現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-2013

《現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法》Ⅱ課程內(nèi)容

第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介

第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)概論

第三章典型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四章有限元法概述第五章平面問(wèn)題有限元法基礎(chǔ)理論第六章Matlab

優(yōu)化工具箱和ANSYS軟件第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法:隨著當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛

應(yīng)用而在涉及領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興的多元交叉

學(xué)科。它是以設(shè)計(jì)產(chǎn)品為目標(biāo)的一個(gè)總的知識(shí)群體

的總稱(chēng)。第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介優(yōu)化設(shè)計(jì)可靠性設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)虛擬設(shè)計(jì)疲勞設(shè)計(jì)相似性設(shè)計(jì)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法內(nèi)容主要包括：模塊化設(shè)計(jì)反求工程設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)有限元法并行設(shè)計(jì)工業(yè)藝術(shù)造型設(shè)計(jì)第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)概論

第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述人工試湊和定性分析的比較過(guò)程，被動(dòng)的重復(fù)分析產(chǎn)品的性能——經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似計(jì)算、一般的安全壽命可行設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法:

基于手工勞動(dòng)或簡(jiǎn)易計(jì)算工

具。方法低效，一般只能獲

得一個(gè)可行的設(shè)計(jì)方案。傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法包

括疲勞壽命理論、強(qiáng)度理論、動(dòng)力學(xué)理論

常憑經(jīng)驗(yàn)、試算、校核等方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的比較利用計(jì)算機(jī)程序主動(dòng)設(shè)計(jì)產(chǎn)品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案——理論設(shè)計(jì)、精確計(jì)算、優(yōu)化設(shè)計(jì)第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述現(xiàn)代優(yōu)化方法：

基于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，設(shè)計(jì)過(guò)程包括：①?gòu)膶?shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型；②選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。

特點(diǎn)：以人機(jī)配合或自動(dòng)搜索方式進(jìn)

行，能從“所有的”的可行方案中找

出“最優(yōu)的”的設(shè)計(jì)方案。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的

過(guò)程。優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小

值的過(guò)程。例如,在右圖中，求得一維函數(shù)f(x)最小值的條件為：若ｘ取x0，則f(x)取得最小值f(x0)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概念第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)：是使某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì)在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下，優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)，使某項(xiàng)或幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得最優(yōu)值。最優(yōu)化理論最優(yōu)化是從所有可能的方案中選擇最合理的一種方案,以達(dá)到最佳目標(biāo)的科學(xué).達(dá)到最佳目標(biāo)的方案是最優(yōu)方案,尋找最優(yōu)方案的方法----最優(yōu)化方法(算法)

。把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)：最優(yōu)化原理與方法，在科學(xué)、工程和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，即為優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)可以使一項(xiàng)設(shè)計(jì)在一定的技術(shù)和物質(zhì)條件下，尋求一個(gè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)最佳的設(shè)計(jì)方案。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的歷史及發(fā)展1、古典優(yōu)化思想:17世紀(jì)，利用微分學(xué)和變分學(xué)的解析解法。——

僅能解決簡(jiǎn)單的極值問(wèn)題3、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)：

20世紀(jì)80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群優(yōu)化算法等。

從狹義優(yōu)化設(shè)計(jì)（零部件參數(shù)）轉(zhuǎn)向廣義優(yōu)化設(shè)計(jì)（面向產(chǎn)品的全系統(tǒng)、設(shè)計(jì)全過(guò)程、全壽命周期）。例如,針對(duì)涉及多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設(shè)計(jì)從無(wú)約束→有約束優(yōu)化問(wèn)題；連續(xù)變量→離散變量；確定型→隨機(jī)型模型；單目標(biāo)優(yōu)化→多目標(biāo)優(yōu)化。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述2、經(jīng)典優(yōu)化方法：20世紀(jì)40年代，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法

——可求解包

含等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。最優(yōu)化方法用于機(jī)械設(shè)計(jì)是從二十世紀(jì)六十年代開(kāi)始的,第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述早的成果主要反映在機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面,現(xiàn)已廣泛用于機(jī)械，零部件設(shè)計(jì)和機(jī)械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì).機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展較早的領(lǐng)域，連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要研究了慣性力最優(yōu)平衡，主動(dòng)件力矩最小波動(dòng)等的問(wèn)題。機(jī)械零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)主要研究了各種減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、液壓軸承和滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及軸、彈簧、制動(dòng)器等的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化從層次上可分為：拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，它們分別對(duì)應(yīng)著產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程中的概念設(shè)計(jì)、基本設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)階段。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述尺寸優(yōu)化形狀優(yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用案例美國(guó)BELL飛機(jī)公司利用優(yōu)化方法解決450個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。一個(gè)機(jī)翼質(zhì)量減輕35%。利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對(duì)一化工廠進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)給定數(shù)據(jù)，在16小時(shí)內(nèi)，進(jìn)行16000個(gè)可行性設(shè)計(jì)的選擇，從中選擇一成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)：一組工程師，一年時(shí)間，僅僅3個(gè)方案，且并非最優(yōu)。波音公司，在747的機(jī)身設(shè)計(jì)中收到了減輕質(zhì)量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。武漢鋼鐵公司從德國(guó)引進(jìn)的1700薄板軋機(jī)，經(jīng)該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬(wàn)馬克。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述1。把實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,建立一組數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱(chēng)數(shù)學(xué)模型2。尋找一種數(shù)值計(jì)算方法和相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序3。求解工程最優(yōu)化問(wèn)題的求解的三個(gè)步驟：

現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長(zhǎng)度不小于5m的無(wú)上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、寬、高尺寸。

分析：（1）目標(biāo)：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長(zhǎng)

x1

、寬

x2、高

x3；（3）設(shè)計(jì)約束條件：

（a）體積要求

（b）長(zhǎng)度要求貨箱的優(yōu)化設(shè)計(jì)2.1

引例第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型已知：傳動(dòng)比

i，轉(zhuǎn)速

n，傳動(dòng)功率

P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。（1）目標(biāo)：圓柱齒輪的體積V或重量w最??；（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1（3）設(shè)計(jì)約束條件：

（a）大、小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；

（b）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；

（c）齒寬系數(shù)要求；

（d）最小齒數(shù)要求分析：齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：齒寬系數(shù)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三大要素：

設(shè)計(jì)變量

約束條件

目標(biāo)函數(shù)2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分組成，其一般形式如下：數(shù)學(xué)模型的一般形式求設(shè)計(jì)變量：x1,x2,…xn其中：

稱(chēng)不等式約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)不等式約束；使目標(biāo)函數(shù)極小化:滿足約束條件:稱(chēng)等式約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)等式約束。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型可寫(xiě)為向量形式：s.t.表示滿足于用表示設(shè)計(jì)變量min表示極小化引例1的一般形式為：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型齒寬系數(shù)引例2的一般形式為：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的步驟：根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，

對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析；對(duì)結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)

常數(shù)和設(shè)計(jì)變量；根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件；對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化處理。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型1.設(shè)計(jì)變量

在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱(chēng)作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中設(shè)計(jì)變量是不斷修改、調(diào)整，一直處于變化狀態(tài)。2.3

數(shù)學(xué)模型的組成

一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以是：構(gòu)件幾何量（如尺寸、位置等），物理量（如質(zhì)量、頻率等），應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量，非物理量（如壽命、成本等）。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。其中任一個(gè)特定的向量都可以稱(chēng)為一個(gè)“設(shè)計(jì)”。

設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問(wèn)題（b）三維設(shè)計(jì)問(wèn)題第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)連續(xù)時(shí),

為直線;

為平面;

為立體空間;為超越空間.

