2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章概率5第2課時離散型隨機變量的方差學(xué)案2-3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時離散型隨機變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差的概念.2。能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．知識點離散型隨機變量的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列為X012Peq\f（6,10）eq\f（1,10)eq\f(3，10)Y012Peq\f(5,10）eq\f（3，10）eq\f（2,10）思考1試求EX，EY.思考2能否由EX與EY的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低?思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩工人技術(shù)水平的高低？梳理（1)離散型隨機變量的方差的含義設(shè)X是一個離散型隨機變量，用E（X－EX）2來衡量X與EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________,稱E(X－EX）2為隨機變量X的方差，記為________．（2）方差的大小與離散型隨機變量的集中與分散程度間的關(guān)系方差越____,隨機變量的取值越分散；方差越____，隨機變量的取值就越集中在其均值周圍．（3）參數(shù)為n,p的二項分布的方差當(dāng)隨機變量服從參數(shù)為n，p的二項分布時，其方差DX＝np（1－p)．類型一求離散型隨機變量的方差命題角度1已知分布列求方差例1已知X的分布列如下：X－101Peq\f（1,2)eq\f（1,4）a（1）求X2的分布列;（2)計算X的方差；(3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思與感悟方差的計算需要一定的運算能力，公式的記憶不能出錯!在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關(guān)系式DX＝EX2－（EX)2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX＋b）＝a2DX。跟蹤訓(xùn)練1已知η的分布列為η010205060Peq\f（1,3)eq\f（2,5）eq\f（1,15）eq\f(2,15)eq\f（1,15)（1）求方差；(2）設(shè)Y＝2η－Eη，求DY。命題角度2未知分布列求方差例2某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種(分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗．選取兩大塊地，每大塊地分為n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙．假設(shè)n＝4,在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列、均值及方差．反思與感悟(1)求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟①理解X的意義，寫出X可能取的全部值．②求X取每個值的概率．③寫X的分布列．④求EX，DX。(2)若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np（1－p)．跟蹤訓(xùn)練2在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球,其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球,若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差．類型二方差的實際應(yīng)用例3某投資公司在2017年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30%,也可能虧損15％，且這兩種情況發(fā)生的概率為eq\f（7，9）和eq\f(2，9)。項目二:通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50％，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為eq\f(3，5），eq\f（1，3)和eq\f（1，15）.針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由．反思與感悟均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?還需比較它們的取值的離散型程度,即通過比較方差，才能做出更準(zhǔn)確的判斷．跟蹤訓(xùn)練3甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η,且ξ，η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0。3（1)求a,b的值；(2)計算ξ，η的均值與方差，并以此分析甲、乙的射擊技術(shù)狀況．1．已知隨機變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2）eq\f（1,3)eq\f（1,6)則下列式子:①EX＝－eq\f（1,3）；②DX＝eq\f(23，27）；③P(X＝0）＝eq\f(1，3).其中正確的個數(shù)是(）A．0B．1C．2D．32．已知隨機變量X的分布列為P（X＝k)＝eq\f(1,3）（k＝1，2，3)，則D(3X＋5）等于()A．6B．9C．3D．43．已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若EX＝0，DX＝1，則a＝________，b＝________。X－1012Pabceq\f(1,12)4。有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X，Y，已知EX＝EY，DX〉DY,則自動包裝機________的質(zhì)量較好．(填“甲”或“乙”)5．編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1，2，3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ，求Eξ和Dξ。1．隨機變量的方差反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度．方差越小，則隨機變量的取值越集中在其均值周圍;反之，方差越大，則隨機變量的取值就越分散．2．隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)別:樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此,它是一個變量，而隨機變量的方差是一個常量．