數(shù)學-第一部分-專題一-第三講-不等式、線性規(guī)劃、計數(shù)原理

第三講不等式、線性規(guī)劃、計數(shù)原理與二項式定理1．不等式的同向可加性

2．不等式的同向可乘性

3．不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可簡記為：同號兩根之外，異號兩根之間．[例1]

(1)(2012年高考湖南卷)設a>b>1，c<0，給出下列三個結論：①>；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正確結論的序號是(

)A．①B．①②C．②③ D．①②③(2)(2012年高考江蘇卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實數(shù)c的值為________．[解析]

(1)根據(jù)不等式的性質構造函數(shù)求解．∵a>b>1，∴<.又c<0，∴>，故①正確．構造函數(shù)y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是減函數(shù)．又a>b>1，∴ac<bc，故②正確．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正確．[答案]

(1)D

(2)9(2012年高考福建卷)已知關于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：利用“三個二次”之間的關系．∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.答案：(0，8)

求目標函數(shù)最值的一般步驟(1)作出可行域；(2)借助圖形確定函數(shù)最值的取值位置，并求最值．[例2]

(2012年高考課標全國卷)已知正三角形ABC的頂點A(1，1)，B(1，3)，頂點C在第一象限，若點(x，y)在△ABC內部，則z＝－x＋y的取值范圍是(

)A．(1－，2)B．(0，2)C．(－1，2)D．(0，1＋)[解析]

利用線性規(guī)劃知識，求解目標函數(shù)的取值范圍．如圖，根據(jù)題意得C(1＋，2)．作直線－x＋y＝0，并向左上或右下平移，過點B(1，3)和C(1＋，2)時，z＝－x＋y取范圍的邊界值，即－(1＋)＋2<z<－1＋3，∴1－<z<2.∴z＝－x＋y的取值范圍是(1－，2)．[答案]

A

(2012年泰安高三模考)設變量x，y滿足約束條件，則z＝的取值范圍是(

)A．[0，4]B．[，5]C．[，6]D．[2，10]解析：表示過點(x，y)與點(－1，－1)的直線的斜率．根據(jù)題意，作出可行域，如圖所示，由圖知的最小值是，最大值是＝5，故選B.答案：B

[例3]

(2012年高考浙江卷)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(

)

A.B.C．5D．6

[解析]

將已知條件進行轉化，利用基本不等式求解．[答案]

C已知x>0，y>0，若>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．m≥4或m≤－2B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4D．－4<m<2解析：因為x>0，y>0，所以≥2＝8.要使原不等式恒成立，只需m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案：D

1．加法計數(shù)原理與乘法計數(shù)原理針對的分別是“分類”與“分步”問題．[例4]

(2012年高考北京卷)從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(

)A．24B．18C．12D．6[解析]

根據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類討論求解．當選0時，先從1，3，5中選2個數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有C種方法，剩余1個數(shù)字排在首位，共有CC＝6(種)方法；當選2時，先從1，3，5中選2個數(shù)字有C種方法，然后從選中的2個數(shù)字中選1個排在末位有C種方法，其余2個數(shù)字全排列，共有CCA＝12(種)方法．依分類加法計數(shù)原理知共有6＋12＝18(個)奇數(shù)．[答案]

B

(2012年高考山東卷)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為(

)A．232B．252C．472D．484解析：利用分類加法計數(shù)原理和組合的概念求解．分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC＝264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C－3C＝220－12＝208(種)．由分類加法計數(shù)原理知不同的取法有264＋208＝472(種)．答案：C

3．用賦值法研究展開式中各項系數(shù)之和．

[例5]

(2012年高考安徽卷)(x2＋2)(－1)5的展開式的常數(shù)項是(

)A．－3B．－2C．2D．3

[解析]

利用二項展開式的通項求解．∴展開式中的常數(shù)項為5－2＝3，故選D.[答案]

D

(2012年鄭州模擬)在二項式(x2－)n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為(

)A．32B．－32C．0D．1解析：依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n＝32，解得n＝5.因此，該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于(12－)5＝0，選C.答案：C

【真題】

(2012年高考江蘇卷)已知正數(shù)a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，則的取值范圍是________．【解析】

由題意知

作出可行域(如圖所示)．【答案】

[e，7]

【名師點睛】本題主要考查了不等式的性質、線性規(guī)劃的應用等知識，命題角度創(chuàng)新，難度較大，解決此題的關鍵是將問題轉化為線性規(guī)劃問題，通過數(shù)形結合思想來解決．高考對線性規(guī)劃的考查比較靈活，多以選擇、填空形式出現(xiàn)，主要考查利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)最值及應用．常涉及距離型、斜率型、截距型．有時與函數(shù)、圓、平面向量等知識相綜合．【押題】如果點P在不等式組所確定的平面區(qū)域內，點Q在曲線(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值為(

)A．1

B．2C．3