設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復(fù)雜。由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作設(shè)計(jì)空間。記作目前已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。

小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：2~10個(gè)設(shè)計(jì)變量；

中性設(shè)計(jì)問(wèn)題：10~50個(gè)設(shè)計(jì)變量；

大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。最優(yōu)化問(wèn)題的目的：在設(shè)計(jì)空間中無(wú)窮多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)中，找到一個(gè)既滿足所有約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)取得極小值的點(diǎn)，稱(chēng)最優(yōu)點(diǎn)。它所代表的解稱(chēng)最優(yōu)解。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如何選定設(shè)計(jì)變量？

抓主要，舍次要

對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至不考慮；任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，越可以詳細(xì)地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以選擇設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：根據(jù)要解決的設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)

變量。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型2、約束條件

根據(jù)約束性質(zhì)：約束分類(lèi)：

一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱(chēng)作約束條件，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。

設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱(chēng)為可行設(shè)計(jì)。

性能約束——針對(duì)性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性要求等；側(cè)面約束（邊界約束）——針對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍等。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

顯式約束和隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。

根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式：等式約束：

不等式約束：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍。（對(duì)應(yīng)不可行域）

如右下圖所示滿足兩項(xiàng)約束條件的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D為ABC涵蓋區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。約束條件：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型一般情況下，設(shè)計(jì)可行域可表示為：

不可行域:

可行點(diǎn)和不可行點(diǎn)

D內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行點(diǎn),

否則為不可行點(diǎn)（外點(diǎn)）。

邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)

約束邊界上的可行點(diǎn)為邊界點(diǎn),其余可行點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)。

起作用的約束與不起作用的約束

滿足

的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)。用它可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被稱(chēng)作評(píng)價(jià)函數(shù)。記作：

在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向

f(X)

值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得的

f(X)

最好或最滿意的

X值。通常:3、目標(biāo)函數(shù)在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意:

目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量；

在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤(rùn)等等。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。目前處理多目標(biāo)設(shè)計(jì)問(wèn)題常用的方法是組合成一個(gè)復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即單目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。加權(quán)因子第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）

c

為一系列常數(shù)，代表一族

n

維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，f（x1，x2）=c

代表x1，x2設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。令目標(biāo)函數(shù)f(X)等于任意常數(shù)c由此得到的圖形稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)的等值線或等值面,即具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面。

目標(biāo)函數(shù)是

n

維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在

n+1維空間中描述出來(lái)。為了在

n

維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值線（面）的方法。

最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值，則可以看成是

[

-f(X)]

的最小值，當(dāng)然也可看成是求

1/f(X)

的極小值。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的一般形式：約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的一般形式：4、優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的一般形式優(yōu)化問(wèn)題的本質(zhì)是求極值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從理論上可以有解析法，即應(yīng)用極值理論求解，但由于實(shí)際優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)往往是非線性的，解析法求解非常困難，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。數(shù)值計(jì)算法可以較好地解決這類(lèi)問(wèn)題。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題基本解法解析法

根據(jù)函數(shù)極值的必要條件和充分條件求得其最優(yōu)解析解的求解方法，適用于目標(biāo)函數(shù)比較簡(jiǎn)單的情況。圖解法對(duì)簡(jiǎn)單的低維問(wèn)題，可以用作圖法，得到近似最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值法最優(yōu)化問(wèn)題基本解法又稱(chēng)為數(shù)值迭代方法。數(shù)值計(jì)算的迭代方法是從目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造一種使目標(biāo)函數(shù)值逐次

下降的數(shù)值計(jì)算方法；利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算，一步步搜索、調(diào)優(yōu)逐步逼近函數(shù)極值

點(diǎn)或最優(yōu)點(diǎn)，所得到的解即一定精度下的近似解。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型解析法圖解法數(shù)值法原理用數(shù)學(xué)方法（微分，變分等）直接求求數(shù)學(xué)方程的極值作目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)圖形后找極值點(diǎn)反復(fù)迭代，逐步逼近優(yōu)點(diǎn)精度高簡(jiǎn)單直觀適用于復(fù)雜的和無(wú)法用方程描述的優(yōu)化問(wèn)題缺點(diǎn)計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)手工作圖，精度較低近似計(jì)算，精度受影響適用范圍易于求導(dǎo)的低維數(shù)優(yōu)化問(wèn)題2維以下的優(yōu)化問(wèn)題各種復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型2.4數(shù)值迭代計(jì)算數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

如下圖所示，按照某一迭代算式，從任意一個(gè)初始點(diǎn)

X0

開(kāi)始，按某一遞推的格式產(chǎn)生出如下點(diǎn)列：X0

，X1

，X2，…，Xk，Xk+1

，…若對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有如下的關(guān)系：必有：則構(gòu)成此點(diǎn)列的算式和遞推迭代格式就成為一種下降迭代算法。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的基本格式上述點(diǎn)的產(chǎn)生一般采用如下迭代算式用以求最優(yōu)步長(zhǎng)因子的數(shù)值算法稱(chēng)一維搜索法稱(chēng)最優(yōu)步長(zhǎng)因子其中:稱(chēng)搜索方向第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的基本迭代格式可歸納如下:Step3:確定最優(yōu)步長(zhǎng)因子，計(jì)算得到新的迭代點(diǎn)；Step1:給定初始點(diǎn)和收斂精度，并置計(jì)數(shù)單元；Step2:選取搜索方向；Step4:終止判斷：若點(diǎn)滿足收斂精度，則以它為最優(yōu)點(diǎn)，輸出：并終止迭代；否則，以它作為新的起點(diǎn)，即令轉(zhuǎn)Step2進(jìn)行下一輪迭代。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的計(jì)算框圖如下：不難看出，要構(gòu)成一個(gè)下降迭代算法必須解決以下問(wèn)題：給定適當(dāng)?shù)慕K止

判斷準(zhǔn)則。初始點(diǎn)選擇合適的搜索

方向。確定最優(yōu)步長(zhǎng)

因子。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型終止準(zhǔn)則（1）點(diǎn)距準(zhǔn)則迭代點(diǎn)向極小點(diǎn)的逼近速度是逐漸變慢的，越接近極小點(diǎn)，相鄰迭代點(diǎn)間的距離越近。當(dāng)時(shí)：令，輸出和,終止迭代。一般取收斂精度。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型（2）值差準(zhǔn)則在迭代點(diǎn)向極小點(diǎn)逼近的過(guò)程中，不僅相鄰迭代點(diǎn)間的距離逐漸縮短，它們的函數(shù)值也越來(lái)越接近。因此，也可將相鄰迭代點(diǎn)的函數(shù)值之差作為判斷近似最優(yōu)解的準(zhǔn)則，這就是值差準(zhǔn)則。即如果有:或令，輸出和,終止迭代。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型（3）梯度準(zhǔn)則多元函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度等于零。由此構(gòu)成如下梯度終止準(zhǔn)則。令，輸出和,終止迭代。