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)思考1EX＝0×eq\f（6，10）＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f（3，10)＝eq\f(7，10），EY＝0×eq\f（5,10）＋1×eq\f（3，10)＋2×eq\f（2，10）＝eq\f（7,10）.思考2不能，因為EX＝EY.思考3方差．梳理（1)平均偏離程度均值DX(2）大小題型探究例1解（1)由分布列的性質(zhì)，知eq\f（1,2)＋eq\f（1,4）＋a＝1,故a＝eq\f（1,4）,從而X2的分布列為X201Peq\f（1，4）eq\f（3,4）（2)方法一由(1）知a＝eq\f（1,4）,所以X的均值EX＝(－1）×eq\f(1,2）＋0×eq\f（1，4）＋1×eq\f(1,4）＝－eq\f（1,4).故X的方差DX＝(－1＋eq\f(1，4)）2×eq\f(1，2)＋(0＋eq\f(1，4）)2×eq\f(1，4）＋（1＋eq\f（1,4))2×eq\f（1，4）＝eq\f(11,16）.方法二由(1）知a＝eq\f(1,4），所以X的均值EX＝（－1)×eq\f（1,2)＋0×eq\f(1，4)＋1×eq\f（1,4）＝－eq\f（1,4)，X2的均值EX2＝0×eq\f（1，4)＋1×eq\f(3，4）＝eq\f（3，4），所以X的方差DX＝EX2－(EX）2＝eq\f(11,16）。(3）因為Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.跟蹤訓(xùn)練1解(1)∵Eη＝0×eq\f(1,3）＋10×eq\f（2,5）＋20×eq\f(1，15）＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f（1，15)＝16，∴Dη＝(0－16）2×eq\f(1,3）＋（10－16)2×eq\f（2，5）＋(20－16）2×eq\f(1，15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16）2×eq\f（1，15）＝384，(2）∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1536.例2解X可能的取值為0，1,2,3，4，且P（X＝0)＝eq\f（1,C\o\al（4,8））＝eq\f（1，70），P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4）C\o\al（3，4）,C\o\al（4，8）)＝eq\f（8,35），P(X＝2）＝eq\f(C\o\al(2，4）C\o\al（2，4),C\o\al(4,8））＝eq\f(18,35)，P(X＝3）＝eq\f（C\o\al(3，4)C\o\al（1，4），C\o\al（4，8）)＝eq\f（8,35)，P（X＝4)＝eq\f（1，C\o\al（4，8))＝eq\f（1,70）。即X的分布列為X01234Peq\f（1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35）eq\f(8,35）eq\f（1，70）∴EX＝0×eq\f（1,70）＋1×eq\f(8，35）＋2×eq\f（18,35)＋3×eq\f（8,35）＋4×eq\f（1,70）＝2,DX＝(0－2）2×eq\f（1，70）＋（1－2）2×eq\f（8，35)＋（2－2)2×eq\f(18,35)＋（3－2)2×eq\f（8,35）＋(4－2)2×eq\f（1，70）＝eq\f（4,7）。跟蹤訓(xùn)練2解X的可能取值為1,2，3，4，5.P（X＝1）＝eq\f(1,5),P(X＝2）＝eq\f（4，5）×eq\f（1，4)＝eq\f(1,5)，P（X＝3)＝eq\f(4，5)×eq\f(3，4)×eq\f（1,3)＝eq\f（1，5），P（X＝4）＝eq\f(4，5）×eq\f(3，4)×eq\f（2，3）×eq\f（1,2）＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(4，5)×eq\f（3,4)×eq\f(2，3）×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,5）。∴X的分布列為X12345P0。20。20.20。20。2由定義知，EX＝0.2×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.DX＝0.2×（4＋1＋0＋1＋4）＝2。例3解若按項目一投資，設(shè)獲利X1萬元，則X1的分布列為X1300－150Peq\f（7，9）eq\f（2，9)∴EX1＝300×eq\f（7，9)＋(－150）×eq\f(2,9）＝200（萬元)．DX1＝（300－200）2×eq\f(7,9）＋（－150－200）2×eq\f（2，9)＝35000，若按項目二投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為X2500－3000Peq\f（3,5）eq\f(1，3）eq\f（1,15)∴EX2＝500×eq\f(3，5）＋(－300）×eq\f（1,3)＋0×eq\f（1,15）＝200（萬元)．DX2＝(500－200）2×eq\f(3,5)＋（－300－200）2×eq\f（1,3)＋(0－200）2×eq\f(1，15）＝140000，∴EX1＝EX2,DX1＜DX2，這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥．綜上所述,建議該投資公司選擇項目一投資．跟蹤訓(xùn)練3解（1）由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，可知a＋0.1＋0。6＝1,所以a＝0。3.同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.(2）Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2。3，Eη＝1×0。3＋2×0。4＋3×0.3＝2。Dξ＝（1－2.3)2×0.3＋(2－2.3）2×0。1＋（3－2.3）2×0。6＝0。81，Dη＝（1－2）2×0。3＋(2－2）2×0.4＋（3－2）2×0。3＝0.6。由于Eξ>Eη，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，說明在平均得分相差不大的情況下,甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人射擊技術(shù)水平都不夠優(yōu)秀，各有優(yōu)勢與劣勢．當(dāng)堂訓(xùn)練1．C2。A3。eq\f（5,12)eq\f（1,4）4。乙5．解ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學(xué)全坐錯了，有2種情況,即編號為1,2，3的座位上分別坐了編號為2,3，1或3,1，2的學(xué)生，則P（ξ＝0)＝eq\f(2，A\o\al（3,3))＝eq\f（1，3）；ξ＝1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了，則P（ξ＝1）＝eq\f(C\o\al(1，3），A\o\al(3,3））＝eq\f(1,2);ξ＝3表示三位學(xué)生全坐對了,即對號入座，則P（ξ＝