2023年統(tǒng)計(jì)與概率題庫教師版

8-7概率與記錄8-7概率與記錄教學(xué)目的教學(xué)目的能準(zhǔn)確判斷事件發(fā)生的等也許性以及游戲規(guī)則的公平性問題.運(yùn)用排列組合知識(shí)和枚舉等計(jì)數(shù)方法求解概率問題.理解和運(yùn)用概率性質(zhì)進(jìn)行概率的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)說明在拋擲一枚硬幣時(shí)，究竟會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果事先是不能擬定的，但是當(dāng)我們?cè)谙嗤臈l件下，大量反復(fù)地拋擲同一枚均勻硬幣時(shí),就會(huì)發(fā)現(xiàn)“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”的次數(shù)大約各占總拋擲次數(shù)的一半左右．這里的“大量反復(fù)”是指多少次呢?歷史上不少記錄學(xué)家,例如皮爾遜等人作過成千上萬次拋擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增長,出現(xiàn)正面的頻率波動(dòng)越來越小,頻率在這個(gè)定值附近擺動(dòng)的性質(zhì)是出現(xiàn)正面這一現(xiàn)象的內(nèi)在必然性規(guī)律的表現(xiàn),恰恰就是刻畫出現(xiàn)正面也許性大小的數(shù)值，就是拋擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率.這就是概率記錄定義的思想，這一思想也給出了在實(shí)際問題中估算概率的近似值的方法，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí),可將頻率作為概率的近似值.在記錄里，我們把所要考察對(duì)象的全體叫做總體，其中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中所抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本的容量。總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù),把樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。概率的古典定義:假如一個(gè)實(shí)驗(yàn)滿足兩條：⑴實(shí)驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果：⑵實(shí)驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的也許性是同樣的．這樣的實(shí)驗(yàn)，稱為古典實(shí)驗(yàn).對(duì)于古典實(shí)驗(yàn)中的事件,它的概率定義為:，表達(dá)該實(shí)驗(yàn)中所有也許出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目,表達(dá)事件包含的實(shí)驗(yàn)基本結(jié)果數(shù).小學(xué)奧數(shù)中,所涉及的問題都屬于古典概率．其中的和需要我們用枚舉、加乘原理、排列組合等方法求出．互相獨(dú)立事件:事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做互相獨(dú)立事件．公式含義:假如事件和為獨(dú)立事件，那么和都發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之積．舉例:⑴明天是否晴天與明天晚餐是否有煎雞蛋互相沒有影響,因此兩個(gè)事件為互相獨(dú)立事件．所以明天天晴,并且晚餐有煎雞蛋的概率等于明天天晴的概率乘以明天晚餐有煎雞蛋的概率．⑵第一次拋硬幣掉下來是正面向上與第二次拋硬幣是正面向上是兩個(gè)互相獨(dú)立事件.所以第一次、第二次拋硬幣掉下來后都是正面向上的概率等于兩次分別拋硬幣掉下來后是正面向上的概率之積，即.⑶擲骰子,骰子是否掉在桌上和骰子的某個(gè)數(shù)字向上是兩個(gè)互相獨(dú)立的事件,假如骰子掉在桌上的概率為,那么骰子掉在桌上且數(shù)字“”向上的概率為.例題精講例題精講(2023年“希望杯”二試六年級(jí))氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是”．對(duì)此信息，下列說法中對(duì)的的是．①本市明天將有的地區(qū)降水. ②本市明天將有的時(shí)間降水.③明天肯定下雨． ? ④明天降水的也許性比較大.降水概率指的是也許性的大小，并不是降水覆蓋的地區(qū)或者降水的時(shí)間.的概率也不是指肯定下雨,的概率才是肯定下雨．的概率是說明有比較大的也許性下雨.因此④的說法對(duì)的．一個(gè)小方木塊的六個(gè)面上分別寫有數(shù)字、、、、、，小光、小亮兩人隨意往桌面上扔放這個(gè)木塊.規(guī)定：當(dāng)小光扔時(shí),假如朝上的一面寫的是偶數(shù),得分.當(dāng)小亮扔時(shí),假如朝上的一面寫的是奇數(shù),得分.每人扔次，____＿_(dá)得分高的也許性比較大．由于、、、、、中奇數(shù)有個(gè),偶數(shù)只有個(gè)，所以木塊向上一面寫著奇數(shù)的也許性較大,即小亮得分高的也許性較大．在多家商店中調(diào)查某商品的價(jià)格，所得的數(shù)據(jù)如下(單位：元)2５２123252729２５283０29２62４２５2７２62２2４2５26２8請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚涸谀硞€(gè)池塘中隨機(jī)捕撈條魚,并給魚作上標(biāo)記后放回池塘中，過一段時(shí)間后又再次隨機(jī)捕撈尾，發(fā)現(xiàn)其中有條魚是被作過標(biāo)記的，假如兩次捕撈之間魚的數(shù)量沒有增長或減少,那么請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)池塘中一共有魚多少尾？200尾魚中有條魚被標(biāo)記過，所以池塘中魚被標(biāo)記的概率的實(shí)驗(yàn)得出值為，所以池塘中的魚被標(biāo)記的概率可以看作是,池塘中魚的數(shù)量約為尾.有黑桃、紅桃、方塊、草花這4種花色的撲克牌各2張,從這８張牌中任意取出2張。請(qǐng)問：這2張撲克牌花色相同的概率是多少?先從8張牌中選2張牌有２8種選法。然后滿足條件的選法只有4種,即4種不同的花色，所以這兩張牌花色相同的概率是4/28＝1/7小悅從1、2、3、4、５這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)，冬冬從２、3、4、５、６、７這6個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù)。選出的兩個(gè)數(shù)中，恰好有一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的概率是多少小悅從1、2、3、４、5這5個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù),有5種選法冬冬從2、3、４、5、6、7這6個(gè)自然數(shù)中任選一個(gè)數(shù),有6種許選法所以總共的組合有5×６＝3０種不同選法，其中滿足倍數(shù)關(guān)系的分別有小悅?cè)?時(shí)，有６種小悅?cè)?時(shí)，有3種,小悅?cè)?時(shí)，有2種，小悅?cè)?時(shí),有２種,小悅?cè)?時(shí),有１種，一共有14種．所以滿足條件的概率是14/30=７／15媽媽去家樂福購物,正好碰上了橘子、香蕉、葡萄和榴蓮大降價(jià)。于是她決定從這4中水果中任選一種買回家。爸爸下班時(shí)路過集貿(mào)市場，發(fā)現(xiàn)有蘋果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售。他也決定任選一種買回家。請(qǐng)問:他們買了不同的水果的概率是多少？媽媽爸爸都買香蕉的概率是1／4×1/5＝1/2０都買橘子的概率是1/4×１/5=1/20都買葡萄的概率是1/４×1／５=1/20。所以他們買的水果不同的概率為1－3/2０＝17/20在標(biāo)準(zhǔn)英文字典中,由2個(gè)不同字母組成的單詞一共有55個(gè).假如從26個(gè)字母中任取2個(gè)不同的排列起來,那么恰好能拍成一個(gè)單詞的概率是多少？從２6個(gè)自母中任選２個(gè)字母進(jìn)行排列有６５0種不同的選法，滿足條件的只有26種，所有恰好構(gòu)成一個(gè)單詞的概率是５5/6５0=11/130口袋里裝有100張卡片,分別寫著1，２，3，……,1０0.從中任意抽出一張。請(qǐng)問:(1)抽出的卡片上的數(shù)正好是３７的概率是多少?(２)抽出的卡片上的數(shù)是偶數(shù)的概率是多少?(３)抽出的卡片上的數(shù)是質(zhì)數(shù)的概率是多少?(4）抽出的卡片上的數(shù)是101的概率是多少？（5）抽出的卡片上的數(shù)小于200的概率是多少?隨機(jī)抽出有100種也許,所以是37的概率是１/１00１00種有50個(gè)偶數(shù)，所以是偶數(shù)概率是50/100=１/21０0以內(nèi)有２５個(gè)質(zhì)數(shù)，所以是質(zhì)數(shù)的概率是1／4抽出卡片不也許是1０1,所以概率為０抽出所有數(shù)都小于200，所以概率為１.在一只口袋里裝著2個(gè)紅球,3個(gè)黃球和4個(gè)黑球。從口袋中任取一個(gè)球，請(qǐng)問:（1)這個(gè)球是紅球的概率有多少?（2)這個(gè)球是黃球或者是黑球的概率有多少？（3)這個(gè)是綠球的概率有多少？不是綠球的概率又有多少?口袋里一共有９個(gè)球,2個(gè)紅球,隨機(jī)取有2/９的概率取到紅球這個(gè)球不是是紅球就是黃球或者黑球，所以取到黃球或者黑球的概率是7/9，由于沒有綠球,所以取到旅求概率是0，不是綠球的概率是1一只口袋里裝有５個(gè)黑球和3個(gè)白球，另一只口袋里裝有4個(gè)黑球和4個(gè)白球。從兩只口袋里各取出一個(gè)球。請(qǐng)問:取出的兩個(gè)球顏色相同的概率是多少?總共的取法數(shù)是8×8＝64種滿足條件的選法有當(dāng)選出都是黑球5×4＝２0種,當(dāng)選出都是白球3×4=12種,一共有3２種滿足條件所以兩個(gè)球顏色相同概率是３2/64=1／2一只普通的骰子有6個(gè)面,分別寫有１、２、3、4、5、6。擲出這個(gè)骰子，它的任何一面朝上的概率都是１/6.假設(shè)你將某一個(gè)骰子連續(xù)投擲了9次,每次的結(jié)果都是１點(diǎn)朝上。那么第十次投擲后,朝上的面上的點(diǎn)數(shù)恰好是奇數(shù)的概率是多少?本題要注意當(dāng)你投擲9次之后的結(jié)果其實(shí)對(duì)第十次是沒有影響的，所以第十次投擲只要投擲出1，３,５就滿足條件,而總共有1~６六種也許，所以概率是1/2.甲、乙兩個(gè)學(xué)生各從這個(gè)數(shù)字中隨機(jī)挑選了兩個(gè)數(shù)字（也許相同)，求:⑴這兩個(gè)數(shù)字的差不超過的概率，⑵兩個(gè)數(shù)字的差不超過的概率．⑴兩個(gè)數(shù)相同(差為0）的情況有種,兩個(gè)數(shù)差為有種，兩個(gè)數(shù)的差為的情況有種,所以兩個(gè)數(shù)的差不超過的概率有.⑵兩個(gè)數(shù)的差為的情況有種．兩個(gè)數(shù)的差為的情況有種.兩個(gè)數(shù)的差為的情況有種．所以兩個(gè)數(shù)字的差超過的概率有.兩個(gè)數(shù)字的差不超過的概率有．小悅擲出了２枚骰子,擲出的２個(gè)數(shù)字之和恰好等于１0的概率有多少？擲出2個(gè)骰子總情況有6×6=3６種，其中和為10的有第一次擲出4,第二次擲出6第一次擲出5，第二次擲出５第一次擲出6,第二次擲出4,所以滿足條件情況只有三種,所以恰好為1０的概率是１/12。分別先后擲2次骰子,點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為多少?點(diǎn)數(shù)之積為６的概率為多少？根據(jù)乘法原理，先后兩次擲骰子出現(xiàn)的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)一共有種不同情況.將點(diǎn)數(shù)為的情況所有枚舉出來有：:：:：:點(diǎn)數(shù)之積為的情況為：:::.兩個(gè)數(shù)相加和為6的有５組,一共是36組,所以點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是：點(diǎn)數(shù)之積為6的概率為．一枚硬幣連續(xù)拋擲３次,至少有一次正面向上的概率是.從反面考慮，先求三次都是正面向下的概率,為，所以至少有一次正面向上的概率為．冬冬與阿奇做游戲:由冬冬拋出３枚硬幣,假如拋出的結(jié)果中，有2枚或2枚以上的硬幣正面朝上,冬冬就獲勝;否則阿奇獲勝。請(qǐng)問:這個(gè)游戲公平嗎？冬冬獲勝的概率為，兩枚或者兩枚以上硬幣正面朝上,兩枚硬幣正面朝上的概率為從三次投擲中選兩次正面朝上有3種也許,每種的概率是３個(gè)１/2連乘。等于３/８，三枚硬幣都正面朝上概率為1／８。所以冬冬獲勝的概率為1/2.也就是阿奇獲勝概率也是1/2,所以游戲是公平的?！眷柟獭恳幻队矌胚B續(xù)拋4次,求恰有2次正面的概率．一方面拋擲一枚硬幣的過程,出現(xiàn)正面的概率為，又由于連續(xù)拋擲四次,各次的結(jié)果之間是互相獨(dú)立的，所以這是獨(dú)立事件的反復(fù)實(shí)驗(yàn),可得恰有2次正面的概率為.另解:每拋一次都也許出現(xiàn)正面和反面兩種情況,拋4次共有種情況，其中恰有2次正面的有種情況,所以恰有2次正面的概率為.一枚硬幣連續(xù)拋擲３次,求至少有兩次正面向上的概率．至少有兩次正面向上,可分為2次正面向上和3次正面向上兩種情形：⑴2次正面向上的：此時(shí)只有1次正面向下,也許為第1次、第２次和第３次,所以此時(shí)共３種情況；⑵3次正面向上,此時(shí)只有一種情況．所以至少有兩次正面向上的共有4種情況,而連續(xù)拋擲３次硬幣，共有種情況,所以至少有兩次正面向上的概率為：．阿奇一次指出８枚硬幣，結(jié)果恰有4枚硬幣正面朝上的概率是多少?有超過４枚的硬幣正面朝上的概率是多少？投擲８枚硬幣,恰有４次正面朝上，應(yīng)當(dāng)從8次中選擇4次正面朝上,這四次朝上的概率是４個(gè)1／２的聯(lián)乘,這時(shí)不要忘掉剩下的４次一定是反面朝上,也是4個(gè)１/２的連乘,所以恰好4枚硬幣朝上的概率是35/１2８。運(yùn)用對(duì)稱的思想，有超過４枚硬幣正面朝上的概率應(yīng)當(dāng)和有少于4枚硬幣朝上的概率相同，所以有超過4枚硬幣正面朝上的概率為（1－35/128）÷2=9３/256如圖所示，將球放在頂部，讓它們從頂部沿軌道落下,球落到底部的從左至右的概率依次是_＿＿_(dá)_＿_(dá)．球在頂點(diǎn)時(shí)的概率是1，而每到一個(gè)岔口,它落入兩邊的機(jī)會(huì)是均等的,因此,可以采用標(biāo)數(shù)法，如右上圖所示,故從左至右落到底部的概率依次為、、、、.如圖為、兩地之間的道路圖,其中⊙表達(dá)加油站，小王駕車每行駛到出現(xiàn)兩條通往目的地方向道路的路口時(shí)(所有路口都是三叉的,即每到一個(gè)路口都只有一條或兩條路通往目的地),都用拋硬幣的方式隨機(jī)選擇路線，求:⑴小王駕車從到,通過加油站的概率.⑵小王駕車從到,通過加油站的概率.運(yùn)用標(biāo)數(shù)法,標(biāo)數(shù)規(guī)則（性質(zhì)):⑴從起點(diǎn)開始標(biāo)“１”.⑵以后都將數(shù)標(biāo)在線上,對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn),起點(diǎn)方向的節(jié)點(diǎn)相連線路上所標(biāo)數(shù)之和與和目的方向節(jié)點(diǎn)相連線路上標(biāo)數(shù)之和相等．⑶對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，目的方向的各個(gè)線路上標(biāo)數(shù)相等.如圖:從到通過加油站的概率為；如圖:從到通過加油站的概率為.小明爬樓梯時(shí)以拋硬幣來擬定下一步跨個(gè)臺(tái)階還是個(gè)臺(tái)階,假如是正，那么跨個(gè)臺(tái)階，假如是反,那么跨出個(gè)臺(tái)階,那么小明走完四步時(shí)恰好跨出個(gè)臺(tái)階的概率為多少？小明跨出步的所有情況有種情況,其中恰好跨出個(gè)臺(tái)階的情況有：、、、、、六種,所以概率為.小明每跨出一步,有的概率跨個(gè)臺(tái)階,有的概率跨個(gè)臺(tái)階，對(duì)于步跨個(gè)臺(tái)階的每一種情況，必然是有2步跨1個(gè)臺(tái)階，2步跨2個(gè)臺(tái)階,這４步的走法共有種；對(duì)于里面的每一種走法,例如,發(fā)生的也許性有,所以步跨臺(tái)階發(fā)生的總概率為.從小紅家門口的車站到學(xué)校，有路、路兩種公共汽車可乘，它們都是每隔分中開來一輛．小紅到車站后，只要看見路或路，立即就上車，據(jù)有人觀測發(fā)現(xiàn)：總有路車過去以后分鐘就來路車，而路車過去以后分鐘才來路車.小紅乘坐_＿_(dá)＿_(dá)_路車的也許性較大．一方面某一時(shí)刻開來路車，從此時(shí)起,分析乘坐汽車如下表所示:顯然由上表可知每分鐘乘坐路車的幾率均為,乘坐路車的幾率均為,因此小紅乘坐路車的也許性較大．四位同學(xué)將各自的一張明信片隨意放在一起互相互換，恰有一個(gè)同學(xué)拿到自己寫的明信片的概率是＿＿＿＿_(dá)__＿.一共有種也許的拿法，而其中一位同學(xué)拿到自己的明信片的情況是種，此時(shí)其他3位同學(xué)拿到的都是別人的明信片,各有2種情況，所以恰有一個(gè)同學(xué)拿到自己寫的明信片的情況有種，概率為．【鞏固】兩封信隨機(jī)投入4個(gè)郵筒,則前兩個(gè)郵筒都沒有投入信的概率是＿＿_(dá)__＿_(dá)_.總的投信方法為種投法.而前2個(gè)郵筒不能投,那么信就只能投入后2個(gè)郵筒了,有種也許,所以前兩個(gè)郵筒都沒有投入信的概率是.四人入座的不同情況有種．、相鄰的不同情況，一方面固定的座位,有種，安排的座位有種，安排、的座位有種,一共有種．所以、相鄰而座的概率為．小悅與阿奇比賽下軍棋，兩人水平相稱，兩人約定塞7局，先贏４局者勝,現(xiàn)在已經(jīng)比了三局,小悅勝了2局，阿奇勝了1局。請(qǐng)問:小悅獲得最后勝利的概率有多少？小悅已經(jīng)勝了2局,假如5局結(jié)束比賽，則第4第５局小悅都勝利了，概率為1/4假如6局結(jié)束比賽，則4,5局中阿奇勝了1局,第六局小悅勝，概率為2×1/2×1/２×1/2=１/４假如進(jìn)行了7場比賽,則4，5，6局比賽中小悅只贏了一局,第7局小悅勝利，3×１/2×１/2×１／２×１／2＝3/16所以小悅總共獲勝的概率是11／16（2023年“奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí))一塊電子手表，顯示時(shí)與分，使用小時(shí)計(jì)時(shí)制,例如中午點(diǎn)和半夜點(diǎn)都顯示為．假如在一天（2４小時(shí))中的隨機(jī)一個(gè)時(shí)刻看手表，至少看到一個(gè)數(shù)字“1”的概率是．手表的時(shí)刻可以顯示為的形式，其中的取值從01到12,的取值從00到59,因此手表上能顯示出來的時(shí)刻一共有種。冒號(hào)之前不出現(xiàn)“１”的情況有：0２,03，0４,０５,0６,07，08，09,共8種。冒號(hào)后為兩位數(shù)，十位不出現(xiàn)“1”的情況有0,２,3，４,5共5種，個(gè)位不出現(xiàn)“１”的情況有０，2，3，4,5,６，7，8,9共9種，所以不出現(xiàn)“1”的情況有種。因此至少出現(xiàn)一個(gè)數(shù)字“1”的情況有種。所以至少看到一個(gè)數(shù)字“1”的概率為。某列車有4節(jié)車廂，現(xiàn)有6個(gè)人準(zhǔn)備乘坐，設(shè)每一位乘客進(jìn)入每節(jié)車廂的也許性是相等的，則這6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0,１，2，3的概率為多少？6個(gè)人乘坐４節(jié)車廂，每個(gè)人都也許進(jìn)入其中的某一節(jié)車廂,所以一共的也許數(shù)為種．出現(xiàn)6位乘客進(jìn)入各節(jié)車廂的人數(shù)恰好為0，1，2，3的情況的也許性為種也許,所以所求概率為.三個(gè)人乘同一輛火車，火車有十節(jié)車廂,則至少有兩人上同一節(jié)車廂的概率為_______．三個(gè)人均上不同車廂的概率為,因此,至少有兩人同上一節(jié)車廂的概率為．某人有5把鑰匙,一把房門鑰匙,但是忘掉是哪把,于是逐把試,問恰好第三把打開門的概率？從把鑰匙中排列出前三把，一共有種，從把鑰匙中將對(duì)的的鑰匙排在第三把，并排出前二把一共有種,所以第三把鑰匙打開門的概率為.一輛肇事車輛撞人后逃離現(xiàn)場，警察到現(xiàn)場調(diào)查取證,目擊者只能記得車牌是由、、、、五個(gè)數(shù)字組成，卻把它們的排列順序忘掉了，警察在調(diào)查過程中,假如在電腦上輸入一個(gè)由這五個(gè)數(shù)字構(gòu)成的車牌號(hào)，那么輸入的車牌號(hào)正好是肇事車輛車牌號(hào)的也許性是＿_(dá)＿_(dá)__．警察在調(diào)查過程中，在電腦上輸入第一個(gè)數(shù)字也許是、、、、中的任何一個(gè)，有種也許,第二位數(shù)字有種也許，……，第五位數(shù)字有種也許，所以一共有種也許,則輸入對(duì)的車牌號(hào)的也許性是.某小學(xué)六年級(jí)有個(gè)班,每個(gè)班各有名學(xué)生，現(xiàn)要在六年級(jí)的個(gè)班中隨機(jī)抽取個(gè)班，參與電視臺(tái)的現(xiàn)場娛樂活動(dòng)，活動(dòng)中有次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，將抽取名幸運(yùn)觀眾，那么六年級(jí)學(xué)生小寶成為幸運(yùn)觀眾的概率為多少?小寶所在班級(jí)被抽中參與娛樂活動(dòng)的概率為，假如小寶參與了娛樂活動(dòng)，那么小寶成為幸運(yùn)觀眾的概率為,所以小寶成為幸運(yùn)觀眾的概率為.（2023年全國數(shù)學(xué)資優(yōu)生水平測試)編號(hào)分別為1～10的1０個(gè)小球，放在一個(gè)袋中,從中隨機(jī)地取出兩個(gè)小球,這兩個(gè)小球的編號(hào)不相鄰的也許性是__＿_(dá)___＿_(dá)＿_(dá)。從１0個(gè)小球中取出兩個(gè)的取法總數(shù)為種，其中編號(hào)相鄰的取法有９種（1與2、2與3、3與4、4與５、５與6、６與7、７與８、8與9、9與１0）,所以不相鄰的取法有種，那么取出來的兩個(gè)小球編號(hào)不相鄰的也許性為。一個(gè)年級(jí)有三個(gè)班級(jí),在這個(gè)年級(jí)中隨意選取3人,這3人屬于同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？設(shè)三個(gè)班分別為,,．從三個(gè)班級(jí)中隨意選取1個(gè)人,選自各個(gè)班級(jí)的概率都相等，都是，那么3個(gè)人都選自班的概率為.同理，３個(gè)人都選自班和班的概率也都是，所以這三個(gè)人這3人屬于同一個(gè)班級(jí)的概率是．一個(gè)班有女生25人，男生２７人,任意抽選兩名同學(xué),恰好都是女生的概率是幾分之幾？從２5名女生中任意抽出兩個(gè)人有種不同的方法．從全體學(xué)生中任意抽出兩個(gè)人有種不同的方法．計(jì)算概率:．從６名學(xué)生中選4人參與知識(shí)競賽，其中甲被選中的概率為多少？法一:從6名學(xué)生中選４人的所有組合數(shù)為種，甲在其中的計(jì)數(shù)，相稱于從此外5名學(xué)生中再選取3名，因此組合數(shù)為種,所以甲被選上的概率為。法二:顯然這個(gè)人入選的概率是均等的,即每個(gè)人作為一號(hào)選手入選的概率為,作為二號(hào)入選的概率為,作為三號(hào)入選的概率為,作為四號(hào)入選的概率為，對(duì)于單個(gè)人“甲”來說,他以頭號(hào)、二號(hào)、三號(hào)、四號(hào)入選的情況是不反復(fù)的，所以他被入選的概率為．