格林公式(公開教學(xué)用)

格林公式及其應(yīng)用從不定積分與定積分的引入來考慮兩者之間沒有任何關(guān)系，但牛頓—萊布尼茨公式將二者聯(lián)系起來。格林公式同樣是將看似截然不同的兩類積分:二重積分與曲線積分有機(jī)的統(tǒng)一起來。一、格林（Green）公式1、預(yù)備知識：為了學(xué)習(xí)格林公式，我們先介紹三個基本概念：單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域、平面曲線的正向。

單連通區(qū)域D

1）單連通區(qū)域：如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分全都屬于D；D內(nèi)任意一條閉曲線都可以連續(xù)地收縮為一點，這一點也屬于D；

D為無“洞”的區(qū)域。

2）復(fù)連通區(qū)域:

存在一些閉曲線它圍成的區(qū)域不全屬于D；

存在一些閉曲線不能連續(xù)收縮為D中的點；

有“洞”的區(qū)域（包括“點洞”）。復(fù)連通區(qū)域D點洞洞

3）平面曲線L的正向：當(dāng)人（觀察者）沿L的方向行走時，D內(nèi)在靠近人的一側(cè)始終在人的左側(cè)。外圈是逆時針方向；內(nèi)圈是順時針方向。DD洞（1）D是由分段光滑(或光滑)的有向

——格林公式（3）取正向.則有閉曲線圍成；（2）函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

2、格林(Green)公式(定理1)3、說明：（2）函數(shù)在D上必須具（1）L必須是光滑或分段光滑的有向閉曲線，如果不封閉怎么辦？有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果在有些點處不滿足（不存在或存在不連續(xù)），怎么解決？（重點與難點）（3）L要求取正向.（若不是正向?)同學(xué)們思考一下，說明的第（2）條其實是可以修改的，應(yīng)該改成什么？（4）二重積分的被積函數(shù)必須是

例1計算下列曲線積分:其中L為星形線的正向。利用后面學(xué)過的知識發(fā)現(xiàn)積分與路徑無關(guān),結(jié)論顯然是0.其中L為上半圓周沿逆時針方向從A點到點。

5、格林公式的證明（體現(xiàn)分析過程）證明(1)先考慮積分區(qū)域既是型，又是型區(qū)域的情況，如圖oDABoDCE

型區(qū)域

型區(qū)域按照型區(qū)域考慮同理，按照型區(qū)域考慮（2）當(dāng)積分區(qū)域不滿足既是型，又是型時，如下圖（分割成（1）的情況）DDDL（3）當(dāng)積分區(qū)域D為復(fù)連通區(qū)域時，如右圖將復(fù)連通區(qū)域沿著某一條線段割開，將復(fù)連通區(qū)域轉(zhuǎn)化為單連通區(qū)域（已證）例2計算其中L為一條無重點分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向。二、格林公式的應(yīng)用1、計算曲線積分1)設(shè)P，Q在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)補(bǔ)充定理:2)在D內(nèi)恒有3)為D內(nèi)任意兩條同向閉曲線;4)各自所圍的區(qū)域中有相同的不

屬于D的點，則設(shè)為圍繞原點的簡單閉曲線，圍成的區(qū)域為,與L同向當(dāng)利用格林公式，結(jié)論為0.

當(dāng)時解：例3設(shè)C是圍繞原點的任意一條光滑簡單閉曲線，求（第二屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)競賽題15分，其中的三分之一部分，前面兩部分是05年高等數(shù)學(xué)一試題）解：設(shè)為圍繞原點的簡單閉曲線，圍成的區(qū)域為，與C同向，例4已知平面區(qū)域

D的邊界取正向邊界，試證（首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)類數(shù)學(xué)競賽題15分）右邊解: