輪后輪F1N1F2N2MAA

解1：（解析法）以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。例1將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾角大于接觸面的摩擦角（如圖），已知靜摩擦系數(shù)為f，若加一水平力使物塊平衡，求力的范圍。聯(lián)立求解得：當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。聯(lián)立求解得：故力應(yīng)滿足的條件為：解2：（幾何法）當(dāng)物體處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：解2：（幾何法）

當(dāng)物體處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：解2：（幾何法）故力應(yīng)滿足的條件為：將上式展開(kāi)亦可得同上結(jié)果。例2梯子AB長(zhǎng)為2a，重為P，其一端置于水平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設(shè)梯子與地和墻的靜摩擦系數(shù)均為，問(wèn)梯子與水平線的夾角多大時(shí)，梯子能處于平衡？解1：（解析法）以梯子為研究對(duì)象，當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，此時(shí)角取最小值。建立如圖坐標(biāo)?！?）——（2）—（3）由摩擦定律：——（4）——（5）將式（4）、（5）代入（1）、（2）得：即可解出：故應(yīng)滿足的條件是：此條件即為梯子的自鎖條件。將代入（2）求出，將

和代入（3），得：將代入上式，解出：解2：（幾何法）

當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，顯然，于是故應(yīng)滿足的條件是：例3在用鉸鏈O固定的木板AO和BO間放一重W的勻質(zhì)圓柱，并用大小等于P的兩個(gè)水平力P1與P2維持平衡，如圖所示。設(shè)圓柱與木板間的摩擦系數(shù)為

f，不計(jì)鉸鏈中的摩擦力以及木板的重量，求平衡時(shí)P的范圍。2dP1P2ABCDWO2(分析：P小，下滑；P大，上滑)解:(1)求P的極小值F1F2CDWON1N2設(shè)圓柱處于下滑臨界狀態(tài),畫(huà)受力圖.由對(duì)稱(chēng)性得:N1=N2=NF1=F2=FFy

=0聯(lián)立(1)和(2)式得:取OA板為研究對(duì)象畫(huà)受力圖，此時(shí)的水平力有極小值PminP1N1ACOF1FxFyF1F2CDWON1N2P1N1ACOF1MO(Fi)=0max(2)求P的極大值當(dāng)P達(dá)到極大值時(shí),圓柱處于上滑臨界狀態(tài).只要改變受力圖中摩擦力的指向和改變F前的符號(hào)即可.用摩擦角表示得:當(dāng)角等于或大于時(shí)，無(wú)論P(yáng)多大，圓柱不會(huì)向上滑動(dòng)而產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象。例重W的方塊放在水平面上，并有一水平力P作用。設(shè)方塊底面的長(zhǎng)度為b,P與底面的距離為a，接觸面間的摩擦系數(shù)為f，問(wèn)當(dāng)P逐漸增大時(shí)，方塊先行滑動(dòng)還是先行翻倒？WPabWPACaFNFmax解：1假定方塊處于滑動(dòng)臨界平衡狀態(tài)Fy

=0N

-

W=0Fx

=0P

-

Fm=0即P

=Fm=f·N=f·WFmax=f·FN2假定方塊處于翻倒臨界平衡狀態(tài),畫(huà)受力圖。WPabNFAMA(Fi)=03討論:比較W·b/2a與f·W可知(1)如果f·W>W·b/2a,即f>b/2a,則方塊先翻倒。（W·b/2a為將要翻倒時(shí)所需P力）（·W為將要滑動(dòng)時(shí)所需P力）(2)如果f·W<W·b/2a,即f<b/2a,則方塊先滑動(dòng)(3)如果f·W=Wb/2a,即f=b/2a,則滑動(dòng)與翻倒將同時(shí)發(fā)生例5

均質(zhì)三角板OAB的重量為W1，均質(zhì)圓輪C的重量為W2，圓輪的外半徑為R，內(nèi)半徑為r，且R＝2r，D、E處?kù)o摩擦系數(shù)都為f，若水平拉力Q作用于H處，

,試求系統(tǒng)能保持平衡Q的最大值（不計(jì)滾動(dòng)摩阻）。解該題若先判斷出D、E兩處接觸面滑動(dòng)趨勢(shì)，再畫(huà)出這兩個(gè)接觸處摩擦力的方向，存在一定困難，但若應(yīng)用平衡方程作定性受力分析，則可正確確定兩接觸處摩擦力方向?？纱_定D、E處摩擦力方向均自右向左，圓輪的受力圖如圖:本題的解題步驟為1°以圓輪為研究對(duì)象，由Q2°以三角塊為研究對(duì)象，其受力圖為圖（c）3°假設(shè)D處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下求得：，所以無(wú)法確定D、E處哪處先滑動(dòng)。

4°假設(shè)E處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下求得：5°系統(tǒng)能保持平衡的最大Ｑ為這說(shuō)明，對(duì)系統(tǒng)中多處存在摩擦的平衡問(wèn)題，當(dāng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)破壞時(shí)，各處摩擦力一般不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大值。此題平衡狀態(tài)破壞時(shí)圓盤(pán)處于滾動(dòng)狀態(tài)。5-4滾動(dòng)摩擦(1)滾阻力偶和滾阻力偶矩QPcrA設(shè)一半徑為r的滾子靜止地放在水平面上，滾子重為P。在滾子的中心作用一較小的水平力Q。取滾子為研究對(duì)象畫(huà)受力圖。Fx=0Q-F=0Fy=0N-P=0mA(Fi)=0m-Qr=0m=QrQPcrANFm(2)產(chǎn)生滾阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB

滾子與支承面實(shí)際上不是剛體,在壓力作用下它們都會(huì)發(fā)生微小變形。

設(shè)反作用力的合力為R并作用于B點(diǎn),滾子在力P,Q與R作用下處于平衡狀態(tài)。

將力R

沿水平與豎直兩個(gè)方向分解,則水平分力即為摩擦力F，豎直分力即為法向反力N。由于物體變形力N向前偏移一微小距離e。eAoQPNFmAoQPFN將力F與N向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到作用于A點(diǎn)的力N與F，另外還得到一附加力偶.其力偶矩為m=Ne。即阻止?jié)L子滾動(dòng)的滾阻力偶。(3)滾動(dòng)摩擦定律mA(Fi)=0m-Qr=00m

mma