（2023年武漢明心奧數(shù)挑戰(zhàn)賽六年級(jí))學(xué)校門口經(jīng)常有小販搞摸獎(jiǎng)活動(dòng).某小販在一只黑色的口袋里裝有顏色不同的50只小球，其中紅球1只,黃球2只,綠球1０只,其余為白球.攪拌均勻后，每2元摸1個(gè)球.獎(jiǎng)品的情況標(biāo)注在球上(如圖）.假如花４元同時(shí)摸２個(gè)球，那么獲得１０元獎(jiǎng)品的概率是.(法１)計(jì)數(shù)求概率。摸兩個(gè)球要獲得10元獎(jiǎng)品,只能是摸到兩個(gè)黃色的球,由于只有２只黃球，所以摸到2只黃球只有1種也許,而從50只小球里面摸２只小球共有種不同的摸法,所以獲得1０元獎(jiǎng)品的概率為。（法2)概率運(yùn)算。摸兩個(gè)球要獲得１０元獎(jiǎng)品,只能是摸到兩個(gè)黃色的球，而摸第1個(gè)球?yàn)辄S球的概率為，摸第２個(gè)球?yàn)辄S球的概率為,因此獲得10元獎(jiǎng)品的概率為．用轉(zhuǎn)盤(如圖)做游戲，每次游戲游戲者需交游戲費(fèi)1元.游戲時(shí),游戲者先押一個(gè)數(shù)字,然后快速地轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,若轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針?biāo)父褡又械臄?shù)字恰為游戲者所押數(shù)字，則游戲者將獲得獎(jiǎng)勵(lì)3６元.該游戲?qū)τ螒蛘哂欣麊幔哭D(zhuǎn)動(dòng)多少次后,游戲者平均每次將獲利或損失多少元?在此游戲中，指針落在37個(gè)區(qū)域的也許性是同樣的，而游戲者押中的概率為,押錯(cuò)的概率為、,每押中一次獲得獎(jiǎng)金(3６－１＝)３５元，押錯(cuò)損失１元，因此轉(zhuǎn)動(dòng)多次后，游戲者平均每次將獲利３5×－1×=-(元)．因此,該游戲?qū)τ螒蛘卟焕?，游戲者平均每次損失元.用下圖中兩個(gè)轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲.分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,若其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個(gè)轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，則可配成紫色，此時(shí)小剛得1分,否則小明得1分．這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？若你認(rèn)為不公平，如何修改規(guī)則,才干使該游戲?qū)﹄p方公平呢?為了保證自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤,指針落在每個(gè)區(qū)域的也許性相同，我們把轉(zhuǎn)盤(1）按逆時(shí)針把紅色區(qū)域等提成四部分,分別記作紅１、紅2、紅3、紅4，轉(zhuǎn)盤（2)也類似地把藍(lán)色區(qū)域分別記作藍(lán)1、藍(lán)２、藍(lán)3、藍(lán)4.接下來，我們就可以用列表法計(jì)算分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，其中一個(gè)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出紅色,另一個(gè)轉(zhuǎn)出藍(lán)色可配成紫色的概率．列表如下：注：“√”表達(dá)可配成紫色，“×”表達(dá)不可配成紫色.分別轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,可配成紫色的概率為,不可配成紫色的概率為．因此，這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平，對(duì)小明不利.小明和小剛改用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲．配成紫色,小剛得1分．否則小明得1分,這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？由上面兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲，等也許的結(jié)果列表如下:由上面的表格可得:配成紫色的概率為，配不成紫色的概率為，因此游戲不公平，對(duì)小剛不利．轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次指針都指向一個(gè)數(shù)字．兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù),游戲者A得１0分；乘積不是質(zhì)數(shù),游戲者B得1分．