第19課 概率的應(yīng)用

第19課概率的應(yīng)用基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一計算等可能事件的概率助學(xué)微博基礎(chǔ)自測題型二應(yīng)用統(tǒng)計頻率的方法估計概率題型三概率與統(tǒng)計綜合題題型四概率與方程、函數(shù)綜合題易錯警示12.不能準(zhǔn)確用列表法或樹狀圖法求等

可能事件的概率要點梳理

1．概率表示事件發(fā)生的可能性的大小，不能說明某種肯定的結(jié)果．

2．概率這一概念就是建立在頻率這一統(tǒng)計量穩(wěn)定性的基礎(chǔ)之上的，在大量重復(fù)進行同一試驗時，可以用某一事件發(fā)生的頻率近似地作為該事件發(fā)生的概率．

3．模擬試驗：由于有時手邊恰好沒有相關(guān)的實物或者用實物進行試驗的難度很大，這時可用替代物進行模擬試驗，但必須保證試驗在相同的條件下進行，否則會影響其結(jié)果．首頁助學(xué)微博頻率與概率概率被我們用來表示一個事件發(fā)生的可能性的大?。绻粋€事件是必然事件，它發(fā)生的概率就是1；如果一個事件是不可能事件，它發(fā)生的概率就是0；隨機事件發(fā)生的概率通常大于0且小于1.

對事件可能性大小的感覺通常來自觀察這個事件發(fā)生的頻率，即該事件實際發(fā)生的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值，由于觀察的時間有長短，隨機事件的發(fā)生與否也有隨機性，所以在不同的試驗中，同一個隨機事件發(fā)生的頻率可以彼此不相等．首頁助學(xué)微博比如拋擲一枚普通硬幣，硬幣落地后“正面朝上”的概率是.當(dāng)試驗次數(shù)少的時候，“正面朝上”的頻率有可能是0，有可能是1或者是其他數(shù)，但是，經(jīng)過大量的重復(fù)試驗，“正面朝上”的頻率會穩(wěn)定在處．首頁助學(xué)微博用頻率估計概率誰也無法預(yù)測隨機事件在每次試驗中是否會發(fā)生，但是，在相同條件下，進行大量的試驗后，事件出現(xiàn)的頻率會逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計值．反之，如果知道一個事件發(fā)生的概率，就可以由此推斷：大量試驗后該事件發(fā)生的頻率接近其概率．需要注意的是：用試驗的方法得出的頻率只是概率估計值，要想得到近似程度比較高的概率估計值，通常需要大量的重復(fù)試驗．首頁助學(xué)微博概率的預(yù)測求一個事件的概率途徑一般有三種：

(1)是主觀經(jīng)驗估計(又稱主觀概率)；

(2)是實驗估計(又稱實驗概率)；

(3)是根據(jù)樹狀圖或列表法分析預(yù)測概率(又稱理論概率)．首頁基礎(chǔ)自測1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整個常規(guī)賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是(

)A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

解析概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生．根據(jù)概率的意義對各選項分析判斷后利用排除法求解．

A．科比罰球投籃2次，一定全部命中，錯誤，故本選項正確；首頁基礎(chǔ)自測1．(2013·宜昌)2012～2013NBA整個常規(guī)賽季中，科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，下列說法錯誤的是(

)A．科比罰球投籃2次，一定全部命中

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中

C．科比罰球投籃1次，命中的可能性較大

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小

B．科比罰球投籃2次，不一定全部命中，正確，故本選項錯誤；

C．∵科比罰球投籃的命中率大約是83.3%，∴科比罰球投籃1次，命中的可能性較大，正確，故本選項錯誤；

D．科比罰球投籃1次，不命中的可能性較小，正確，故本選項錯誤．故選A.A首頁基礎(chǔ)自測2．(2013·福州)袋中有紅球4個，白球若干個，它們只有顏色上的區(qū)別．從袋中隨機地取出一個球，如果取到白球的可能性較大，那么袋中白球的個數(shù)可能是(