上述準(zhǔn)則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點(diǎn)的程度，但都有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時(shí)滿足來(lái)進(jìn)行判定。采用哪種收斂準(zhǔn)則，可視具體問(wèn)題而定。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)值法求解優(yōu)化問(wèn)題具體解法無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：約束優(yōu)化問(wèn)題：隨機(jī)方向搜索法復(fù)合形法可行方向法

懲罰函數(shù)法模擬退火法遺傳算法（GA）模糊優(yōu)化法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：一維搜索法梯度法

共軛梯度法牛頓法變尺度法坐標(biāo)輪換法

單純形法鮑威爾法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法主要目標(biāo)函數(shù)法功效系數(shù)法第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型第三章典型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法導(dǎo)數(shù)法：利用梯度和二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造搜索方向如梯度法、牛頓法、

變尺度法、共軛梯度法等求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題minf（X）的數(shù)值迭代解法，稱(chēng)為無(wú)約束優(yōu)化方法。方法的基本問(wèn)題是：選擇搜索方向不同的搜索方向，構(gòu)成不同的無(wú)約束優(yōu)化算法。方法分：導(dǎo)數(shù)法和模式法兩類(lèi)模式法：利用某些點(diǎn)上的函數(shù)值構(gòu)造搜索方向如坐標(biāo)輪換法、鮑威爾法、單純形法等第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的流程圖開(kāi)始給定x和S的初始值計(jì)算使f（x+S）極小xx+S結(jié)束形成新的S滿足收斂條件？

由于和S的形成和確定方法不同派生出不同的無(wú)約束優(yōu)化方法。

無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的解法是研究有約束優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。有些實(shí)際問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型

本身就是無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，

或者除了在非常接近極小點(diǎn)

的情況下，都可以按無(wú)約束

問(wèn)題來(lái)處理。通過(guò)熟悉無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的

解法，可以為研究約束優(yōu)化

問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。約束優(yōu)化問(wèn)題的求解往往可

以通過(guò)一系列無(wú)約束優(yōu)化方

法來(lái)實(shí)現(xiàn)。第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法YN第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法3.1

一維搜索法在優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代運(yùn)算中，在搜索方向

上尋求最優(yōu)步長(zhǎng)的方法稱(chēng)一維搜索法。一維搜索法是非線性?xún)?yōu)化方法的基本算法，一維搜索法就是一元函數(shù)極小值的數(shù)值迭代算法；

多維目標(biāo)函數(shù)的迭代算法都可以歸結(jié)為在一系列逐步產(chǎn)生的下

降方向上的一維搜索。多維目標(biāo)函數(shù)的極值若出發(fā)點(diǎn)及搜索方向已確定，則從出發(fā)，沿方向搜索新點(diǎn)的迭代格式為為步長(zhǎng)因子選擇一特定步長(zhǎng)，使產(chǎn)生的新點(diǎn)是方向上目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，即:則稱(chēng)為方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)因子。

第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法確定初始區(qū)間

確定單變量函數(shù)極小點(diǎn)所在的初始搜索區(qū)間

，該區(qū)間是單谷區(qū)間。對(duì)于單變量函數(shù)，其單谷區(qū)間用[a,b]表示，其中a<b

。單谷區(qū)間特征：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極小點(diǎn)。在極小點(diǎn)左邊的函數(shù)值應(yīng)是嚴(yán)

格下降，在極小點(diǎn)右邊的函數(shù)

值應(yīng)是嚴(yán)格上升，單谷區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值具有的特

征是：“高—低—高”。第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法進(jìn)退法確定搜索區(qū)間若:，則極小值點(diǎn)在

的右邊，保持搜索方向，稱(chēng)正向搜索外推法；令：比較：，函數(shù)值的大小Step1:確定搜索方向若:，則極小值點(diǎn)在

的左邊，掉轉(zhuǎn)搜索方向，稱(chēng)反向搜索外推法。正向搜索外推法（前進(jìn)運(yùn)算）反向搜索外推法（后退運(yùn)算）Step2:小步試探令：比較：，函數(shù)值的大小若:，則區(qū)間為：注意:對(duì)反向搜索，在小步試探前自變量函數(shù)值沿前進(jìn)方向換名，區(qū)間為：。第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法正向搜索外推法（前進(jìn)運(yùn)算）反向搜索外推法（后退運(yùn)算）Step3:大步長(zhǎng)搜索若:，步長(zhǎng)增加一倍繼續(xù)搜索起始點(diǎn)和中間點(diǎn)向搜索方向移動(dòng)一步后，令：比較：，函數(shù)值的大小若:，則正向搜索區(qū)間為：反向搜索，區(qū)間為：。否則，加倍步長(zhǎng)繼續(xù)搜索，直至函數(shù)值出現(xiàn)“高-低-高”為止。第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法進(jìn)退法確定搜索區(qū)間流程圖在得到初始區(qū)間以后，通過(guò)某種算法，不斷縮小包含極小點(diǎn)的區(qū)間，就可得到一維極小點(diǎn)。

縮小區(qū)間的方法，即一維搜索法。試探法插值法黃金分割法裴法納契法(Fibonacci)二次插值法三次插值法一維搜索法第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法

黃金分割法1.基本思想將區(qū)間按一定的比例縮小，且正常迭代時(shí)每縮短一次區(qū)間只需計(jì)算一次函數(shù)值。適用于單谷函數(shù)求極小值，且函數(shù)可以不連續(xù)的。選點(diǎn)的原則：對(duì)稱(chēng)－對(duì)稱(chēng)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)可由以下公式產(chǎn)生：x1=a+（1－λ）(b－a）x2=a+λ(b－a)其中：λ為比例系數(shù)(0<λ<1)第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法若初始區(qū)間為[a,b]，縮小一次后的新區(qū)間為[a,x2]。區(qū)間收縮率表示每次縮小所得到的新區(qū)間長(zhǎng)度與縮小前舊區(qū)間長(zhǎng)度之比區(qū)間收縮率即為，且每次分割保持不變。若使一次分割時(shí)的X1點(diǎn)與二次分割時(shí)的X2點(diǎn)在同一位置，則：即：解得：黃金分割法第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法黃金分割法以區(qū)間長(zhǎng)度是否充分小作為終止準(zhǔn)則，并以收斂時(shí)區(qū)間的中間點(diǎn)作為一維搜索的極小點(diǎn)，即當(dāng)b-a≤ε時(shí)，取x*=(a+b)/22.區(qū)間取舍通過(guò)比較搜索區(qū)間內(nèi)兩試點(diǎn)的函數(shù)值，逐步縮短搜索區(qū)間，得到一