你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？假如你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平,你樂意做游戲者A還是游戲者B？為什么？你能設(shè)法修改游戲規(guī)則使得它對(duì)游戲雙方都公平嗎？根據(jù)題意，我們可以用列表法計(jì)算出兩次指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率和積不是質(zhì)數(shù)的概率．列表如下:由表格可求得轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次,指針?biāo)笖?shù)字之積是質(zhì)數(shù)的概率為,指針?biāo)笖?shù)字之積不是質(zhì)數(shù)的概率為,當(dāng)然愿做A,由于A得高分的也許性較大.若使游戲公平，游戲規(guī)則應(yīng)修改為:兩次所指的數(shù)字之積是質(zhì)數(shù),則游戲者Ａ得5分；乘積不是質(zhì)數(shù),游戲者Ｂ得1分.這樣對(duì)游戲者雙方都公平．小紅的箱子中有4副手套，完全相同，但左、右手不能互換,有一副是姑姑送的，兩副是奶奶送的,尚有一副是自己買的,她從中任拿一副，恰好是姑姑送的那副的概率是多少？箱子里總共有8只手套，其中有一左一右是送姑姑的,不妨設(shè)為、．第一次拿出的概率是，爾后第二次拿出的概率是，所以拿出的概率是;同樣,也可以第一次拿出，第二次拿出，同理可求出其概率是；所以,拿出的恰好是姑姑送的那副的概率為上面兩種的概率之和，為．另解：箱子里總共有８只手套，從中取出2只有種取法,其中只有1種恰好是姑姑送的那副,所以拿出的恰好是姑姑送的那副的概率為．盒子里裝著20支圓珠筆，其中有5支紅色的,7支藍(lán)色的，8支黑色的。從中隨意抽出4支，每種顏色的筆都被抽出的概率是多少?20支筆從中選出4支筆,總共４845種不同選法,其中3種顏色都有的情況是,一：２支紅色1支藍(lán)色１支黑色10×7×８=560種，二:１支紅色2支藍(lán)色1支黑色５×21×8=84０種，三:1支紅色1支藍(lán)色2支黑色5×7×2８＝980種。所以一共有560+840+９80＝2380種滿足條件的概率是2380/4845=28/５7、、、、、六人抽簽推選代表，公證人一共制作了六枚外表一模同樣的簽，其中只有一枚刻著“中”，六人按照字母順序先后抽取簽,抽完不放回，誰抽到“中”字，即被推選為代表，那么這六人被抽中的概率分別為多少?抽中的概率為,沒抽到的概率為,假如沒抽中，那么有的概率抽中，假如抽中，那么抽中的概率為,所以抽中的概率為.同理,抽中的概率為,抽中的概率為，抽中的概率為,抽中的概率為.由此可見六人抽中的概率相等，與抽簽的先后順序無關(guān)．還是上面的題干,假如每個(gè)人抽完都放回，任意一個(gè)人假如抽中，則后邊的人不再抽取，那么每個(gè)人抽中的概率為多少？抽中的概率依次為:、、、、、,在這種情況下先抽者,抽中的概率大.在一次軍事演習(xí)中,進(jìn)攻方?jīng)Q定對(duì)目的進(jìn)行兩次炮擊。第一炮命中的概率是０.6，第二炮命中的概率是０.８.請(qǐng)問：兩炮都集中目的的概率是多少?恰好有一炮擊中目的的概率是多少？兩炮都未擊中目的的概率是多少?兩炮都擊中目的的概率是同時(shí)都擊中時(shí)的0.6×0.８=0.48恰有一炮擊中目的,第一炮擊中第二炮沒擊中,等于0.6×０.2=0．12第二炮擊中第一炮沒擊中,等于0．4×0.8＝０.32恰有一炮擊中概率為0.４4張先生天天上午上班時(shí)有1/3的概率碰到堵車。在不堵車的時(shí)候,張先生準(zhǔn)時(shí)到達(dá)單位的概率為0.９，吃到的概率為0.1；而堵車的時(shí)候，張先生上班遲到的概率高達(dá)0.8,準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率只有０.2.請(qǐng)問：張先生上班遲到的概率是多少？張先生遲到的概率分為不堵車時(shí)，2/3×0.1＝1/1５堵車時(shí),1／３×0.8=4/1５所以遲到的概率是1/3某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率為,假如該射手在百步之外連射三箭，三箭所有射中靶心的概率為多少？有一箭射中靶心的概率為多少?有兩箭射中靶心的概率為多少?⑴所有射中靶心的概率為．⑵第一箭射中,其他兩箭射空的概率為.第二箭射中，其他兩箭射空的概率為．第三箭射中,其他兩箭射空的概率為．有一箭射中的概率為.⑶第一箭射空,其他兩箭射中的概率為．第二箭射空，其他兩箭射中的概率為.第三箭射空,其他兩箭射中的概率為．有兩箭射空的概率為.設(shè)在獨(dú)立反復(fù)3次實(shí)驗(yàn)中,至少有一次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，問每次實(shí)驗(yàn)成功的概率是多少？