數(shù)學(xué)物理方法-格林函數(shù)法

第十二章格林函數(shù)法第一節(jié)泊松方程的格林函數(shù)法第二節(jié)

用電像法求格林函數(shù)

11泊松方程的格林函數(shù)法有源問題定解＝通解＋邊界條件求通解＝積分定解＝積分＋邊界條件

（格林函數(shù)法）1.源問題例靜電場(chǎng)處?kù)o電場(chǎng)a.無(wú)界空間12.1格林函數(shù)代表一個(gè)點(diǎn)源所產(chǎn)生的場(chǎng)，對(duì)點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)利用疊加定理則可知道任意源分布產(chǎn)生的場(chǎng)2b.有界空間邊界上可能出現(xiàn)感應(yīng)電荷處?kù)o電場(chǎng)是源電荷與感應(yīng)電荷的電勢(shì)之和。感應(yīng)電荷是源電荷的結(jié)果。在一般的定解問題中，是要求解滿足一定的邊界條件和初始條件的解。相應(yīng)的GREEN函數(shù)的表達(dá)式會(huì)復(fù)雜一些。因?yàn)榇藭r(shí)的點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)還是受邊界條件或初始條件的限制。3定解＝通解＋邊界條件求通解＝積分定解＝積分＋邊界條件

（格林函數(shù)法）2.格林公式第一格林公式：區(qū)域T，邊界T設(shè)和在T中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，在上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)。由高斯定理感應(yīng)電荷是邊界問題4第二格林公式：交換和：與上式相減即法向?qū)?shù)53.邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構(gòu)成第三邊值問題64.泊松方程的基本積分公式點(diǎn)源泊松方程單位負(fù)電荷在由Green公式：以及函數(shù)的性質(zhì)：75.邊值問題的格林函數(shù)還需知道點(diǎn)源泊松方程度解的邊界條件。第一邊值問題(狄里希利問題)第一邊值問題格林函數(shù)第二邊值問題(諾依曼問題)第二邊值問題格林函數(shù)8第三邊值問題第三邊值問題格林函數(shù)912.2電像法求格林函數(shù)第一邊值問題格林函數(shù)導(dǎo)體球內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷，導(dǎo)體接地。求球內(nèi)電勢(shì)。電荷的存在，在導(dǎo)體上感應(yīng)了電荷。球內(nèi)的電勢(shì)為自由電荷和感應(yīng)電荷電勢(shì)之和。將感應(yīng)電荷的電勢(shì)由一“電像電荷”的電勢(shì)表示10如右圖，當(dāng)導(dǎo)體外M1

處有電荷時(shí)，鏡像電荷將在球內(nèi)M0

處。像電荷的大小以及位置：其中11例半空間第一邊值問題解按電磁學(xué)思維模式，應(yīng)當(dāng)引入鏡像電荷表示平面（z=0）上的感應(yīng)電荷。計(jì)算格林函數(shù)：鏡像電荷的作用為使平面（z=