材料力學(xué)-能量方法

能量法13-1概述 13-2桿件應(yīng)變能的計(jì)算

13-3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式13-4互等定理13-5虛功原理13-6莫爾積分彈性體受拉力P作用，當(dāng)P從零開(kāi)始到終值緩慢加載時(shí)，力P在其作用方向上的相應(yīng)位移也由零增至終值ΔL；一方面：力要做功；彈性體因變形而具有做功的能力，力的作用點(diǎn)沿力的方向有位移另一方面：表明桿件內(nèi)儲(chǔ)存了應(yīng)變能13-1概述 P如果略去變形過(guò)程中的動(dòng)能及其它能量的損失；功能原理若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一瞬間，變形體均處于平衡狀態(tài)；由能量守恒原理，桿件的變形能U在數(shù)值上應(yīng)等于外力做的功W；對(duì)變形體都適用的普遍原理W=U因?yàn)樽冃误w產(chǎn)生塑性變形時(shí)要消耗一部分能量，留下殘余變形。彈性固體變形是可逆的；當(dāng)外力解除后，彈性體將恢復(fù)其原來(lái)形狀，釋放出變形能而做功。但當(dāng)超出了彈性范圍，對(duì)于發(fā)生塑性變形的固體，變形能不能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣?，也是?dāng)今應(yīng)用甚廣的有限元法求解力學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。能量原理固體力學(xué)中運(yùn)用功與能有關(guān)的基本原理；由能量原理發(fā)展出來(lái)的方法；能量法能量原理是從功與能的角度考察變形體的受力、應(yīng)力與變形的原理與方法；是進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)能量法的用處能量法的優(yōu)點(diǎn)不管中間過(guò)程，只算最終狀態(tài)能量是標(biāo)量，容易計(jì)算用于求位移13-2桿件應(yīng)變能的計(jì)算

線(xiàn)彈性條件下，通過(guò)外力功求應(yīng)變能常力P

沿其方向線(xiàn)位移l上所作的功常力作功（P為恒力）：變力作功（P從0逐漸增加到最終值）：在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，外力P

與位移l

間呈線(xiàn)性關(guān)系。荷載由零緩慢加載到終值；變形也由零緩慢變化到終值式中：——廣義力（力、力偶）——廣義位移（線(xiàn)位移、角位移）l變力作功（P從0逐漸增加到最終值）：1、軸向拉伸或壓縮LPP桿的應(yīng)變能由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線(xiàn)變化)的應(yīng)變能P2PKBCD12345qLxdx2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能圓截面桿的應(yīng)變能

m受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線(xiàn)為變量)

xdxLtAB3、平面彎曲的應(yīng)變能純彎曲梁的應(yīng)變能：m橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線(xiàn)為變量)的應(yīng)變能（忽略剪力影響）Pm=PaACBaa一、克拉貝依隆原理13-3應(yīng)變能的普遍表達(dá)式廣義力P1，P2，…，Pn作用于物體，且設(shè)按同一比例系數(shù)β從零增長(zhǎng)到終值。相應(yīng)地物體產(chǎn)生變形δ1，δ2，…，δn，對(duì)于線(xiàn)性彈性材料，則變形也將按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δnβ從0到1外力做功物體的應(yīng)變能為克拉貝依隆原理組合變形時(shí)的變形能，，

桿件在拉（壓）、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲這些基本變形共同作用下例

試分別計(jì)算圖示各梁的變形能例圖解：求各梁的變形能從例

可看出abc13-4互等定理考慮兩組力P，Q作用于物體;第一組力有m個(gè)載荷P1，P2，…，Pm;第二組力有n個(gè)載荷Q1，Q2，…，Qn。若先將第一組力Pi（i=1,2,…,m）力做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1QjQj在其相應(yīng)位移上做功為隨后作用上第二組力Qj（j=1,2,…,n）因?yàn)镻i力的存在，且已達(dá)到終值且值不變；Pi在Qj產(chǎn)生的位移做功P1PiδP1δPiδQ1δQjQ1Qjδ’Piδ’P1第二組力Qj引起第一組力的作用點(diǎn)的位移先加P后加Q時(shí)做功總和為：

將加載次序反過(guò)來(lái)，先加力Q后加力P，Qj在相應(yīng)位移上做功為：再加Pi(i=1,2,…,m)力，Pi在其相應(yīng)位移做功同時(shí)物體上已作用有Qj且其值不變，Qj在由于Pi引起的Qj作用點(diǎn)沿Qj方向的位移上做功兩組力所做的總功為：由于變形能只決定于力與位移的最終值，與加力次序無(wú)關(guān)，故有V1=V2，

功的互等定理位移互等定理設(shè)兩組力Pi、Qj只有一個(gè)力P1、Q1作用于物體，若，則有位移互等定理F2F1位移發(fā)生點(diǎn)荷載作用點(diǎn)F2F1功的互等定理:位移互等定理:APLaB例題：裝有尾頂針的車(chē)削工件可簡(jiǎn)化成超靜定梁，如圖，試用互等定理求解。第一組力：第二組力第一組力在第二組力引起的位移上做功APLaBRP、RX=1δ1δ2X=1第二組力在第一組力引起的位移上做功：功互等定理APLaBRX=1δ1δ2零1、相關(guān)概念

實(shí)功—力在其自身引起的線(xiàn)位移或角位移上所做的功。13-5虛功原理一物體在大小與方向不變的力F

作用下，沿光滑地面移動(dòng)距離△，力F

作的功可表示為W=F△

（a）圓盤(pán)在大小與轉(zhuǎn)向都不變的力偶M=2Pr作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移為φ，力偶M作的功為W=Mφ