反復(fù)實(shí)驗(yàn)，就是同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，而同一個(gè)實(shí)驗(yàn),同樣的做法,完畢的概率都是同樣的，設(shè)每次實(shí)驗(yàn)不成功的概率為.由于至少有一次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，里面涉及了實(shí)驗(yàn)成功一次、兩次和三次的情形，而所有的實(shí)驗(yàn)里面,除此之外只剩下三次實(shí)驗(yàn)都沒有成功這一種情形,所以這種情形的概率為.由于每次實(shí)驗(yàn)不成功的概率為,那么三次實(shí)驗(yàn)都不成功的概率為,所以,所以,即每次實(shí)驗(yàn)不成功的概率是,那么成功的概率就是．已知1０件產(chǎn)品中有3件次品，為了保證使３件次品所有檢查出來的概率超過,則抽出來檢查的產(chǎn)品最少有件．由于規(guī)定3件次品都被抽出來檢查，所以未被抽出來檢查的產(chǎn)品都是正品,考慮未被抽出來檢查的產(chǎn)品的件數(shù),假如是1件,那么這１件有１0種也許,其中７種情況下是正品，所以這1件是正品的概率為,也就是３件次品所有抽出的概率為，,滿足題意；假如未被抽出來檢查的產(chǎn)品的件數(shù)為2件，那么這兩件都是正品的概率為，，不合題意,所以未被抽出來檢查的產(chǎn)品的件數(shù)最多為1件，那么抽出來檢查的產(chǎn)品最少有9件.工廠質(zhì)量檢測部門對(duì)某一批次的件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，假如這件產(chǎn)品中有兩件產(chǎn)品是次品，那么質(zhì)檢人員隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，這兩件產(chǎn)品恰好都是次品的概率為多少？這兩件產(chǎn)品中有一件是次品的概率為多少?這兩件產(chǎn)品中沒有次品的概率為多少?從件產(chǎn)品中選擇件一共有種情況．所以這兩件產(chǎn)品恰好都是次品的概率為.兩件產(chǎn)品中有一件次品的情況有種情況，所以兩件產(chǎn)品中有一件次品的概率為．兩件產(chǎn)品中都不是次品的概率有種情況,所以兩件產(chǎn)品都不是次品的概率為.一批零件中有９個(gè)合格品和３個(gè)廢品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中隨機(jī)選取一個(gè),假如每次取出的廢品不放回去，分別求在取得第一件合格品以前已取出件廢品數(shù)的概率，，1,2,3．時(shí)，就是第一件就取得了合格品,概率是;時(shí),就是第一件是廢品,第二件是合格品，第一件廢品的概率是,第二件取出合格品的概率為(是由于前面已經(jīng)取出了一件），概率是；時(shí),分別是廢品()、廢品()、合格品（）;概率是;時(shí),分別是廢品（)、廢品()、廢品()、合格品(),概率是.甲、乙、丙3人投籃，投進(jìn)的概率分別是，,.⑴現(xiàn)三人各投籃一次,求3人都沒投進(jìn)的概率．⑵現(xiàn)在3人各投籃一次，求至少有兩人投進(jìn)的概率.⑴甲、乙、丙沒投進(jìn)的概率分別是，,，故3人各投一次都沒投進(jìn)的概率為:．⑵至少有2人投進(jìn),可分為恰有２人投進(jìn)和3人都投進(jìn)兩種情形，所以其概率為:．另解:也可從反面考慮，計(jì)算沒人投進(jìn)的概率與只有一個(gè)人投進(jìn)的概率,為,所以至少有兩人投進(jìn)的概率為．某籃球運(yùn)動(dòng)員投球的命中率為，則他投球1０次,恰好連續(xù)投進(jìn)5球的概率是多少?將各次投球分別編號(hào)為①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩.⑴①②③④⑤球投中⑥球不中，其余的不考慮,概率為；⑵①球不中②③④⑤⑥球中⑦球不中，概率為;⑶②球不中③④⑤⑥⑦球中⑧球不中，概率為;⑷③球不中④⑤⑥⑦⑧球中⑨球不中，概率為;⑸④球不中⑤⑥⑦⑧⑨球中⑩球不中,概率為;⑹⑤球不中⑥⑦⑧⑨⑩球中，概率為；所以恰好連續(xù)投進(jìn)5球的概率為：．在某次的考試中,甲、乙、丙三人優(yōu)秀（互不影響)的概率為，,，考試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾個(gè)人優(yōu)秀?注意他們的優(yōu)秀率是互不影響的.⑴三人都優(yōu)秀的概率是；⑵只有甲乙兩人優(yōu)秀的概率為，(或)．只有甲丙二人優(yōu)秀的概率，只有乙丙二人優(yōu)秀的概率，所以有兩人優(yōu)秀的概率為;⑶甲一人優(yōu)秀的概率，乙一人優(yōu)秀的概率,丙一人優(yōu)秀的概率,所以只有一人優(yōu)秀的概率為;⑷全都不優(yōu)秀的概率為;比較可知最容易出現(xiàn)只有一人優(yōu)秀的情況．