個(gè)不斷縮小的區(qū)間序列，逐步縮短搜索區(qū)間過(guò)程中保證極小點(diǎn)不會(huì)被舍棄；消去左邊區(qū)間消去右邊區(qū)間3.終止準(zhǔn)則第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法黃金分割法的算法框圖:

第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法二次插值法基本思想：用三點(diǎn)二次插值多項(xiàng)式來(lái)逼近原函數(shù)。取點(diǎn)的方法：二次插值函數(shù)的極小點(diǎn)第一次迭代第二次迭代第一節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法利用區(qū)間消去法原理將初始搜索區(qū)間不斷縮短，從而求得極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

函數(shù)的方向?qū)?shù)

一個(gè)二元函數(shù)，在點(diǎn)

處沿某一方向的方向?qū)?shù)

(即變化率)

可定義如下：

二元函數(shù)，在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)（即沿坐標(biāo)軸方向的變化率，或稱(chēng)坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)）如下：優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系二元函數(shù)三元函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）n元函數(shù)式中，為S方向與坐標(biāo)軸方向xi夾角的余弦。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

函數(shù)的梯度

函數(shù)F(X)在某點(diǎn)

X

的方向?qū)?shù)表明函數(shù)沿某一方向S的變化率。一般說(shuō)來(lái)，函數(shù)在某一確定點(diǎn)沿不同方向的變化率是不同的。函數(shù)F(X)在點(diǎn)X處的梯度▽F(X),可記作gradF(X)方向S的單位向量

為求得函數(shù)在某點(diǎn)X方向?qū)?shù)為最大的方向，引入梯度的概念。

以二元函數(shù)為例:優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）的梯度:n元函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）梯度▽F(X)是一個(gè)向量，梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向（方向?qū)?shù)最大的方向），梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。即：分析:

函數(shù)F(X)沿S方向的方向?qū)?shù)等于向量▽F(X)在

S

方向上的投影。

當(dāng)

，即S與▽F(X)方向相同時(shí)，向量▽F(X)在S方向上的投影最大，其值為:說(shuō)明：

梯度▽F(X)方向是函數(shù)F(X)的最速上升方向；負(fù)梯度-▽F(X)方向是函數(shù)F(X)的最速下降方向。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法3.2

梯度法設(shè)想從某點(diǎn)出發(fā)，其搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近下降最快。這種方法也稱(chēng)為最速下降法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基本原理梯度法的迭代公式為：

X(k+1)=X(k)-(k)g(k)g(k)

函數(shù)F(X)在迭代點(diǎn)X(k)處的梯度F(X(k))

(k)一般采用一維搜索的最優(yōu)步長(zhǎng)即F(X(k+1))=F(X(k)-(k)g(k))=minF(X(k)-(k)g(k))=min()或(g(k+1))Tg(k)=0

’()=-(F(X(k)-(k)g(k)))T

g(k)

=0即（

f(x(k+1)))Tg(k)

=0相鄰的兩個(gè)迭代點(diǎn)的梯度是彼此正交的。根據(jù)極值的必要條件和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有:相鄰的搜索方向相互垂直向極小點(diǎn)的逼近路徑是一條曲折

的鋸齒形路線，而且越接近極小點(diǎn)，前進(jìn)速度越慢。離極小點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，一次迭代得到的函數(shù)下降量較大。許多收斂性較好的算法，第一步迭代都采用梯度法。梯度法特點(diǎn)：迭代終止條件采用梯度準(zhǔn)則：

||g(k)||第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法迭代步驟（1）給定初始點(diǎn)X0

和收斂精度

ε，置k=0；（2）計(jì)算梯度，并構(gòu)造搜索方向(歸一化)（3）一維搜索，求新的迭代點(diǎn)（4）收斂判斷：若滿足則令X*=X(k+1)，F(xiàn)(X*)=F(X(k+1))終止計(jì)算；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)迭代。第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法（2）第一個(gè)迭代點(diǎn)為解（1）求初始點(diǎn)的負(fù)梯度例3.1：已知目標(biāo)函數(shù)：設(shè)初始點(diǎn)為X(0）=(1,1),,用梯度法求極小值。轉(zhuǎn)化為求一維尋優(yōu)的問(wèn)題，求導(dǎo)：新的迭代點(diǎn)：最佳步長(zhǎng)第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法（3）求X(1)的梯度（4）求第二個(gè)迭代點(diǎn)X(2)因，繼續(xù)迭代。第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法以X(2)為起點(diǎn)繼續(xù)求X（3)

，此問(wèn)題的最優(yōu)解為:因，可知也不是極值點(diǎn)，還應(yīng)繼續(xù)迭代。第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法解得：第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法3.3

坐標(biāo)輪換法算法特點(diǎn)：1）編程簡(jiǎn)單，容易掌握；2）收斂速度通常較低，僅適于低維

的情況。搜索過(guò)程基本思想：每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持不變，也可稱(chēng)為變量輪換法。收斂效果與目標(biāo)函數(shù)等值線有關(guān)(1)等值線為橢圓,且長(zhǎng)短軸分別平行于坐標(biāo)軸時(shí)--高效(3)等值線為如圖脊線時(shí)--無(wú)效(2)長(zhǎng)短軸不平等于坐標(biāo)軸--低效第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法

第二輪迭代。。。依次類(lèi)推，不斷迭代，目標(biāo)函數(shù)值不斷下降，最后逼近該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。坐標(biāo)輪換法迭代步驟：沿第一坐標(biāo)軸的方向e1作一維搜索，用一維優(yōu)化方

法確定最優(yōu)步長(zhǎng)11

;計(jì)算第一輪的第一個(gè)迭代點(diǎn)X11=X01+11

e1

；以X11為新起點(diǎn)，沿第二坐標(biāo)軸的方向e2作一維搜索，

確定步長(zhǎng)21

，計(jì)算第一輪的第二個(gè)迭代點(diǎn)X21=X11+21

e2任取一初始點(diǎn)X0作為第一輪的始點(diǎn)X01;第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法終止準(zhǔn)則注意：若采用點(diǎn)距準(zhǔn)則或函數(shù)值準(zhǔn)則，其中采用的點(diǎn)應(yīng)該是一輪迭代的始點(diǎn)和終點(diǎn)，而不是某搜索方向的前后迭代點(diǎn)?？梢圆捎命c(diǎn)距準(zhǔn)則或者其它準(zhǔn)則。第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法坐標(biāo)輪換法的流程圖入口給定：x0，K=1i=1Xik=x0沿ei方向一維搜索求ixik=xi-1k+

ikeix=xkf=f(x)i=n?||xnk-x0k||?x*=xf*=f(x*)出口i=i+1x0=x0kk=k+1NYNY第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法設(shè)：初始點(diǎn)x0=(0,0),精度為，試用坐標(biāo)輪換法求極小值例3.2：目標(biāo)函數(shù)：第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)方法

一般工程實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題絕大多數(shù)屬于約束非線性規(guī)劃問(wèn)題，其一般數(shù)學(xué)模型如下：求解上述問(wèn)題的方法稱(chēng)為約束優(yōu)化方法。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法根據(jù)約束條件處理方法的不同，約束優(yōu)化方法可分為以下類(lèi)型：

