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數(shù)列的概念北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《數(shù)列》一、數(shù)列的概念1.定義按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.數(shù)列是特殊的函數(shù)
從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列,對于定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù)來說,數(shù)列就是這個函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值,其圖象是無限個或有限個孤立的點(diǎn).
注:依據(jù)此觀點(diǎn)可以用函數(shù)的思想方法來解決有關(guān)數(shù)列的問題.復(fù)習(xí)回顧二、數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項(xiàng)公式法
若數(shù)列的每一項(xiàng)
an
與項(xiàng)數(shù)
n
之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表達(dá),即
an=f(n),則
an=f(n)
叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、數(shù)列的分類1.按項(xiàng)數(shù):有窮數(shù)列和無窮數(shù)列;2.按
an
的增減性:遞增、遞減、常數(shù)、擺動數(shù)列;
a1,a2,a3,……an,…….簡記為:{an}數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn).1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時,需仔細(xì)觀察分析,
抓住以下幾方面的特征:
(1)分式中分子、分母的特征;
(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;
(3)拆項(xiàng)后的特征;
(4)各項(xiàng)符號特征等,并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.練習(xí)1:寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1)3,5,9,17,33,…;(2),2,,8,,…;(3),2,…;(4)1,0,1,0,….問題8:如果一個數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加1,即an=2an-1+1(n∈N,n>1),(※)你能寫出這個數(shù)列的前三項(xiàng)嗎?像上述問題中給出數(shù)列的方法叫做遞推法,其中an=2an-1+1(n>1)稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。遞推公式是數(shù)列所特有的表示法,它包含兩個部分,一是遞推關(guān)系,一是初始條件,二者缺一不可.
數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項(xiàng)公式法
若數(shù)列的每一項(xiàng)
an
與項(xiàng)數(shù)
n
之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式來表達(dá),即
an=f(n),則
an=f(n)
叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.遞推公式法
如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),
且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的關(guān)系可以用一個公式來表示,
這個公式就叫做數(shù)列的遞推公式.注:遞推公式有兩要素:遞推關(guān)系與初始條件.例1
設(shè)數(shù)列滿足
寫出這個數(shù)列的前五項(xiàng)。練習(xí)2:根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式,寫出它的前5項(xiàng)。5,8,11,14,172,4,8,16,323,6,3,-3,-61,2,5/2,29/10,941/2903.已知數(shù)列
{an}
滿足
a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求
a2,
a3;(2)證明:an=.3n-12(1)解:
∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故
a2,
a3的值分別為
4,13.(2)證:
∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1
3n-12故
an=.3n-123n-13-13-1==.分析:數(shù)列的增減性遞增數(shù)列——an
<an+1遞減數(shù)列——an
>an+1常數(shù)列:an=an+1擺動數(shù)列:an-1
<an
且an
>an+1方法:作差比較解:例4:求數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng).3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?
(2)n為何值時,an有最小值?并求出最小值.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)a2,a3是負(fù)數(shù).(2)∵an=n2-5n+4=n(n-)2-的對稱軸方程為n=又n∈N*,∴n=2或n=3時,an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.5.已知數(shù)列
{an}
的通項(xiàng)
an=(n+1)()n(nN*),試問該數(shù)列{an}
有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說明理由.1110∴當(dāng)
n<9
時,an+1-an>0,即
an+1>an;當(dāng)
n>9
時,an+1-an<0,即
an+1<an.∴數(shù)列
{an}
有最大項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)為
9
或
10,其值為解:∵
an+1-an=(n+2)(
)n+1-(n+1)(
)n
11101110=(
)n?
.1110119-n
當(dāng)
n=9
時,an+1-an=0,即
a10=a9;10?(
)9.1110解法二:由
an≥an+1an≥an-1(n+1)(
)n≥n(
)n-111101110(n+1)(
)n≥(n+2)(
)n+111101110(n+1)(
)≥n
1110n+1≥(n+2)(
)11109≤n≤10.∴數(shù)列
{an}
有最大項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)為
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