)A．3個B．不足3個

C．4個D．5個或5個以上解析本題考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當(dāng)，那么它們的可能性就相等．∵袋中有紅球4個，取到白球的可能性較大，∴袋中的白球數(shù)量大于紅球數(shù)量，即袋中白球的個數(shù)可能是5個或5個以上．故選D.D首頁基礎(chǔ)自測3．(2013·濱州)若從長度分別為3、5、6、9的四條線段中任取三條，則能組成三角形的概率為(

)解析∵從長度分別為3、5、6、9的四條線段中任取三條的可能結(jié)果有：3、5、6，3、5、9，3、6、9，5、6、9，能組成三角形的有：3、5、6，5、6、9，A首頁基礎(chǔ)自測4．(2013·資陽)在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球(

)A．12個B．16個C．20個D．30個

解析根據(jù)共摸球40次，其中10次摸到黑球，則摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1∶3，由此可估計口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1∶3，即可計算出白球數(shù)．首頁基礎(chǔ)自測4．(2013·資陽)在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球(

)A．12個B．16個C．20個D．30個

∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有30次摸到白球，∴摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1∶3，A故選A.首頁基礎(chǔ)自測5．(2013·咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)解析求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率．設(shè)正方形ABCD的邊長為a，首頁基礎(chǔ)自測5．(2013·咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)C首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)解析首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)畫樹狀圖如下：首頁題型分類

題型一計算等可能事件的概率【例1】

(2013·安徽)如圖，隨機閉合開關(guān)K1、K2、K3中的兩個，則能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為(

)∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的是閉合開關(guān)K1、K3與K3、K1，∴能讓兩盞燈泡同時發(fā)光的概率為：故選B.

B首頁探究提高本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．首頁知能遷移1

(2013·河北)如圖，A是正方體小木塊(質(zhì)地均勻)的一頂點，將木塊隨機投擲在水平桌面上，則A與桌面接觸的概率是________．解析正方體小木塊隨機投擲在水平桌面上，六個面與桌面接觸的可能性相同，頂點A在三個面上，故A與桌面接觸的概率是題型分類

題型一計算等可能事件的概率首頁題型分類

題型二用統(tǒng)計頻率的方法估計概率【例2】

(2013·連云港)在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…如此大量摸球?qū)嶒灪螅⌒掳l(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對此實驗，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進行大量摸球?qū)嶒?，摸出白球的頻率穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球．其中說法正確的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③首頁解析根據(jù)大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，分別分析得出即可．∵在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，∴①若進行大量摸球?qū)嶒?，摸出白球的頻率穩(wěn)定于：

1－20%－50%＝30%，故此選項正確；∵摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，大于其它頻率，∴②從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大，故此選項正確；③若再摸球100次，不一定有20次摸出的是紅球，故此選項錯誤．故正確的有①②.故選B.首頁題型分類

題型二用統(tǒng)計頻率的方法估計概率【例2】

(2013·連云港)在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，小新從布袋中隨機摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色，…如此大量摸球?qū)嶒灪?，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%，對此實驗，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進行大量摸球?qū)嶒灒霭浊虻念l率穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是紅球．其中說法正確的是

(

)A．①②③B．①②C．①③D．②③B首頁探究提高此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系得出結(jié)果是解題關(guān)鍵．首頁移植總數(shù)(n)400750150035007000900014000成活數(shù)(m)369662133532036335807312628成活的頻率0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902知能遷移2

(2013·大連)某林業(yè)部門統(tǒng)計某種幼樹在一定條件下的移植成活率，結(jié)果如下表所示：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這種幼樹移植成活率的概率為________(精確到0.1)．

解析

x＝(0.923＋0.883＋0.890＋0.915＋0.905＋0.897＋

0.902)÷7≈0.9，∴這種幼樹移植成活率的概率約為0.9.0.9首頁題型分類

題型三概率與統(tǒng)計綜合題【例3】

(2013·廣州)在某項針對18～35歲的青年人每天發(fā)微博數(shù)量的調(diào)查中，設(shè)一個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”為

m，規(guī)定：當(dāng)m≥10時為A級，當(dāng)5≤m＜10時為B級，當(dāng)0≤m

＜5時為C級．現(xiàn)隨機抽取30個符合年齡條件的青年人開展每人“日均發(fā)微博條數(shù)”的調(diào)查，所抽青年人的“日均發(fā)微博條數(shù)”的數(shù)據(jù)如下：

11

10

6

15

9

16

13

12

0

82

8

10176137

5

7

3121071136

8

141512首頁(1)求樣本數(shù)據(jù)中為A級的頻率；(2)試估計1000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)；(3)從樣本數(shù)據(jù)為C級的人中隨機抽取2人，用列舉法求抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率．解

(1)∵抽取30個符合年齡條件的青年人中A級的有15人，(2)1000個18～35歲的青年人中“日均發(fā)微博條數(shù)”為A級的人數(shù)為：首頁(3)C級的有：0，2，3，3四人，畫樹狀圖如下：∵共有12種等可能的結(jié)果，抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的有2種情況，∴抽得2個人的“日均發(fā)微博條數(shù)”都是3的概率為：首頁城市項目北京太原杭州沈陽廣州深圳上海桂林上班花費時間(分鐘)5233343448464723上班堵車時間(分鐘)141212121211117城市項目南能?？谀暇刂萃Ｌm州中山上班花費時間(分鐘)24243725242518上班堵車時間(分鐘)7665550知能遷移3

(2013·濰坊)隨著我國汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，城市道路擁堵問題日益嚴峻．某部門對15個城市的交通狀況進行了調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：首頁(1)根據(jù)上班花費時間，將下面的頻數(shù)分布直方圖補充完整；(2)求15個城市的平均上班堵車時間(計算結(jié)果保留一位小數(shù))；某人欲從北京、沈陽、上海、溫州四個城市中任意選取兩個作為出發(fā)目的地，求選取的兩個城市的堵車率都超過30%的概率．首頁解

(1)補全的統(tǒng)計圖如圖所示：(2)平均上班堵車時間＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分鐘)．首頁則堵車率超過30%的城市有北京、沈陽和上海．從四個城市中選兩個的方法共有6種(北京，沈陽)，(北京，上海)，(北京，溫州)，(沈陽，上海)，(沈陽，溫州)，(上海，溫州).∵兩個城市堵車率均超過30%的情況有3種：(北京，沈陽)，(北京，上海)，(沈陽，上海)，∴選取的兩個城市堵車率都超過30%的概率為：首頁題型分類

題型四概率與方程、函數(shù)綜合題【例4】

(2013·恩施)一個不透明的袋子里裝有編號分別為1、2、3的球(除編號以為，其余都相同)，其中1號球1

個，3號球3個，從中隨機摸出一個球是2號球的概率為.(1)求袋子里2號球的個數(shù)；

(2)甲、乙兩人分別從袋中摸出一個球(不放回)，甲摸出球的編號記為x，乙摸出球的編號記為y，用列表法求點A(x，y)在直線y＝x下方的概率．首頁解

(1)設(shè)袋子里2號球的個數(shù)為x個．經(jīng)檢驗：x＝2是原分式方程的解，∴袋子里2號球的個數(shù)為2個．首頁1223333(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)(3，3)－3(1，3)(2，3)(2，3)(3，3)－(3，3)3(1，3)(2，3)(2，3)－(3，3)(3，3)2(1，2)(2，2)－(3，2)(3，2)(3，2)2(1，2)－(2，2)(3，2)(3，2)(3，2)1－(2，1)(2，1)(3，1)(3，1)(3，1)(2)列表得：∵共有30種等可能的結(jié)果，點A(x，y)在直線y＝x下方的有11個，首頁探究提高本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．首頁題型分類

題型四概率與方程、函數(shù)綜合題知能遷移4

(1)(