直接法直接從可行域中尋找它的約束最優(yōu)解。常用方法:約束坐標(biāo)輪換法,約束隨機(jī)方向法,復(fù)合形法,

可行方向法,線性逼近法等.特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)單、直觀性強(qiáng)、對(duì)函數(shù)無(wú)特殊要求。缺點(diǎn)：計(jì)算量大、收斂慢，因而效率低。適用場(chǎng)合：維數(shù)低、函數(shù)復(fù)雜、精度要求不高的問(wèn)題。

間接法

把約束條件引入目標(biāo)函數(shù)，使約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)

化問(wèn)題求解的算法。如：

常用方法:罰函數(shù)法,拉格朗日乘子法等.第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法4.1隨機(jī)方向搜索法約束隨機(jī)方向搜索法是解決小型約束最優(yōu)化問(wèn)題的一種常用的直接求解方法。搜索方向---采用隨機(jī)產(chǎn)生的方向①若該方向不適用、可行，則試另一方向；②若該方向適用、可行，則以定步長(zhǎng)前進(jìn)；基本思路③若在某處產(chǎn)生的方向足夠多，仍無(wú)一適用、可行，則采用收縮步長(zhǎng)；④若步長(zhǎng)小于預(yù)先給定的誤差限則終止迭代。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

隨機(jī)方向的實(shí)現(xiàn)1、隨機(jī)方向的產(chǎn)生需要在(0,1)和(-1,1)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，其步驟如下：

1)用RND(X)產(chǎn)生n個(gè)隨機(jī)數(shù)3).構(gòu)成隨機(jī)方向2).將(0,1)中的隨機(jī)數(shù)變換到(-1,1)中去;第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法2、初始點(diǎn)的選擇初始點(diǎn)必須位于可行域內(nèi)，即要滿足全部不等式約束，其方法有：1)通過(guò)判別直接給定，但對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題有一定的難度；2)利用隨機(jī)函數(shù)的方法來(lái)選擇。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法隨機(jī)選定初始點(diǎn)，它的各維分量取值范圍式中，和是n維設(shè)計(jì)變量的上限和下限，即初始點(diǎn)各維分量是在區(qū)間(0,1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)列。判斷是否在可行域內(nèi)3、生成可行搜索方向即在隨機(jī)方向中選擇一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降最快的方向，當(dāng)點(diǎn)滿足：則可行搜索方向?yàn)?、搜索步長(zhǎng)采用加速步長(zhǎng)法，即依次迭代的步長(zhǎng)按一定的比例遞增，即第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5、收斂條件若前后函數(shù)值之差與可行點(diǎn)的范數(shù)均小于給定的精度，則收斂適用于求解小型的約束優(yōu)化問(wèn)題。

隨機(jī)搜索的步驟：選擇可行初始點(diǎn)

;

若收斂條件滿足，迭代終止。否則，轉(zhuǎn)步驟②。產(chǎn)生

k個(gè)n維隨機(jī)單位向量；取試驗(yàn)步長(zhǎng)，按計(jì)算k

個(gè)隨

機(jī)點(diǎn)；在k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中，找出滿足條件的隨機(jī)點(diǎn)，產(chǎn)生可行搜索方向

;從初始點(diǎn)出發(fā)，沿可行搜索方向d

以步長(zhǎng)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索一個(gè)滿足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)

x

；第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例4.1:二維約束優(yōu)化問(wèn)題試用兩個(gè)隨機(jī)數(shù)

構(gòu)成第

次搜索的隨機(jī)方向

，由當(dāng)前點(diǎn)

出發(fā)，按照該方向取步長(zhǎng)

計(jì)算迭代點(diǎn)，確定該方向的終點(diǎn)

。解：隨機(jī)方向和新點(diǎn):

第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法適用性檢驗(yàn)：新點(diǎn)函數(shù)值小于舊點(diǎn)函數(shù)值，該點(diǎn)適用。可行性檢驗(yàn)：因此，為可行點(diǎn)，其函數(shù)值為：

第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法1.凸集凸函數(shù)、凸規(guī)劃優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）優(yōu)化問(wèn)題一般要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的最小點(diǎn)，即有：然而由于函數(shù)本身的問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)局部最小點(diǎn)和全局最小點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點(diǎn)X1和X2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱(chēng)該點(diǎn)集為凸集。其數(shù)學(xué)描述為：若有：且有有：如Y

總在集合D

內(nèi)，則稱(chēng)D為凸集。2.凸函數(shù)

函數(shù)，如果連結(jié)其凸集定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)X1

，X2的線段上，函數(shù)值小于或等于用及作線性?xún)?nèi)插所得的值，那么稱(chēng)為凸函數(shù)，用數(shù)學(xué)描述為：若F(X)為一元函數(shù)，可以用右圖表示優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）3.凸規(guī)劃對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題若都為凸函數(shù)，則稱(chēng)此問(wèn)題為凸規(guī)劃3)凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。其性質(zhì)為：1)若給定一點(diǎn)X0，則集合為凸集，即當(dāng)為二元函數(shù)時(shí)，其等值線呈現(xiàn)大圈套小圈形式。2)可行域?yàn)橥辜?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）4.最優(yōu)點(diǎn)性質(zhì)目標(biāo)函數(shù)Y=G(X)，設(shè)計(jì)變量X,取值區(qū)間[a，b]即優(yōu)化問(wèn)題的可行區(qū)域D={X∣a≤X≤b}。★1●2★3●1●3★2Y=G(X)abX★3和●3分別為閉區(qū)間上設(shè)計(jì)端點(diǎn)；★2為開(kāi)區(qū)間內(nèi)極大點(diǎn)（或稱(chēng)局部極值點(diǎn)或局部最優(yōu)點(diǎn)）;★1為可行區(qū)域D內(nèi)全局最大點(diǎn)（全局最優(yōu)點(diǎn)）;●1為開(kāi)區(qū)間內(nèi)極小點(diǎn);●2為可行區(qū)域D內(nèi)全局最小點(diǎn)。局部及全局最優(yōu)點(diǎn)概念最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)可分為：局部最優(yōu)點(diǎn)、全局最優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）局部及全局最優(yōu)點(diǎn)性質(zhì)討論

全局最優(yōu)點(diǎn)一定也是局部最優(yōu)點(diǎn)，而局部最優(yōu)點(diǎn)不一

定是全局最優(yōu)點(diǎn)。

判斷是否全局、局部最優(yōu)點(diǎn)的依據(jù)和最實(shí)用方法是高等數(shù)學(xué)中的極值原理（開(kāi)區(qū)間上講極值，閉區(qū)間上講最值）。

最優(yōu)化問(wèn)題常要求解全局最優(yōu)點(diǎn)，然而由于優(yōu)化算法本

身結(jié)構(gòu)、優(yōu)化問(wèn)題本身的復(fù)雜性等原因，很多情況下算

的是局部最優(yōu)點(diǎn)：

傳統(tǒng)優(yōu)化算法：如黃金分割法，單純形法、復(fù)合形法、最小二

乘法等算的是局部最優(yōu)點(diǎn)

