第5章 機械振動

第2篇機械振動機械波機械振動機械波2/5/2023第5章機械振動5.1簡諧運動5.2簡諧運動的旋轉矢量表示法5.3單擺和復擺5.4振動的能量5.5簡諧運動的合成5.6阻尼振動受迫振動共振內容提要2/5/2023振動:任何一個物理量(物體的位置、電流強度、電場強度、磁場強度等)在某一定值附近的反復變化.機械振動:

物體在一定位置(中心)附近作的周期性往復運動.簡諧運動:是最基本、最簡單的振動.

振動的分類:受迫振動自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動(簡諧運動)無阻尼自由諧振動2/5/2023

5.1簡諧運動5.1.1簡諧運動的特征及其運動方程彈簧振子——理想模型令:2.簡諧運動的動力學特征:1.簡諧運動的基本依據(jù):由牛頓第二定律:2/5/20233.簡諧運動的動力學微分方程微分方程的解：——振動表達式(簡諧運動位移)

任何一個物理量，如果它隨時間的變化規(guī)律滿足簡諧運動的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說，這一物理量在作簡諧運動.4.簡諧運動的運動學方程2/5/20235.簡諧運動的速度與加速度2/5/20235.1.2簡諧運動方程中的三個基本物理量1.角頻率

:

2秒內往復振動的次數(shù).

單位：弧度/秒(rad·s-1)完成一次完整的振動所需要的時間.周期T:單位時間內所完成的振動次數(shù).頻率ν：單位：赫茲(Hz)(s-1)2/5/20232.振幅A:

描述物體振動強弱的物理量(離開平衡位置的最大位移，取絕對值).單位：m、cm、mm、nmt=0時的相位，與初始條件有關；3.初相位、相位和相位差初相

：描述質點在t時刻振動狀態(tài)的物理量.相位ωt+

：相位差

Δ

：則相位差:設有同頻率兩振子的振動方程分別為:單位：弧度（rad）2/5/2023同相和反相當=2k,(k=0,1,2,…),兩振動步調相同,稱同相.當=(2k+1),(k=0,1,2,…),兩振動步調相反,稱反相.x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相超前和落后若=2-1>0,則稱x2比x1超前(或x1比x2落后).超前、落后以-

<

<

的相位角來判斷.2/5/2023振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法設t=0時:說明(2)振幅和初相位由初始條件決定.(1)不是唯一的,與坐標正向有關,需要具體分析.2/5/2023例:一輕彈簧,一端固定,另一端連接一定質量的物體.整個系統(tǒng)位于水平面內,系統(tǒng)的角頻率為6.0s-1.今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放.(1)簡諧運動表達式；(2)物體從初位置運動到第一次經過A/2處時的速度.求：解：(1)(為什么不取π)初相位：2/5/2023(2)由(1)中結果依題意，v＜0則2/5/2023

5.2簡諧運動的旋轉矢量表示法5.2.1旋轉矢量表示法PMOx投影點P的坐標為：結論：投影點的運動為簡諧運動.模為簡諧運動的振幅.旋轉矢量角速度

為簡諧運動的角頻率.與x軸的夾角(t+)為簡諧運動的相位.t=0時，與x軸的夾角

為初相位.旋轉矢量

旋轉一周，P點完成一次全振動.周期：2/5/20235.2.2旋轉矢量圖的應用1.求初相位t=0時刻，質點位于x=A/2處，且向x軸正向運動.xAOt=0時刻，質點位于x=-A/2處，且向x軸負向運動.OxA2/5/20232.用旋轉矢量圖畫簡諧運動的

圖2/5/2023例:一質點沿x軸作簡諧運動,振幅為12cm,周期為2s.當t=0時,

位移為6cm,且向x軸正方向運動.求:

(1)振動表達式；(2)t=0.5s時,質點的位置、速度和加速度；(3)若某時刻質點位于x=-6cm,且向x軸負方向運動,求從該位置回到平衡位置所需的最短時間.解：A=12cm,T=2s,x0=6cm.且v0＞0(1)xt=0時，x0=0.06m,6cmv0>02/5/2023x(2)(3)2/5/2023

5.3單擺和復擺5.3.1單擺Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉動定律:化簡得:θ為振動角位移振幅為θ0單擺的振動是簡諧運動.結論：2/5/20235.3.1復擺hOCmgJ剛體受力矩：根據(jù)轉動定律:化簡得:復擺的振動是簡諧運動.結論：θ為振動角位移振幅為θ02/5/2023

5.4簡諧運動的能量振子勢能：振子動能：系統(tǒng)的總能量：取振子在平衡位置時的勢能為零,則：2/5/2023討論：(1)振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變.(2)位移最大,勢能最大,但動能最小,在振動曲線的峰值;位移為0,勢能為0,但動能最大,在振動曲線的平衡位置.2/5/2023

5.5簡諧運動的合成5.5.1同方向、同頻率的兩個簡諧運動的合成1.分振動:

2.合振動:2/5/2023討論:

(1)若兩分振動同相,即21=2k(k=0,1,2,…)(2)若兩分振動反相,即21=(2k+1)(k=0,1,2,…)當A1=A2時,A=0.則

A=A1+A2

,兩分振動相互加強;則A=|A1-A2|,兩分振動相互減弱;當A1=A2時,A=2A1.結論：合振動x

仍是簡諧運動.合振動振幅不僅與兩分振動的振幅有關,與相位差也有關.2/5/2023旋轉矢量法處理簡諧運動的合成2/5/2023兩個同方向同頻率簡諧運動的合成演示2/5/20235.5.2同方向、不同頻率兩個簡諧運動的合成拍1.分振動:

2.合振動:當時,當時，A有最大值A有最小值結論：合振動x

不再是簡諧運動.2/5/2023當21時,2-12+1,令其中隨

t緩變隨t快變振幅相同、同方向不同頻率的簡諧運動的合成

2.合振動:1.分振動:合振動x

可看作是振幅緩變的簡諧運動.結論：2/5/2023xx2x1ttt3.拍的現(xiàn)象

OOO:振動出現(xiàn)時強時弱的現(xiàn)象.2/5/2023由于振幅總是正值，余弦函數(shù)的絕對值以π為周期即合振動振幅變化的周期：拍頻:單位時間內合振動振幅強弱變化的次數(shù)，即2/5/20232/5/2023*5.5.3相互垂直的簡諧運動的合成1.相互垂直的同頻率簡諧運動的合成1)分振動:2)合運動:討論當=2-1=k(k為整數(shù))時:當=(2k+1)/2(k為整數(shù))時：

2/5/2023

=0(第一象限)

=/2

=

=3/2(第二象限)(第三象限)（第四象限）2/5/2023兩個相互垂直的同頻率簡諧運動的合成演示2/5/20232.相互垂直的不同頻率簡諧運動的合成兩個互相垂直、不同頻率的簡諧運動的合成時，如果它們的頻率之比為整數(shù)時，會產生的穩(wěn)定的封閉曲線，其形狀與頻率比和相位差有關，這種圖形叫做李薩如圖.兩個相互垂直的不同頻率簡諧運動的合成演示2/5/2023

5.6阻尼振動受迫振動共振5.6.1阻尼振動Oxx為阻尼系數(shù)由牛頓第二定律:

稱為阻尼因子動力學方程：微分方程的特征方程為：2/5/20231.小阻尼情況:阻力很小方程解：周期:(2)阻尼越大，減幅越迅速;(1)阻尼較小時，振動為減幅振動，振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少;結論：(3)振動周期大于自由振動周期.2/5/20232.過阻尼情況：阻力很大阻尼較大時，振動從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復運動.結論：2/5/2023此時為“臨界阻尼”的情況，是質點不作往復運動的一個極限.3.臨界阻尼情況:結論：2/5/20235.6.2受迫振動共振1.受迫振動系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動.(1)策動力:周期性的外力.(2)振動規(guī)律:物體受力：恢復力+阻力+策動力Oxx由牛頓第二定律：令：2/5/2023在阻尼較小時，其通解為對應齊次方程的通解加上一個特解，為:其中:第一項為暫態(tài)項，經過一段時間以后趨向于零，

為積分常數(shù)，由初始條件確定；第二項為穩(wěn)定項，即:代入原方程求得:2/5/2023(1)受迫振動是阻尼振動和余弦振動的合成;(2)經一段相當?shù)臅r間后，阻尼振動為零;(3)其周期為策動力的周期，振幅、初相位不僅與初條件有關，而且與策動力的頻率和力幅有關.結論：2/5/20232.共振：當策動力的頻率接近于固有頻率時，受迫振動的振幅達到最大值的現(xiàn)象.共振頻率：共振振幅：共振頻率大阻尼小阻尼阻尼阻尼系數(shù)越小，共振角頻率越接近于系統(tǒng)的固有頻率，同時共振振幅也越大.結論：2/5/20232/5/2023情景再現(xiàn)1940年7月1日，橋齡僅4個月的美國Tocama大橋在一場不算太強的大風中坍塌。風產生的周期性效果導致大橋共振，大橋在風中堅強的搖曳了近一天，最終轟然墜下……

2/5/2023

第五章機械振動小結5.1簡諧運動5.2簡諧運動的旋轉矢量表示法

5.3單擺和復擺5.4振動的能量5.5簡諧運動的合成5.6阻尼振動受迫振動共振內容提要2/5/20231.振動表達式

2.簡諧運動的速度與加速度3.簡諧運動方程中的三個基本物理量振幅：初相位：4.振幅和初相位的求法2/5/20235.旋轉矢量表示法模為簡諧運動的振幅.旋轉矢量角速度

為簡諧運動的角頻率.與x軸的夾角(t+)為簡諧運動的相位.t=0時，與x軸的夾角

為初相位