2017-2018版高中數(shù)學第四章導數(shù)應用2.1實際問題中導數(shù)的意義學案1-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．1實際問題中導數(shù)的意義學習目標1。利用實際問題加強對導數(shù)概念的理解。2.能利用導數(shù)求解有關實際問題．知識點實際問題中導數(shù)的意義思考某人拉動一個物體前進，他所做的功W(單位:J)是時間t（單位:s)的函數(shù)，設這個函數(shù)可以表示為W＝W（t）＝t3－4t2＋10t。（1）t從1s到4s時W關于t的平均變化率是多少？(2）上述問題的實際意義是什么？(3)W′（1）的實際意義是什么？梳理（1)在物理學中，通常稱力在單位時間內________為功率,它的單位是________．功率是功關于________的導數(shù)．（2）在氣象學中,通常把單位時間（如1時，1天等)內的________稱作降雨強度，它是反映一次降雨大小的一個重要指標．降雨強度是降雨量關于時間的________．（3）在經(jīng)濟學中,通常把生產(chǎn)成本y關于________x的函數(shù)y＝f(x）的導函數(shù)稱為____________．邊際成本f′（x0）指的是當產(chǎn)量為x0時，生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當產(chǎn)量為x0時,每增加一個單位的產(chǎn)量，需要增加f′(x0）個單位的成本．類型一導數(shù)在物理學中的意義例1某質點的運動方程為s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(單位：m)，t是時間（單位:s)．(1）求當t從1s變到3s時,位移s關于時間t的平均變化率，并解釋它的實際意義；(2）求s′(1)，s′（2）,并解釋它們的實際意義．反思與感悟根據(jù)導數(shù)的實際意義，在物理學中,除了我們所熟悉的位移、速度與時間的關系,功與時間的關系，還應了解質量關于體積的導數(shù)為密度，電量關于時間的導數(shù)為電流強度等．因此，在解釋某點處的導數(shù)的物理意義時，應結合這些導數(shù)的實際意義進行理解．跟蹤訓練1某河流在一段時間xmin內流過的水量為ym3，y是x的函數(shù)，且y＝f（x）＝eq\r(3,x）.（1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？（2）求f′（27)，并解釋它的實際意義．類型二導數(shù)在經(jīng)濟生活中的應用例2某機械廠生產(chǎn)某種機器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設日產(chǎn)品的總成本C（元）與日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)關系為C（x）＝eq\f（1,4）x2＋60x＋2050.求當日產(chǎn)量由10件提高到20件時，總成本的平均改變量,并說明其實際意義．引申探究1．若本例條件不變,求當日產(chǎn)量為75件時的邊際成本,并說明其實際意義．2．若本例的條件“C（x)＝eq\f（1，4）x2＋60x＋2050"變?yōu)椤癈(x）＝eq\f（1，4）x2＋ax＋2050,當日產(chǎn)量為75件時的邊際成本大于97。5"，求a的取值范圍．反思與感悟生產(chǎn)成本y關于產(chǎn)量x的函數(shù)y＝f(x)中，f′（x0)指的是當產(chǎn)量為x0時,生產(chǎn)成本的增加速度，也就是當產(chǎn)量為x0時，每增加一個單位的產(chǎn)量,需增加f′(x0)個單位的成本．跟蹤訓練2已知某商品的成本函數(shù)為C(Q)＝100＋eq\f(Q2,4）(Q為產(chǎn)品的數(shù)量）．(1）求Q＝10時的總成本、平均成本及邊際成本；（2）當產(chǎn)量Q為多少時，平均成本最小?最小為多少？類型三在日常生活中的應用例3一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產(chǎn)的產(chǎn)品質量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數(shù)，設這個函數(shù)為y＝f(x)＝eq\f（x2,20）＋4eq\r（x).（1）求x從1h變到4h時，y關于時間x的平均變化率，并解釋它的實際意義；（2）求f′(1)，f′（4),并解釋它的意義．反思與感悟在不同的實際問題中導數(shù)的意義是不相同的，要結合具體問題進行分析，在某一點處的導數(shù)的實際意義是當自變量在該點處的改變量趨近于零時，平均變化率所趨近的值，問題不同有不同的意義．跟蹤訓練3某年高考，某考生在參加數(shù)學科考試時，其解答完的題目數(shù)量y（單位：道）與所用時間x（單位：分鐘)近似地滿足函數(shù)關系y＝2eq\r（x)。（1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關于x的平均變化率，并解釋它的實際意義；（2)求f′(64）,f′（100)，并解釋它的實際意義．1．某公司的盈利y（元）和時間x（天）的函數(shù)關系是y＝f(x）,假設f（x）＞0恒成立,且f′(10）＝10，f′（20）＝1，則這些數(shù)據(jù)說明第20天與第10天比較()A．公司已經(jīng)虧損B．公司的盈利在增加,且增加的幅度變大C．公司在虧損且虧損幅度變小D．公司的盈利在增加，但增加的幅度變小2．某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數(shù)，即W＝W(t),則W′（t0）表示()A．