目前，求解全局最優(yōu)點(diǎn)的有效方法主要有：遺傳優(yōu)化法、多個(gè)

局部最優(yōu)點(diǎn)比較綜合法。

新發(fā)展的模糊優(yōu)化法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化法都很難直接求出全局最

優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）4.2

懲罰函數(shù)法——是一種使用廣泛、很有效的間接解法基本思想：第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)用約束條件構(gòu)造一個(gè)制約函數(shù)，當(dāng)約束條件不滿足時(shí)，該函數(shù)受

到制約，反之當(dāng)約束條件滿足時(shí)，則不受制約；將制約函數(shù)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新目標(biāo)函數(shù)—懲罰函數(shù)；將約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列無(wú)約束問(wèn)題求解和稱(chēng)懲罰因子，是一個(gè)遞增或遞減的數(shù)列，使懲罰項(xiàng)所起的作用越來(lái)越小，即：和分別是由不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，分別稱(chēng)障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)。其中稱(chēng)為懲罰函數(shù)；結(jié)果：與收斂于同一最優(yōu)解。障礙項(xiàng)：當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過(guò)程中阻止迭代點(diǎn)越出邊界。懲罰項(xiàng)：當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足不等式約束條件時(shí)，在迭代

過(guò)程之中迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法懲罰函數(shù)法又可分為外點(diǎn)法、內(nèi)點(diǎn)法和混合法?？蛇m用于求解含不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。4.2.1內(nèi)點(diǎn)法基本思想：內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭代點(diǎn)序列必定在可行域內(nèi)。對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題：轉(zhuǎn)化后的內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)可以有如下兩種形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法倒數(shù)形式：對(duì)數(shù)形式：依次對(duì)各個(gè)罰函數(shù)求極值，所得極小點(diǎn)序列是向約束問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)逼近的。障礙項(xiàng)①懲罰函數(shù)的有效區(qū)域是約束的可行域，目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的所

有點(diǎn)都受到懲罰，且愈靠近約束邊界懲罰得愈多；②不同的懲罰因子對(duì)應(yīng)不同的罰函數(shù)，懲罰因子愈小，函數(shù)的極小點(diǎn)愈接近約束邊界處的最優(yōu)點(diǎn)；③當(dāng)懲罰因子趨近于零時(shí)，懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)，就是原約束問(wèn)題的

最優(yōu)點(diǎn)。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例4-1用內(nèi)點(diǎn)處罰函數(shù)法求問(wèn)題約束最優(yōu)解。解：用內(nèi)點(diǎn)法求解，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)

懲罰函數(shù)：用解析法對(duì)函數(shù)求極小值。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解得不滿足約束條件，舍去。無(wú)約束極值點(diǎn)為：31.20.360[1.8230][1.4220][1.1560][10]3.9073.0572.00513.3232.0221.3361第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法內(nèi)點(diǎn)法中的初始點(diǎn)、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定:1.初始點(diǎn)的選取離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。程序設(shè)計(jì)時(shí)，一般，考慮具有人工輸入、和計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的兩種功能。2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。太大會(huì)影響迭代次數(shù)，太小會(huì)使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點(diǎn)。

1）取r0=1，根據(jù)試算的結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減少r0

值。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法2）按經(jīng)驗(yàn)公式這樣選取的r0

，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太大則其支配作用，也不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略掉。3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取

在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法懲罰因子的縮減系數(shù)通常的取值范圍：0.1-0.7之間。4.收斂條件第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可適用于求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。4.2.2外點(diǎn)法基本思想：新目標(biāo)函數(shù)在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題：轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法①在可行域內(nèi)懲罰函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)是完全重合的，在可行域外懲罰函數(shù)的曲線被抬高，且離邊界越遠(yuǎn)，曲線被抬高得越多；②懲罰因子越大，懲罰函數(shù)被抬高得越多，極小點(diǎn)越靠近約束邊界；③懲罰因子趨于無(wú)窮大時(shí)，懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)就是約束問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例6-6用外點(diǎn)法求問(wèn)題約束最優(yōu)解。首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)：用解析法求解第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解得0.31.27.5[0.2310][0.60][0.8820][10]0.2310.5520.78510.0530.360.781第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法外點(diǎn)法懲罰因子按下式遞增遞增系數(shù)，通常取c=5-10。選取的r0

太大則會(huì)使懲罰函數(shù)等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢(shì)必增加迭代次數(shù)。經(jīng)驗(yàn)計(jì)算一般取r0=1，c=10常?？梢匀〉脻M意的效果。也可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式獲得r0

值第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)： 1．初始點(diǎn)必須為嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn) 2．不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型3．迭代過(guò)程中各個(gè)點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較慢5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1。 第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法外點(diǎn)法的特點(diǎn)：

1．初始點(diǎn)可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義2．對(duì)等式約束和不等式約束均可適用3．僅最優(yōu)解為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較快5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c>1。第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例：用內(nèi)點(diǎn)法求目標(biāo)函數(shù)f(x)=ax受約束g(x)=b-x<0時(shí)的最優(yōu)解。

構(gòu)造懲罰函數(shù)

求可求出極值點(diǎn)表達(dá)式為：懲罰函數(shù)值為：r(k)為一遞減序列：0.1，0.01，0.0014.2.2混合法混合法是綜合外點(diǎn)法和內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)建立的一種算法，對(duì)不等式約束按內(nèi)點(diǎn)法建立懲罰項(xiàng)，對(duì)等式約束按外點(diǎn)法建立懲罰項(xiàng)，即:稱(chēng)混合懲罰函數(shù)。式中，懲罰因子rk1取正的遞減數(shù)列；rk2取正的遞增數(shù)列。或:第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法顯然，當(dāng)懲罰因子rk

取正的遞減數(shù)列并趨近于零時(shí)，混合懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)就是原約束最優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。若將兩個(gè)懲罰因子合并，即令：得到只包含一個(gè)懲罰因子的混合懲罰函數(shù)或第四節(jié)約束問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法工程實(shí)際問(wèn)題通常有多種評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)質(zhì)量好壞的技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。稱(chēng)多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)多目標(biāo)問(wèn)題。以,

,…代表多個(gè)目標(biāo)函數(shù)或設(shè)計(jì)目標(biāo)，構(gòu)成的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法多目標(biāo)問(wèn)題的解：完全最優(yōu)解：使各個(gè)目標(biāo)函數(shù)都取得極小值的解；劣解：至少使一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取得最大值的解；有效解：除完全最優(yōu)解和劣解之外的所有解。有效解之間是不能

直接比較優(yōu)劣的。無(wú)論哪一種方法都只能求得有效解，或相對(duì)最優(yōu)解。多目標(biāo)最優(yōu)化方法就是在對(duì)各個(gè)目標(biāo)加權(quán)量化的基礎(chǔ)上，將不可比問(wèn)題轉(zhuǎn)化成可比問(wèn)題，求得對(duì)每一個(gè)目標(biāo)來(lái)說(shuō)都相對(duì)最優(yōu)的有效解。多目標(biāo)最優(yōu)化一般都是轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)求解的。如常用的主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、最大最小法和理想點(diǎn)法等。第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.1主要目標(biāo)法將多目標(biāo)問(wèn)題，用主要目標(biāo)法構(gòu)造的多目標(biāo)問(wèn)題如下：在所有技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中選出一個(gè)最重要的作為設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，而將其他的指標(biāo)分別給定一個(gè)可以接受的范圍，轉(zhuǎn)變?yōu)橐唤M約束條件，從而構(gòu)成一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題。其中，fi1和fi2分別是第i個(gè)目標(biāo)fi的下限和上限。第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法由此求的就是原多目標(biāo)問(wèn)題的一個(gè)相對(duì)最優(yōu)解。5.2線性加權(quán)法由q個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)函數(shù):多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)約束最優(yōu)化問(wèn)題：是反映各個(gè)分目標(biāo)重要性的系數(shù)，稱(chēng)權(quán)因子。第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法一般情況下有如何確定合理的權(quán)因子是這一方法的關(guān)鍵。多數(shù)情況下權(quán)因子可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給出，有時(shí)也可按下式計(jì)算:其中是以第i

個(gè)分目標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)所構(gòu)成的單目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)值。第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.3最大最小法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題采用各個(gè)目標(biāo)中的最大值作為評(píng)價(jià)函數(shù)的函數(shù)值來(lái)構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)。即：評(píng)價(jià)函數(shù)其中：將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)為下列單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.4理想點(diǎn)法構(gòu)造如下單目標(biāo)優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)：可以證明，此問(wèn)題的最優(yōu)解是一個(gè)最接近完全最優(yōu)解的有效解。故稱(chēng)這種方法為理想點(diǎn)法。的意義與前述相同將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)為下列單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題：第五章多目標(biāo)問(wèn)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第六章有限元法第一節(jié)有限元法概覽第三節(jié)結(jié)構(gòu)離散化第四節(jié)單元位移模式第五節(jié)單元分析單元?jiǎng)偠染仃嚨诹?jié)整體分析總體剛度矩陣第七節(jié)邊界條件處理

計(jì)算成果整理第二節(jié)有限元法基本思路第一節(jié)有限元法概覽工程問(wèn)題建模分析過(guò)程典型工程問(wèn)題物理模型計(jì)算結(jié)果分析驗(yàn)證修改驗(yàn)證直接實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗨茖?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)學(xué)模型彈性力學(xué)問(wèn)題熱傳導(dǎo)問(wèn)題流體力學(xué)問(wèn)題電磁場(chǎng)問(wèn)題應(yīng)力場(chǎng)溫度場(chǎng)流速場(chǎng)電磁場(chǎng)邊界條件偏微分方程的邊值問(wèn)題偏微分方程

典型工程問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)問(wèn)題！解析法解析解（函數(shù)）僅解決某些特殊問(wèn)題差分法數(shù)值解（近似）受邊界形狀限制且精度有限變分法解析解（近似）工程應(yīng)用受限有限元法數(shù)值解+解析解計(jì)算機(jī)應(yīng)用目前工程應(yīng)用最為廣泛的分析方法逆法、半逆法三角級(jí)數(shù)法復(fù)變函數(shù)法特殊函數(shù)法數(shù)學(xué)模型的求解偏微分方程的邊值問(wèn)題求解方法：歷史

1943年數(shù)學(xué)家Courant

第一次提出了有限元的思想；有限元法是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法1956年JohnTurner

首次將這種方法應(yīng)用于波音飛機(jī)動(dòng)力學(xué)計(jì)算；

20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問(wèn)題和非線性問(wèn)題（Argyris1965年），并得到迅速發(fā)展。1960年Clough

提出了FiniteElementMethod的名稱(chēng)。國(guó)內(nèi)：50年代數(shù)學(xué)家馮康

“基于變分原理的差分格式”。1970年后，F(xiàn)EM被引入我國(guó)，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。1967年Zienkiewicz

出版《TheFiniteElementMethod》。彈性力學(xué)平面問(wèn)題板殼，空間問(wèn)題靜力學(xué)流體力學(xué)，熱力學(xué)，電磁學(xué)……固體力學(xué)動(dòng)力學(xué)，穩(wěn)定、波動(dòng)等問(wèn)題彈性材料彈塑性，粘彈性材料小變形、幾何線性大變形、幾何非線性單一物理場(chǎng)多物理場(chǎng)耦合與CAD無(wú)縫集成開(kāi)放性、二次開(kāi)發(fā)網(wǎng)格處理能力發(fā)展數(shù)字化產(chǎn)品開(kāi)發(fā)基本流程有限元應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域：結(jié)構(gòu)熱流體,包括CFD(計(jì)算流體動(dòng)力學(xué))電場(chǎng)/靜電電磁電子及器具重型設(shè)備及機(jī)械MEMS–微機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品

有限元應(yīng)用的部分工業(yè)領(lǐng)域:航空航天汽車(chē)生物醫(yī)學(xué)橋梁和建筑應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析用于確定結(jié)構(gòu)的變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反力。靜力分析用于靜力載荷條件可以模擬諸如大變形、大應(yīng)變、接觸、塑性、超彈、蠕變等非線性行為結(jié)構(gòu)分析動(dòng)力學(xué)分析模態(tài)分析

計(jì)算固有頻率及振型諧響應(yīng)分析

確定結(jié)構(gòu)對(duì)已知幅值和頻率的正弦載荷的響應(yīng)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

確定結(jié)構(gòu)對(duì)隨時(shí)間變化載荷的響應(yīng)，可以包括非線性行為其他結(jié)構(gòu)功能譜分析隨機(jī)振動(dòng)特征值屈曲子結(jié)構(gòu),子模型疲勞、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析側(cè)重慣性力占主導(dǎo)的大變形模擬用于模擬沖擊、碰撞、跌落、爆炸、快速成型等高度非線性問(wèn)題結(jié)構(gòu)分析熱分析用于確定物體的溫度分布。其它如熱損失或吸收的熱量，熱梯度、熱通量等也可以獲得?？梢阅M所三種主要的傳熱方式：傳導(dǎo)、對(duì)流及輻射穩(wěn)態(tài)時(shí)間相關(guān)效應(yīng)可以忽略瞬態(tài)確定溫度等時(shí)間相關(guān)的量可以模擬相變(熔化或凝固)熱分析電磁分析用于計(jì)算電磁裝置的電磁場(chǎng)靜態(tài)及低頻

電磁場(chǎng)模擬直流電源操作裝置，低頻AC或低頻瞬態(tài)信號(hào)例如:電機(jī)、變壓器等電磁場(chǎng)可分析磁通量密度、場(chǎng)強(qiáng)磁力及磁矩、阻抗、電感、渦流、功率損失及通量泄漏等。機(jī)箱內(nèi)磁場(chǎng)分布機(jī)箱漏磁場(chǎng)分布

