2023年最全初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題第一部分基礎(chǔ)知識(shí)1.定義:一般地，假如是常數(shù),，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸．(2)函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系.①當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱軸平行于（涉及重合)軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式,其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①；②;③;④;⑤.6.拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)．①的符號(hào)決定拋物線的開口方向:當(dāng)時(shí),開口向上；當(dāng)時(shí),開口向下；相等,拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸(或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),假如二次項(xiàng)系數(shù)相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法(1）公式法:,∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線.(2）配方法：運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點(diǎn)為（,),對(duì)稱軸是直線.（3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才干做到萬(wàn)無(wú)一失．9．拋物線中，的作用（1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全同樣.(2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置．由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,故：①時(shí),對(duì)稱軸為軸;②(即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè).（3)的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí),，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0,）：①，拋物線通過原點(diǎn);②，與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特性如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)開口向上當(dāng)時(shí)開口向下（軸)（0,０)（軸）（0,)(，0）(,）（)1１.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式:.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.(2）頂點(diǎn)式:．已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式:.12.直線與拋物線的交點(diǎn)（１)軸與拋物線得交點(diǎn)為(0,).(2)與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).(３）拋物線與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、,是相應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式鑒定:①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交;②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在軸上)拋物線與軸相切；③沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.（4)平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同(3）同樣也許有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來擬定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒有交點(diǎn).(6)拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故第二部分典型習(xí)題1.拋物線ｙ=ｘ2+２ｘ-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(D）A.(2,-2）B.（1，-2)C.（1，-３）D.(-1，－3）２.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論對(duì)的的是(C)Ａ.ａｂ>０,c＞0Ｂ．a(chǎn)ｂ＞０，c＜0Ｃ．a(chǎn)ｂ<０,c>０D.ab＜0，ｃ<0第２，３題圖第４題圖３.二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論對(duì)的的是(D）Ａ.a>0,b<０,c＞0B.a＜0，b<0，c>0Ｃ．a(chǎn)<0,b＞０,ｃ<0D．ａ<0,ｂ＞0，c>0４．如圖，已知中,ＢＣ=8,BC上的高,D為BC上一點(diǎn)，,交AB于點(diǎn)E，交ＡＣ于點(diǎn)F(EF但是Ａ、B），設(shè)Ｅ到BＣ的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大體為(D）5.拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為4．６.已知二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、(）,則對(duì)于下列結(jié)論:①當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝１；②當(dāng)時(shí),y>０;③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；④,;⑤，其中所有對(duì)的的結(jié)論是①③④（只需填寫序號(hào)）.7.已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.（1)若該拋物線過點(diǎn)Ｂ,且它的頂點(diǎn)Ｐ在直線上，試擬定這條拋物線的解析式;(2)過點(diǎn)B作直線BC⊥ＡＢ交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過C點(diǎn)，試擬定直線的解析式.解：(1)或?qū)⒋?，得．頂點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意得，解得.（2)8.有一個(gè)運(yùn)算裝置,當(dāng)輸入值為x時(shí),其輸出值為,且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0，時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為５，,.(1）求此二次函數(shù)的解析式；(２）在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí)輸入值的取值范圍.解：（1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，yOx則,即,解得yOx故所求的解析式為:.(2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當(dāng)輸出值為正數(shù)時(shí),輸入值的取值范圍是或.第9題9．某生物愛好小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn):駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,并且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請(qǐng)根據(jù)圖象回答：第9題⑴第一天中,在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?⑶愛好小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到２２時(shí)的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式.解:⑴第一天中，從４時(shí)到１6時(shí)這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要1２小時(shí)⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39℃⑶10.已知拋物線與ｘ軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實(shí)數(shù)ａ,使得△ABC為直角三角形．若存在,請(qǐng)求出a的值；若不存在,請(qǐng)說明理由.解:依題意，得點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)為（０，4）.設(shè)點(diǎn)Ａ、Ｂ的坐標(biāo)分別為（,0），（，0）,由,解得,．∴點(diǎn)A、Ｂ的坐標(biāo)分別為（-３,0),(，0）．∴,，．∴，,．〈ⅰ〉當(dāng)時(shí)，∠ACB=９0°.由,得.解得．∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)為(,０),，，.于是.∴當(dāng)時(shí)，△ABC為直角三角形.〈ⅱ〉當(dāng)時(shí)，∠ABC=９0°.由,得.解得.當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)Ｂ（-3，0)與點(diǎn)A重合,不合題意.〈?！诞?dāng)時(shí)，∠BAC=90°.由,得.解得.不合題意．綜合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈?！担?dāng)時(shí)，△ABC為直角三角形．11.已知拋物線y＝-x2＋mx－m＋2.（1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝,試求m的值;（2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNＣ的面積等于27，試求ｍ的值.解:(1）A（x1，0）,Ｂ(x2,０).