（b）虛位移—與做功力無(wú)關(guān)的其它因素（如其它載荷、溫度改變

及支座移動(dòng)等）造成的位移；虛功—力在虛位移上所做的功。懸臂桿，外力F在環(huán)境溫度變化引起的變形△l上作的功為:

W=F△l

（c）這個(gè)功就是虛功。ABFΔll右圖所示為外力作用下處于平衡狀態(tài)的桿件，圖中實(shí)曲線(xiàn)為桿件實(shí)際受力下的真實(shí)變形。

再由其它因素（如其它載荷、溫度改變及支座移動(dòng)等），繼續(xù)引起桿件產(chǎn)生變形，并位移到虛線(xiàn)位置，這種增加的位移稱(chēng)為“虛位移”，圖中：D*。虛功為恒力做功，故沒(méi)有1/2的系數(shù)，其表達(dá)式為：2、虛功原理若以表示桿件上的外力（廣義力），表示外力作用點(diǎn)沿外力方向的虛位移，產(chǎn)生虛位移中外力保持不變，則其總虛功為：（a）桿件在外載作用下，形成一“力狀態(tài)”，同時(shí)在其他因素作用下產(chǎn)生一“位移狀態(tài)”，則力狀態(tài)的力就會(huì)在位移狀態(tài)的位移上做虛功

而按另一種方法計(jì)算總虛功，取右圖所示微段，分析表明：只有兩端內(nèi)力在其虛變形上做虛功，為（b）積分式（b）得桿件的總虛功為（c）按上述兩種方式求得的總虛功應(yīng)相等，即：(a)=(c)為上式就是虛功原理，即：在虛位移中，外力所作虛功等于內(nèi)力在相應(yīng)虛變形上所作虛功（虛應(yīng)變能）。若桿件上還有扭轉(zhuǎn)力偶矩Me1,Me2,…；則微段內(nèi)力就會(huì)存在扭矩Mx，此時(shí)上式表示為（e）（d）常見(jiàn)應(yīng)用:（1）虛設(shè)位移狀態(tài)，可求出相應(yīng)未知力；稱(chēng)為虛位移原理。（2）虛設(shè)力狀態(tài)，可求出相應(yīng)位移；稱(chēng)為虛力原理，見(jiàn)下節(jié)莫爾積分。1單位載荷法利用虛功原理可導(dǎo)出計(jì)算結(jié)構(gòu)一點(diǎn)位移的單位載荷法，具體步驟如下：就在結(jié)構(gòu)的位移點(diǎn)沿位移方向虛設(shè)一單位力（如圖b所示）。為求結(jié)構(gòu)任一指定位移D（如圖a所示）；位移狀態(tài)力狀態(tài)把圖（b）作為虛功原理的力狀態(tài)，再把圖（a）作為其位移狀態(tài)，則虛功原理可化為：13-6莫爾積分（13.1）對(duì)以抗彎為主的桿件，（13.1）式化為：對(duì)只有軸力的拉伸或壓縮桿件，（13.1）式化為：（13.3）若軸力沿桿軸線(xiàn)為常量，（13.3）式化為：（13.4）（13.5）（13.2）同理，對(duì)受扭桿件，亦可推導(dǎo)得：注意點(diǎn):（1）單位載荷法中的單位力，可為一個(gè)力或力偶，也可是廣義力。（2）以上諸式中的D，是單位力作功1·D的縮寫(xiě)，若其結(jié)果為正，表示D和單位力方向相同，為負(fù)則相反。在線(xiàn)彈性下，則桿件的彎曲、拉伸和扭轉(zhuǎn)變形分別是：（13.7）故線(xiàn)彈性下，式（13.2）,（13.3）,（13.5）可簡(jiǎn)化為：（13.6）（13.8）式（13.6）,（13.7）,（13.8）統(tǒng)稱(chēng)為莫爾定理，式中的積分稱(chēng)為莫爾積分；注意：它們只適用于線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)。（13.8）對(duì)于以彎矩為主，且桿軸為曲線(xiàn)的結(jié)構(gòu)，其莫爾積分可由式（13.6）改寫(xiě)為：（13.9）（13.7）（13.6）步驟：

1.寫(xiě)出原結(jié)構(gòu)在真實(shí)荷載作用下的彎矩方程M；

2.構(gòu)造虛力狀態(tài)，沿計(jì)算方向加單位力（廣義）；

3.寫(xiě)出原結(jié)構(gòu)只在單位力作用下的彎矩方程（坐標(biāo)系必須與第一步求彎矩方程所用的相同）4.計(jì)算Mohr積分（剛架中全部桿件，略去FN,FQ）；5.結(jié)果若為正，位移方向與單位力相同，負(fù)則相反；例題：圖（a）所示均布載荷作用下的懸臂梁，其EI為常數(shù)。試用莫爾積分計(jì)算梁端點(diǎn)A豎直位移DA。解：位移狀態(tài)力狀態(tài)分別計(jì)算圖（a），（b）的彎矩方程：構(gòu)建一虛擬力狀態(tài)：圖（b）代入莫爾積分公式有：試用莫爾定理求截面B點(diǎn)的垂直位移和水平位移.求B點(diǎn)的垂直位移,在B點(diǎn)加垂直單位力1如圖(b)所示.(2)求B點(diǎn)的水平位移,在B點(diǎn)加水平單位力1如圖(c)所示.圖(a)RFBA1圖(b)RBAR1BA圖(c)用能量法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。梁為等