電磁場(chǎng)分析高頻電磁場(chǎng)模擬裝置的電磁波傳播例如:微波及RFpassive部件,波導(dǎo),同軸連結(jié)器感興趣的量包括S-參數(shù)，Q-因子,返回?fù)p失，電介質(zhì)和傳導(dǎo)損失，及電場(chǎng)和磁場(chǎng)螺旋天線

中心截面電場(chǎng)強(qiáng)度圖

中心截面磁場(chǎng)強(qiáng)度

電磁場(chǎng)分析靜電計(jì)算電壓或電荷激勵(lì)的電場(chǎng)例如:高壓裝置，微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS),傳輸線典型感興趣的量是電場(chǎng)強(qiáng)度及電容電流傳導(dǎo)計(jì)算給定電壓下導(dǎo)體的電流電路耦合電路與電磁裝置的耦合電場(chǎng)強(qiáng)度矢量圖

電場(chǎng)強(qiáng)度分布云圖

同軸電纜中的電場(chǎng)(EFSUM)

電場(chǎng)分析計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)確定流體的流動(dòng)及溫度分布ANSYS/FLOTRAN可以模擬層流和湍流，可壓和不可壓縮流動(dòng)及多組份流體應(yīng)用:航空航天,電子封裝，汽車(chē)設(shè)計(jì)典型量包括速度、壓力、溫度及對(duì)流換熱系數(shù)流體分析聲學(xué)用于模擬流體及其所包圍的固體間的相互作用。例如:揚(yáng)聲器,汽車(chē)interiors,聲納典型量包括壓力分布、位移及固有頻率容器內(nèi)流體分析用于模擬容器內(nèi)不流動(dòng)的流體計(jì)算及由于晃動(dòng)導(dǎo)致的靜水壓力例如:油箱,其他流體容器熱及質(zhì)量輸運(yùn)一維單元用于計(jì)算兩點(diǎn)間質(zhì)量輸運(yùn)產(chǎn)生的熱，如管道。流體分析雙金屬桿由于加熱產(chǎn)生變形耦合場(chǎng)分析考慮兩種或多于兩種場(chǎng)之間的相互作用。每一種場(chǎng)都依賴(lài)于另一種場(chǎng)使得不可能對(duì)每個(gè)場(chǎng)單獨(dú)求解，因此需要一個(gè)能夠?qū)⑽锢韱?wèn)題綜合在一起考慮計(jì)算的程序。例如:熱應(yīng)力分析壓電分析(電及結(jié)構(gòu))聲學(xué)(流體及結(jié)構(gòu))熱－電分析導(dǎo)熱(磁和熱)靜電－結(jié)構(gòu)分析由壓電陶瓷產(chǎn)生的機(jī)電耦合場(chǎng)（超聲電機(jī)原理）耦合場(chǎng)分析拓?fù)鋬?yōu)化10040靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化:在體積約束下優(yōu)化結(jié)構(gòu)靜剛度ANSYS拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果（體積減少50%）拓?fù)鋬?yōu)化動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化:在體積約束下優(yōu)化低階固有頻率（即提高動(dòng)剛度）ANSYS拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析剛度、強(qiáng)度（應(yīng)用于整車(chē)、大小總成與零部件分析）；靜力學(xué)分析汽車(chē)結(jié)構(gòu)常規(guī)有限元分析：疲勞:分析研究多次使用載荷作用下的破壞FatigueSensitivitySafetyFactor工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析輕量化設(shè)計(jì)；汽車(chē)控制臂有限元拓?fù)鋬?yōu)化工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析NVH分析（各種振動(dòng)、噪聲）；動(dòng)力學(xué)特性分析工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析Noise:20Hz-10000HzVibration:0.5Hz-500HzHarshness:20Hz-200Hz模態(tài)分析,頻率響應(yīng)或諧響應(yīng)分析,隨機(jī)振動(dòng)分析工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析；多剛體動(dòng)力學(xué)，剛-柔體動(dòng)力學(xué)工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析車(chē)輛碰撞模擬分析；大變形非線線分析，沖擊分析工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析金屬板件沖壓成型模擬分析;接觸非線性，大變形非線性工程實(shí)際問(wèn)題的有限元分析應(yīng)用軟件用戶(hù)分布情況：

ANSYSABQUSLS-DYNAMARCADINAMSC.NASTRANHyperworks非線性動(dòng)力分析接觸非線性多物理場(chǎng)，通用性好求解器效率高接觸非線性，前后處理弱提供源代碼，二次開(kāi)發(fā)功能強(qiáng)前處理功能強(qiáng)大軟件比較一般結(jié)構(gòu)非線性爆炸與沖擊電磁場(chǎng)聲學(xué)（噪聲）滲流多場(chǎng)耦合流體力學(xué)溫度場(chǎng)易用性?xún)r(jià)格二次開(kāi)發(fā)ANSYS540542545555ABAQUS554344335455LS-DYNA125000202251MSC.MARC550330335345MSC.NASTRAN530343235152ADINA550335445345項(xiàng)目軟件第二節(jié)有限元法基本思路有限元法基本思路:問(wèn)題分析結(jié)構(gòu)離散分片近似單元平衡整體平衡方程求解物理模型節(jié)點(diǎn)單元位移函數(shù)單剛方程總剛方程節(jié)點(diǎn)位移

離散化

構(gòu)造單元內(nèi)

位移函數(shù)；單元位移模式

單元分析；劃分網(wǎng)格，將連續(xù)體劃分為有限數(shù)量的單元。單元內(nèi)位移節(jié)點(diǎn)位移單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移變分法思想

整體分析；總體剛度矩陣節(jié)點(diǎn)位移外載荷靜力平衡

求解；節(jié)點(diǎn)位移單元位移模式幾何方程物理方程差分法思想（1）平衡微分方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：（4）邊界條件：三組方程+兩組邊界條件偏微分方程邊值問(wèn)題平面問(wèn)題彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型位移變分方程虛功方程極小勢(shì)能原理應(yīng)力邊界條件平衡微分方程等價(jià)!虛功方程：對(duì)單元，外力虛功等于內(nèi)力虛功。虛功方程矩陣表示第三節(jié)結(jié)構(gòu)離散化第二節(jié)結(jié)構(gòu)離散化

深梁（離散化結(jié)構(gòu)）

將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)：將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些節(jié)點(diǎn)處連接，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)”。單元節(jié)點(diǎn)1單元要素節(jié)點(diǎn)：?jiǎn)卧c單元之間的連接點(diǎn)（i,j,m）。節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的位移。ijm節(jié)點(diǎn)力：通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞的內(nèi)力。節(jié)點(diǎn)載荷：作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷（外力）。單元位移：?jiǎn)卧獌?nèi)位移分布（u(x,y),v(x,y)）2單元類(lèi)型一維單元：如桿單元，梁?jiǎn)卧?/p>

二維單元：如三角形單元，四邊形單元。

三維單元：如四面體單元，六面體單元，棱柱單元。

3連續(xù)體離散化模型

單元間僅通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接，沒(méi)有其它聯(lián)系；位移，載荷僅通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞；單元內(nèi)依然是連續(xù)體，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。第四節(jié)單元位移模式單元位移函數(shù)