t＝t0時做的功 B．t＝t0時的速度C．t＝t3時的位移 D．t＝t0時的功率3．某收音機制造廠的管理者通過對上午上班工人工作效率的研究表明：一個中等技術水平的工人，從8：00開始工作，t小時后可裝配晶體管收音機的臺數(shù)為Q（t）＝－t3＋9t2＋12t，則Q′(2)＝________，它的實際意義是__________________________________．4．某物體的運動速度與時間的關系為v（t)＝2t2－1，則t＝2時的加速度為________．5．某廠生產(chǎn)x噸產(chǎn)品獲利y萬元，y是x的函數(shù),且函數(shù)為y＝f（x)＝－eq\f（1,8）x2＋21x－100.(1)當x從4變到8時,y關于x的平均變化率是多少?它代表什么實際意義？(2)求f′（84)，并解釋它的實際意義．1．解決實際問題的一般思路：實際問題轉化為數(shù)學問題，數(shù)學問題的結論回到實際問題的結論．2．解決實際問題的一般步驟（1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系；（2）建模：將文字語言轉化成數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：把數(shù)學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解；（4)對結果進行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案．

答案精析問題導學思考（1）eq\f（W4－W1，4－1）＝eq\f(40－7,3）＝11J/s。（2）它表示從t＝1s到t＝4s這段時間內，這個人平均每秒做功11J.(3）W′（t)＝3t2－8t＋10，W′(1)＝5表示在t＝1s時每秒做功5J.梳理(1)做的功瓦特時間(2)降雨量導數(shù)(3）產(chǎn)量邊際成本題型探究例1解(1)當t從1s變到3s時,s關于t的平均變化率為eq\f（Δs，Δt)＝eq\f（s3－s1,3－1)＝eq\f（27－5,3－1)＝11m/s。它表示從t＝1s到t＝3s這段時間內，該質點平均每秒的位移是11m.（2）由導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則可得s′(t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7m/s，s′（2）＝4×2＋3＝11m/s。s′(1)表示的是該質點在t＝1s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝1s這個時刻的瞬時速度為7m/s。s′(2)表示的是該質點在t＝2s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝2s這個時刻的瞬時速度為11m/s。跟蹤訓練1解(1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為eq\f（f8－f1，8－1)＝eq\f(2－1，7)＝eq\f（1,7)（m3/min)．(2)f′（x)＝eq\f(1，3）x－eq\f(2，3)，于是f′(27)＝eq\f（1，3)×27－eq\f(2,3）＝eq\f(1，27）（m3/min)，實際意義為當時間為27min時，水流量增加的速度為eq\f(1，27）m3/min，也就是當時間為27min時,每增加1min，水流量增加eq\f(1，27）m3.例2解當x從10件提高到20件時，總成本C從C(10)＝2675元變到C(20）＝3350元．此時總成本的平均改變量為eq\f(C20－C10，20－10）＝67。5(元/件)，其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量．引申探究1．解因為C′(x）＝eq\f(1,2）x＋60，所以C′(75)＝eq\f(1，2）×75＋60＝97.5（元/件），它指的是當日產(chǎn)量為75件時,每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97。5元．2．解因為C′(x）＝eq\f(1，2)x＋a，所以日產(chǎn)量為75件時的邊際成本大于97.5，即C′（75)＝eq\f（1,2）×75＋a〉97.5，解得a>60。跟蹤訓練2解（1）Q＝10時的總成本C（10)＝100＋eq\f（102，4）＝125；Q＝10時的平均成本eq\x\to（C10）＝eq\f(C10，10)＝12。5.邊際成本即成本函數(shù)C（Q)對產(chǎn)量Q的導數(shù)，故邊際成本C′(Q)＝eq\f(1,2)Q，Q＝10時的邊際成本是C′（10)＝5。(2）由（1)得，平均成本eq\x\to（CQ）＝eq\f（CQ,Q)＝eq\f（100，Q)＋eq\f（Q,4），而eq\f（100，Q）＋eq\f(Q，4)≥2·eq\r（\f（100,Q)·\f（Q，4)）＝10，當且僅當eq\f（100,Q）＝eq\f（Q,4），即Q＝20時,等號成立,所以當產(chǎn)量Q為20時，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.例3解（1）當x從1h變到4h時，產(chǎn)量y從f(1）＝eq\f(81，20)g變到f(4)＝eq\f(176,20)g，此時平均變化率為

