2023年隨機事件及其概率知識點總結

隨機事件及其概率一、隨機事件１、必然事件在一定條件下,必然會發(fā)生的事件叫作必然事件.2、不也許事件在一定條件下,一定不會發(fā)生的事件叫作不也許事件.３、隨機事件在一定條件下,也許發(fā)生，也也許不發(fā)生的事件叫作隨機事件，一般用大寫字母，，來表達隨機事件.４、擬定事件必然事件和不也許事件統(tǒng)稱為相對于隨機事件的擬定事件.5、實驗為了探索隨機現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律,就要對隨機現(xiàn)象進行觀測或模擬，這種觀測或模擬的過程就叫作實驗.【注】(1)在一定條件下，某種現(xiàn)象也許發(fā)生,也也許不發(fā)生，事先并不能判斷將出現(xiàn)哪種結果,這種現(xiàn)象就叫作隨機現(xiàn)象.應當注意的是,隨機現(xiàn)象絕不是雜亂無章的現(xiàn)象，這里的“隨機”有兩方面意思:①這種現(xiàn)象的結果不擬定，發(fā)生之前不能預言;②這種現(xiàn)象的結果帶有偶爾性.雖然隨機現(xiàn)象的結果不擬定，帶有某種偶爾性，但是這種現(xiàn)象的各種也許結果在數(shù)量上具有一定的穩(wěn)定性和規(guī)律性，我們稱這種規(guī)律性為記錄規(guī)律性.記錄和概率就是從量的側面去研究和揭示隨機現(xiàn)象的這種規(guī)律性,從而實現(xiàn)隨機性和擬定性之間矛盾的統(tǒng)一.(2）必然事件與不也許事件反映的是在一定條件下的擬定性現(xiàn)象，而隨機事件反映的則是在一定條件下的隨機現(xiàn)象.（3)隨機實驗滿足的條件:可以在相同條件下反復進行；所有結果都是明確可知的，但不止一個；每一次實驗的結果是也許結果中的一個,但不擬定是哪一個.隨機事件也可以簡稱為事件，但有時為了敘述的簡潔性，也也許包含不也許事件和必然事件.二、基本領件空間1、基本領件在實驗中不能再分的最簡樸的隨機事件，而其他事件都可以用它們進行描述,這樣的事件稱為基本領件．2、基本領件空間所有基本領件構成的集合稱為基本領件空間,常用大寫字母來表達，中的每一個元素都是一個基本領件,并且中包含了所有的基本領件．【注】基本領件是實驗中所有也許發(fā)生的結果的最小單位，它不能再分，其他的事件都可以用這些基本領件來表達;在寫一個實驗的基本領件空間時,應注意每個基本領件是否與順序有關系；基本領件空間包含了所有的基本領件，在寫時應注意不反復、不漏掉.三、頻率與概率1、頻數(shù)與頻率在相同條件下進行了次實驗,觀測某一事件是否出現(xiàn),則稱在次實驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)；事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率.２、概率對于給定的隨機事件，假如隨著實驗次數(shù)的增長，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，則把這個常數(shù)稱為事件的概率,簡稱為的概率,記作.３、頻率與概率的關系(1)頻率雖然在一定限度上可以反映事件發(fā)生的也許性的大小,但頻率并不是一個完全擬定的數(shù).隨著實驗次數(shù)的不同,產生的頻率也也許不同，所以頻率無法從主線上刻畫事件發(fā)生的也許性的大小,但人們從大量的反復實驗中發(fā)現(xiàn):隨著實驗次數(shù)的無限增長,事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某一固定的值上，即在無限次反復實驗下，頻率具有某種穩(wěn)定性.(2)概率是一個常數(shù),它是頻率的科學抽象．當實驗次數(shù)無限多時，所得到的頻率就會近似地等于概率．此外，概率大,并不表達事件一定會發(fā)生,只能說明事件發(fā)生的也許性大,但在一次實驗中卻不一定會發(fā)生.四、事件的關系與運算1、包含關系一般地，對于事件與事件，假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生，則我們稱事件包含事件(或稱事件包含于事件），記作(或）.2、相等關系一般地,對于事件與事件，假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生,并且假如事件發(fā)生時，事件一定發(fā)生,即若且，則我們稱事件與事件相等,記作.３、并事件假如某事件發(fā)生當且僅當事件或事件發(fā)生，則我們稱該事件為事件與事件的并事件（或和事件)，記作（或）.4、交事件假如某事件發(fā)生當且僅當事件發(fā)生且事件也發(fā)生,則我們稱該事件為事件與事件的交事件(或積事件），記作（或）.5、互斥事件假如事件與事件的交事件為不也許事件（即），則我們稱事件與事件互斥,其含義是:事件與事件在任何一次實驗中都不會同時發(fā)生．６、對立事件假如事件與事件的交事件為不也許事件（即），而事件與事件的并事件為必然事件（即），則我們稱事件與事件互為對立事件，其含義是:事件與事件在任何一次實驗中有且僅有一個發(fā)生.【注】事件的關系與運算可以類比集合的關系與運算.例如，事件包含事件類比集合包含集合;事件與事件相等類比集合與集合相等;事件與事件的并事件類比集合與集合的并集;事件與事件的交事件類比集合與集合的交集……五、互斥事件與對立事件互斥事件與對立事件是此后考察的重點，因此關于互斥事件與對立事件，我們很有必要再作進一步的說明.１、互斥事件與對立事件的關系互斥事件與對立事件都反映的是兩個事件之間的關系.互斥事件是不也許同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除了規(guī)定這兩個事件不同時發(fā)生以外，還規(guī)定這兩個事件必須有一個發(fā)生．因此，對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件.例如，擲一枚骰子,事件：“出現(xiàn)的點數(shù)是1”與事件：“出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)”是互斥事件，但不是對立事件；而事件：“出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)”與事件：“出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)”既是互斥事件,也是對立事件.２、互斥事件的概率加法公式(1）兩個互斥事件的概率之和假如事件與事件互斥，那么;（２）有限多個互斥事件的概率之和一般地，假如事件,，…,兩兩互斥,那么事件“發(fā)生”（指事件,，…，中至少有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和,即.【注】上述這兩個公式叫作互斥事件的概率加法公式.在運用互斥事件的概率加法公式時,一定要一方面擬定各事件是否彼此互斥(假如這個條件不滿足,則公式不合用），然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再求和．3、對立事件的概率加法公式對于對立的兩個事件與而言,由于在一次實驗中,事件與事件不會同時發(fā)生，因此事件與事件互斥,并且，即事件或事件必有一個發(fā)生,所以對立事件與的并事件發(fā)生的概率等于事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率之和,且和為，即,或.【注】上述這個公式為我們求事件的概率提供了一種方法,當我們直接求有困難時,可以轉化為先求其對立事件的概率,再運用公式即可求出所規(guī)定的事件的概率.4、求復雜事件的概率的方法求復雜事件的概率通常有兩種方法:一種是將所求事件轉化為彼此互斥的事件的和，然后再運用互斥事件的概率加法公式進行求解；另一種是先求其對立事件的概率，然后再運用對立事件的概率加法公式進行求解.假如采用方法一，一定要準確地將所求事件拆提成若干個兩兩互斥的事件,不能有反