則x1，x2是方程x2-ｍx＋m－２=０的兩根．∵ｘ1+x2＝m,ｘ1·ｘ2=m－2<0即m＜2；又AB=∣ｘ1—x2∣＝,∴m2－４m+3＝０.NMCxyO解得:m＝1或NMCxyO(２)M(a，ｂ）,則Ｎ(-a,－b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),∴①+②得:-2ａ2-2m+４＝0.∴ａ2＝－m+2．∴當(dāng)ｍ<２時(shí)，才存在滿足條件中的兩點(diǎn)Ｍ、Ｎ.∴.這時(shí)Ｍ、N到ｙ軸的距離均為,又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，2－m），而S△MNC=27,∴２××（2－m)×=２7.∴解得m=－７.12.已知:拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0).(1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);(２）D是拋物線與ｙ軸的交點(diǎn),C是拋物線上的一點(diǎn),且以ＡB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；(3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn)，假如點(diǎn)E在（２)中的拋物線上，且它與點(diǎn)Ａ在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問:在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△APE的周長(zhǎng)最??？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由．解法一:（1）依題意，拋物線的對(duì)稱軸為x=-2．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1,0），∴由拋物線的對(duì)稱性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3,０）.(2）∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0)，∴．∴ｔ=3a．∴.∴Ｄ（０,3a）．∴梯形ABＣD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線上，∵C(-4，3a）.∴AB＝2,CD＝4．∵梯形AＢＣD的面積為9，∴.∴.∴a±1.∴所求拋物線的解析式為或.（3)設(shè)點(diǎn)Ｅ坐標(biāo)為（，）.依題意，,,且．∴.①設(shè)點(diǎn)E在拋物線上，∴.解方程組得∵點(diǎn)Ｅ與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x＝－２的同側(cè)，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（,）．設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸ｘ=-2上存在一點(diǎn)Ｐ,使△APＥ的周長(zhǎng)最?。逜E長(zhǎng)為定值,∴要使△APE的周長(zhǎng)最小,只須ＰA＋PE最小.∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x＝－2的對(duì)稱點(diǎn)是B（－3,0)，∴由幾何知識(shí)可知，P是直線ＢE與對(duì)稱軸ｘ＝-2的交點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)Ｅ、Ｂ的直線的解析式為,∴解得∴直線BE的解析式為．∴把x=-２代入上式,得．∴點(diǎn)Ｐ坐標(biāo)為(-2,）．②設(shè)點(diǎn)E在拋物線上,∴．解方程組消去,得.∴△<0.∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．綜上，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（-2，），使△APE的周長(zhǎng)最?。夥ǘ海?)∵拋物線與ｘ軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(－1,0),∴.∴t＝3a.∴.令y＝0,即．解得，．∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－3，0）．(2)由,得D（0，３a）.∵梯形ABCD中，AB∥CＤ，且點(diǎn)C在拋物線上，∴C(-4,3a)．∴AB＝2，CD=4．∵梯形ABＣD的面積為9,∴．解得OＤ=３．∴．∴ａ±1.∴所求拋物線的解析式為或.(3）同解法一得，P是直線ＢE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn)．∴如圖，過點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q.設(shè)對(duì)稱軸與ｘ軸的交點(diǎn)為Ｆ．由ＰF∥ＥQ，可得．∴.∴.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-２,).以下同解法一.1３．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.(１）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．（2)若點(diǎn)Ｎ為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Ｎ作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)Ｎ在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合),設(shè)NQ的長(zhǎng)為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;（3)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAＣ的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過程)．解：（1)設(shè)拋物線的解析式,∴.∴．∴.其頂點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)是.（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為Ｎ(ｔ，h)，∴.解得,.∴線段BM所在的直線的解析式為．∴,其中.∴．∴ｓ與t間的函數(shù)關(guān)系式是,自變量t的取值范圍是.（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是，．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P，則.，．分以下幾種情況討論：i)若∠PAC＝９0°，則.∴解得：,（舍去）.∴點(diǎn).ｉｉ）若∠PCA＝９0°,則．∴解得：(舍去).∴點(diǎn).iiｉ）由圖象觀測(cè)得,當(dāng)點(diǎn)Ｐ在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),,所以邊ＡC的對(duì)角∠APC不也許是直角.(4）以點(diǎn)O,點(diǎn)A(或點(diǎn)Ｏ，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊ＯA(或邊ＯＣ）的對(duì)邊上,如圖a，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D(-1,－2)，以點(diǎn)Ａ,點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊ＡＣ的對(duì)邊上,如圖b，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E，Ｆ．圖ａ圖b１4.已知二次函數(shù)的圖象通過點(diǎn)（１,－1).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與ｘ軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).解:根據(jù)題意，得a-２=-1.∴a=1．∴這個(gè)二次函數(shù)解析式是.由于這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（０，-２)，所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶1１000的比例圖上，跨度AB＝5cｍ，拱高OC=0.9cm,線段DＥ表達(dá)大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng),ＤE∥AB，如圖（1)．在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸，以1cｍ作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2)．（1)求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;(2）假如DE與AB的距離OM=0.４5cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)(備用數(shù)據(jù):,計(jì)算結(jié)果精確到1米）．解：（1)由于頂點(diǎn)C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為．由于點(diǎn)A（，0）（或B（,0))在拋物線上,所以，得．因此所求函數(shù)解析式為．（2）由于點(diǎn)Ｄ、E的縱坐標(biāo)為，所以,得.所以點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)為（,)，點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)為（，）．所以.因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為(米）.１6.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),如圖．二次函數(shù)(a≠0)的圖象通過點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.(1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?（2）假如線段OC的長(zhǎng)度是線段ＯA、OＢ長(zhǎng)度的比例中項(xiàng),試證a、c互為倒數(shù)；(3）在（2）的條件下，假如b=-4，,求ａ、ｃ的值．解:（１）a、c同號(hào).或當(dāng)a>0時(shí),c>０；當(dāng)a＜０時(shí)，c＜0.（２)證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（,0)，則．