eq\f（f4－f1，4－1)＝eq\f(\f（176,20)－\f(81，20）,3)＝eq\f(19,12)（g/h），它表示從1h到4h這段時間這個人平均每小時生產(chǎn)eq\f(19,12)g產(chǎn)品．(2）f′(x）＝eq\f(x,10）＋eq\f(2,\r(x)),于是f′(1）＝eq\f（21，10）（g/h),f′(4)＝eq\f（7，5)(g/h)，分別表示在第1小時和第4小時這個人每小時生產(chǎn)產(chǎn)品eq\f（21，10)g和eq\f（7,5)g.跟蹤訓練3解（1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關于x的平均變化率為eq\f(f36－f0，36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1，3).它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答eq\f（1，3）道題．（2)∵f′（x）＝eq\f(1，\r（x)）,∴f′（64)＝eq\f（1，8），f′（100)＝eq\f(1，10）。它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答eq\f（1,8)和eq\f（1,10）道題．當堂訓練1．D2。D3．36臺/小時10：00時，工人裝配晶體管收音機的速度為36臺/小時4．85．解(1)當x從4變到8時，y關于x的平均變化率為eq\f（f8－f4,8－4）＝eq\f（60－－18,8－4)＝19.5(萬元/噸），它表示產(chǎn)量從4噸增加到8噸的過程中，每增加1噸產(chǎn)量,利潤平均增加19。5萬元．(2)f′(x)＝－eq\f（1，4）x＋21，于是f′（84）＝0，f′（84)表示當產(chǎn)量為84噸時,利潤增加的速度為0，也就是說當產(chǎn)量為84噸時，每多生產(chǎn)1噸產(chǎn)品，利潤增加為0,即利潤不變．問題導學思考（1）eq\f(W4－W1，4－1）＝eq\f（40－7，3)＝11J/s.(2)它表示從t＝1s到t＝4s這段時間內，這個人平均每秒做功11J。(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，W′(1)＝5表示在t＝1s時每秒做功5J.梳理(1)做的功瓦特時間（2)降雨量導數(shù)（3)產(chǎn)量邊際成本題型探究例1解（1)當t從1s變到3s時,s關于t的平均變化率為eq\f（Δs,Δt)＝eq\f（s3－s1，3－1)＝eq\f（27－5，3－1)＝11m/s。它表示從t＝1s到t＝3s這段時間內，該質點平均每秒的位移是11m。（2)由導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則可得s′（t)＝4t＋3，則s′(1)＝4＋3＝7m/s，s′(2)＝4×2＋3＝11m/s.s′(1）表示的是該質點在t＝1s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝1s這個時刻的瞬時速度為7m/s.s′（2)表示的是該質點在t＝2s時的瞬時速度，也就是該質點在t＝2s這個時刻的瞬時速度為11m/s。跟蹤訓練1解（1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為eq\f(f8－f1,8－1)＝eq\f(2－1,7）＝eq\f（1，7）（m3/min）．（2）f′(x）＝eq\f（1，3)x－eq\f（2,3),于是f′(27)＝eq\f(1,3）×27－eq\f（2,3）＝eq\f(1，27)（m3/min),實際意義為當時間為27min時，水流量增加的速度為eq\f（1,27）m3/min，也就是當時間為27min時,每增加1min，水流量增加eq\f（1,27）m3.例2解當x從10件提高到20件時，總成本C從C（10）＝2675元變到C（20)＝3350元．此時總成本的平均改變量為eq\f(C20－C10,20－10)＝67。5（元/件），其表示日產(chǎn)量從10件提高到20件時平均每件產(chǎn)品的總成本的改變量．引申探究1．解因為C′（x）＝eq\f（1,2)x＋60，所以C′(75)＝eq\f（1,2)×75＋60＝97.5（元/件)，它指的是當日產(chǎn)量為75件時，每多生產(chǎn)一件產(chǎn)品，需增加成本97.5元．2．解因為C′(x）＝eq\f(1，2)x＋a，所以日產(chǎn)量為75件時的邊際成本大于97.5，即C′(75）＝eq\f(1,2)×75＋a>97.5，解得a〉60。跟蹤訓練2解(1)Q＝10時的總成本C（10)＝100＋eq\f（102，4)＝125；Q＝10時的平均成本eq\x\to(C10）＝eq\f（C10，10)＝12.5.邊際成本即成本函數(shù)C(Q)對產(chǎn)量Q的導數(shù),故邊際成本C′(Q)＝eq\f(1,2)Q，Q＝10時的邊際成本是C′(10)＝5.（2)由（1)得,平均成本eq\x\to(CQ)＝eq\f(CQ，Q)＝eq\f（100，Q）＋eq\f（Q,4），而eq\f（100，Q)＋eq\f（Q，4)≥2·eq\r（\f（100,Q）·\f(Q，4）)＝10,當且僅當eq\f(100,Q)＝eq\f（Q,4)，即Q＝20時，等號成立,所以當產(chǎn)量Q為20時，平均成本最小，且平均成本的最小值是10。例3解（1)當x從1h變到4h時，產(chǎn)量y從f(1）＝eq\f(81,20)g變到f（4)＝eq\f(176，20）g，此時平均變化率為

eq\f（f4－f1，4－1）＝eq\f(\f(176,20）－\f（81，20），3)＝eq\f(19，12)(g/h),它表示從1h到4h這段時間這個人平均每小時生產(chǎn)eq\f（19，12)g產(chǎn)品．(2）f′(x）＝eq\f(x，