數(shù)值分析方法

2.2迭代法2.2.1迭代原理2.2.2迭代的收斂性2.2.3迭代的收斂速度2.2.4迭代的加速預(yù)備定理2.2.1迭代原理計(jì)算結(jié)果見下表

方程f(x)=0化為等價形式的方程x=φ(x)，構(gòu)造迭代公式xk+1=φ(xk

),k=0,1,2,……取初始近似根x0

,進(jìn)行迭代計(jì)算x1=φ(x0),x2=φ(x1),……..則有x1,

x2,,…….,xk

,

…….,得到迭代序列{xk

}.如果這個序列有極限，則迭代公式是收斂的。這時

則，x*

為不動點(diǎn)，等價地有f(x*)=0,x*

即為方程的根。連續(xù)函數(shù)φ(x)稱為迭代函數(shù)。實(shí)際計(jì)算到|xk–xk-1|<ε（ε是預(yù)定的精度），取x*≈xk

。

迭代公式收斂指迭代序列{xk

}收斂，迭代公式發(fā)散指迭代序列{xk

}不收斂，即發(fā)散。迭代公式不一定總是收斂。例如求方程

f(x)=x3-x-1=0的一個根。對應(yīng)的迭代公式為取初值迭代序列{xk

}發(fā)散.x1=φ(x0)x2=φ(x1)迭代法收斂與發(fā)散的圖示迭代法的收斂與發(fā)散收斂的情形發(fā)散的情形2.2.2迭代的收斂性迭代法的收斂條件及誤差估計(jì)式定理（充分性條件）

設(shè)函數(shù)

φ(x)

在[a,b]上連續(xù)，且(1)對x∈[a,b],有φ

(x)∈[a,b](2)存在0<L<1，使對任意x∈[a,b]有

|φ

′(x)|≤L<1則方程x=φ(x)在[a,b]上的根x*存在且唯一；對初值

x0∈[a,b]

,迭代過程xk+1=

φ

(xk)均收斂于方程的根x*。定理中的(1)對x∈[a,b],有φ(x)∈[a,b]，稱為適定性（映內(nèi)性）。證明先證根的存在性。作連續(xù)函數(shù)ψ(x)=x-φ(x),由條件（1）x∈[a,b],φ

(x)∈[a,b]，即a≤φ(x)、x≤b,于是

ψ(a)=a-φ

(a)≤0

ψ(b)=b-φ(b)≥0

由于ψ(x)是連續(xù)函數(shù)，故必存在

x*∈[a,b]

使ψ(x*)=0.即ψ(x*)=x*-φ(x*)=0.于是

x*=φ

(x*)即x*為方程

x=φ

(x)的根。其次，證根的唯一性。

設(shè)y*也是方程的根，則x*=φ(x*),y*=φ(y*),x*-y*=φ(x*)–φ(y*)=φ′(ξ)(x*-y*)x*-y*–φ′(ξ)(x*-y*)=0，（x*-y*）[1-

φ′(ξ)]=0由條件（2）|φ′(x)|≤L<1，故有x*-y*=0，即x*=y*所以方程在[a,b]的根唯一。

再證迭代的收斂性。由xk=φ(xk-1),x*=φ(x*),有|xk-x*|=|φ′(ξ)(xk-1-x*)|≤L|xk-1-x*|≤L2|xk-2-x*|≤L3|xk-3-x*|≤……≤Lk|x0-x*|→0（k→∞）

所以，對[a,b]上任取的x0,迭代公式xk+1=φ(xk

)都收斂于x*。L越小收斂得越快。定理是充分性條件xk-x*=φ(xk-1)–φ(x*)=φ′(ξ)(xk-1-x*)推論：在定理的條件下，有誤差估計(jì)式驗(yàn)后誤差估計(jì)式驗(yàn)前誤差估計(jì)式證明：|xk-x*|≤L|xk-1-x*|=L|xk-1-xk+xk-x*|≤L（|xk-x*|+|xk-1-xk|）（1-L)|xk-x*|≤L|xk-1-xk|迭代法的終點(diǎn)判斷：只要相鄰兩次迭代值的偏差充分小，就能保證迭代值足夠準(zhǔn)確，因而用|xk-xk-1|控制迭代過程的結(jié)束。定理設(shè)在區(qū)間[a,b]上方程x=φ(x)有根x*,且對一切x∈[a,b]都有|

φ′(x)|≥1，則對于該區(qū)間上任意x0(≠x*),迭代公式xk+1=φ(xk

)一定發(fā)散。證明不可能收斂于0。計(jì)算結(jié)果見下表取方程的根2.0946。由于，故取

迭代法的局部收斂性由于在實(shí)際應(yīng)用中根

x*

事先不知道，故條件|φ′(x*)|<1無法驗(yàn)證。但已知根的初值x0在根

x*鄰域，又根據(jù)φ′(x)的連續(xù)性，則可采用

|φ′(x0)|<1來代替|φ′(x*)|<1，判斷迭代的收斂性。

例求方程

x=e

–x在x=0.5附近的一個根，按5位小數(shù)計(jì)算，結(jié)果的精度要求為ε=10–3.解迭代公式xk+1=e

–xk，取φ

(x)=e–x,迭代公式xk+1=e

–xk收斂。迭代結(jié)果:

0123450.50.606530.545240.579700.560070.57117

0.10653－0.061290.03446－0.019630.011106789100.564860.568440.566410.567560.56691－0.006310.00358－0.002030.00115－0.00065kxkxk–xk-1xk–xk-1k

xk|x10-x9|=0.00065<ε，故x*≈x10≈0.567x0=